Аритметична прогресия

Шаблон:Без източници Аритметичната прогресия е числова редица, в която всеки член след първия се получава от своя предходен, като се прибави едно и също число. Числото, което се прибавя, се нарича разлика на прогресията и се означава с $d$. Съгласно тази дефиниция

$a_2=a_1+d,a_3=a_2+d,...,a_n=a_{n-1}+d,...$.

Една аритметична прогресия е определена, ако се знае първия ѝ член $a_1$ и разликата $d$.

Общ член на аритметична прогресия

Формулата за общия член на аритметична прогресия е

$a_n=a_1+(n-1)d$.

Свойства на аритметичната прогресия

• Сборът от първия и последния член на крайна аритметична прогресия е равен на сбора на всяка двойка равноотдалечени от началото и края ѝ членове. Нека прогресията е

$a_1,a_2,a_3,...,a_{n-1},a_n$.

Тогава

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=...$.

• Всеки член на аритметичната прогресия

$a_1,a_2,...,a_{i-1},a_i,a_{i+1},...,a_n,...$

след първия е средно аритметичен на съседните си членове:

$2a_i=a_{i-1}+a_{i+1}$ за всяко $i\ge 2$.

• Обратно твърдение: Ако $a_1,a_2,...,a_n,...$ е числова редица, в която всеки член след първия е средно аритметичен на съседните си членове, тази редица е аритметична прогресия.

Сума на първите n члена на аритметична прогресия

Да означим с S_n сумата на първите n члена на аритметичната прогресия

$a_1,a_2,...,a_n,...$.

Тогава

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n$.

Като имаме предвид, че

$a_n=a_1+(n-1)d$,

то

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n$.

Приложения

• Сумата на първите n естествени числа е

$1+2+...+n=\frac{n+1}{2}n$.

• Сумата от квадратите на първите n естествени числа е

$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)$.

• Сумата от кубовете на първите n естествени числа е

$\sum _{k=1}^N{k}^3=1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$

Вижте също

• Геометрична прогресия