Гаусов сноп

В оптиката, Гаусов сноп е сноп от електромагнитно лъчение, чието напречно разпределение на електричното поле и интензитета се описват от Гаусова функция. Много лазери излъчват снопове с Гаусов профил. В този случай казваме, че лазерът генерира основен (фундаментален) напречен мод или „TEM₀₀ мод“ на лазерния оптичен резонатор. Когато Гаусов сноп с дадени параметри премине през леща, той се преобразува отново в Гаусов сноп, но с други параметри. От всички видове снопове генерирани от лазерите Гаусовият сноп има най-малка разходимост. Това обяснява неговата популярност в лазерната физика и техника.

Математическата функция, която описва Гаусовия сноп е решение на параксиалната форма на уравнението на Хелмхолц. Решението във форма на Гаусова функция описва комплексната форма на електричното поле, което заедно с магнитното поле се разпространява във вид на електромагнитна вълна формираща лазерния сноп.

Математична форма

За Гаусов сноп коплексната амплитуда на електричното поле се дава от

$E(r,z)=E_0\frac{w_0}{w(z)}\exp \left(\frac{-r^2}{w^2(z)}\right)\exp (-ikz-ik\frac{r^2}{2R(z)}+i\zeta (z))$

където

$r$ е радиалното разстояние от центъра на снопа,

$z$ е аксиалното разстояние от точката, където снопът е най-тесен (шийката на снопа),

$i$ е имагинерна единица (за която $i^2=-1$),

$k=\frac{2\pi }{\lambda }$ е вълново число на разпространение на светлината в свободното простраство (в радиан/метър),

$E_0=|E(0,0)|$,

$w(z)$ е радиусът, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e, а на интензитета до ниво 1/e² считано от техните величини на оста на снопа в точката z.

$w_0=w(0)$ е радиусът на шийката, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e, а на интензитета до ниво 1/e², считано от техните величини на оста на снопа в точката z = 0 (вижте обясненията по-долу).

Функциите $w(z)$, $R(z)$, и $\zeta (z)$ са параметри на снопа, които ще опишем по-долу.

Пространственото разпределение на усреднения по времето интензитет е

$I(r,z)=\frac{{ϵ}_{0}cn}{2}|E(r,z){|}^2=I_0{\left(\frac{w_0}{w(z)}\right)}^2\exp \left(\frac{-2r^2}{w^2(z)}\right)$

където $I_0=I(0,0)$ е интензитетът в центъра на шийката на снопа, n е показател на пречупване, за свободно пространство n=1.${\epsilon }_0$ е диелектричната проницаемост на вакуума.

Параметри на снопа

Поведението на Гаусовия сноп се дава от набор параметри на снопа, които са определени в параграфа по долу.

Радиус на снопа

За Гаусов сноп, разпространяващ се в свободното пространство, радиусът на снопа w(z) ще има минимална величина w₀ в една точка на лазерния сноп известна като шийка на снопа. За сноп от лъчение с дължина на вълната λ на разстояние z от шийката по посока на разпространение на снопа промяната на радиуса на снопа се дава от

$w(z)=w_0\sqrt{1+{\left(\frac{z}{z_R}\right)}^2}$

където началото на оста z e взето да съвпада с мястото на шийката, и където

$z_R=\frac{\pi w_0^2}{\lambda }$

се нарича Релеева дължина.

Релеева дължина и конфокален параметър

На разстояние от шийката равно на една релеева дължина z_R в двете посоки, радиусът w и диаметърът 2wна снопа са $\sqrt{2}$ пъти по големи:

$w(\pm z_R)=w_0\sqrt{2}$

Разстоянието между тези две точки от двете страни на шийката, където снопът е с два пъти по-голямо сечение се нарича конфокален параметър или дълбочина на фокусирането на снопа:

$b=2z_R=\frac{2\pi w_0^2}{\lambda }$

Радиус на кривина на фазовия фронт

R(z) е радиусът на кривина на фазовия фронт на снопа. Неговата величина като функция от позицията z е:

$R(z)=z\left[1+{\left(\frac{z_R}{z}\right)}^2\right]$

Както се вижда от формулата, радиусът на кривина на фазовия фронт е безкрайност при z = 0 и z = ∞ и има минимална величина при z = z_R

$R(z=z_R)=2z_R$

Разходимост на снопа

Параметърът $w(z)$ може да се апроксимира с права линия когато сме в „далечното поле“, т. е когато $z\gg z_R$. Ъгълът между правата линия и оста на снопа се нарича разходимост на снопа. Разходимостта се дава от формулата:

$\theta \simeq \frac{\lambda }{\pi w_0}(\theta \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{.})$

Тази формула показва, че колкото е по-малка дължината на вълната, толкова е по-малка разходимостта на този сноп. От друга страна снопове с по-малка разходимост могат да бъдат фокусирани в по-малко петънце. Това е причината за големия интерес към сините лазери, с които може да се записва по-голям обем информация.

Пълната разходимост определя ъгловия диапазон, в който се разпространява снопа далече от шийката и е два пъти по-голяма от определената от горната формула

$\mathrm{\Theta }=2\theta$

Заради разходимостта, Гаусовият лазерен сноп когато е фокусиран в малко петно се разширява след това в голям ъглов диапазон. За да бъде лазерният сноп колимиран на голямо разстояние неговият диаметър трябва да е голям.

Тъй като Гаусовият модел е валиден само в параксиално приближение, той не може да се приложи когато фазовия фронт е наклонен на ъгъл по-голям от 30⁰ отчитано от оста на снопа . От горния израз следва, че Гаусовият модел е валиден за снопове с шийки по-големи от 2λ/π.

Качество на лазерния сноп

Качеството на лазерния сноп се дава от така наречения М² метод. М² е пропорционално на разходимостта на снопа по радиуса на неговата шийка $w_0$. Отношението на М² на реален сноп към М² на идеален Гаусов сноп на същата дължина на вълната е количествена характеристика на качеството на снопа. М² на идеален Гаусов сноп е 1. Всички реални лазерни снопове имат М² > 1, най-качествените снопове обаче, като тези получавани от He-Ne лазери имат големина на М² близка до едно.

Фаза на Гуи

Надлъжното фазово закъснение или Фазата на Гуи на даден Гаусов сноп е

$\zeta (z)=\arctan \left(\frac{z}{z_R}\right)$

Комплексен параметър за описание на Гаусов сноп

Видяхме, че Гаусовия сноп в точката z се описва от два параметъра: радиуса w(z) и радиуса на кривината на фазовия фронт R(z). Удобно е тези два параметъра да се обединят в един коплексен параметър q(z), който се задава по следния начин:

$\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{R(z)}-i\frac{\lambda }{\pi w^2(z)}$

Комплексният параметър q(z) играе важна роля при анализа на разпространението на Гаусови снопове през оптични системи и специално при анализа на лазерни оптични резонатори с помощта на апарата на матричната оптика.

Използвайки Гаусовия комплексен параметър q(z) едномерното Гаусово поле се представя по този начин:

$u(x,z)=\frac{1}{\sqrt{q_x(z)}}\exp (-ik\frac{x^2}{2q_x(z)})$.

Двумерното Гаусово поле което обхваща и случая на елиптични Гаусови снопове се описва от произведението:

$u(x,y,z)=u(x,z)u(y,z)$,

В случая на най-често използвания Гаусов сноп с кръгова симетрия, където е валидно q_x = q_x = q и x² + y² = r² за полето се получава

$u(r,z)=\frac{1}{q(z)}\exp (-ik\frac{r^2}{2q(z)})$.

Интензитетът на такъв Гаусов сноп с кръгова симетрия се дава от: I(r,z) = I₀|u(r,z)|²

Мощност и интензитет

Мощност, преминаваща през диафрагма

Мощността P на лазерен Гаусов сноп преминаващ през кръгова центрирана диафрагма с радиус r намираща се в точката z е

$P(r,z)=P_0[1-e^{-2r^2/w^2(z)}]$

където

$P_0=\frac{1}{2}\pi I_0{w}_0^2$

е пълната мощност на входния сноп. I₀ e пиковият интензитет на снопа в плоскостта на щийката.

За диафрагма с радиус $r=w(z)$, преминалата мощност е

$\frac{P(z)}{P_0}=1-e^{-2}\approx 0.865$

Ако диафрагмата е с радиус $r=1.224\cdot w(z)$ близо 95% от входната мощност ще премине през нея.

Пиков и среден интензитет

Пиковият интензитет на разстояние z от шийката се пресмята като граница на отношението на падащата мощност и площ $\pi r^2$ при радиус r клонящ към нула.

$I(0,z)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{P_0[1-e^{-2r^2/w^2(z)}]}{\pi r^2}=\frac{P_0}{\pi }\underset{r\to 0}{\lim }\frac{[-(-2)(2r)e^{-2r^2/w^2(z)}]}{w^2(z)(2r)}=\frac{2P_0}{\pi w^2(z)}.$

Получихме, че пиковият интензитет на Гаусов сноп е два пъти по-голям от средния интензитет I_av, който е равен на падащата мощност, разделена на площ с радиус $w(z)$.

$I_{av}=\frac{P_0}{\pi w^2(z)}.$

За по задълбочено изучаване

• Шаблон:Cite book Chapter 3, „Beam Optics“, pp. 80 – 107.
• Шаблон:Cite book Chapter 5, „Optical Beams“, pp. 267.
• Шаблон:Cite book Chapter 16.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Външни препратки

• Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot Шаблон:Webarchive
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport Шаблон:Webarchive