Успоредник

Успоредник

Успоредник е равнинна (двуизмерна) геометрична фигура, образувана от пресичането на две двойки успоредни прави. Успоредникът е четириъгълник, срещуположните страни на който са две по две успоредни, т.е. лежат на успоредни прави, от където идва и името на тази геометрична фигура.

Свойства на успоредника (Паралелограм)

• В успоредник срещуположните страни са равни.
• В успоредник срещуположните ъгли са равни.
• В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка.
• Всеки два ъгъла на успоредник, които прилежат на една и съща страна, имат сбор, равен на 180 градуса.
• Пресечната точка на диагоналите на успоредника е негов център на симетрия.
• Всеки диагонал разделя успоредника на два еднакви триъгълника.
• За диагоналите на успоредник e и f със страни a и b е изпълнено e² + f² = 2(a² + b²).

Лице на успоредник и други формули

Означения в успоредника

Разглеждаме успоредник ABCD с a.b.c.f.d

Тъждеството на успоредника е представено чрез формулата:

$e^2+f^2=2(a^2+b^2)$.

Лице на успоредник $S=a\cdot h_a=b\cdot h_b=\left||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}|\right|$
$S=a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot \sin \theta$,

където

$h_a=b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta$,

$h_b=a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$.

За диагоналите по косинусовата теорема имаме

$f=\sqrt{a^2+d^2-2\cdot a\cdot d\cdot \cos (\alpha )}$
$e=\sqrt{a^2+d^2+2\cdot a\cdot d\cdot \cos (\alpha )}$

За ъглите на успоредника са изпълнени равенствата

$\alpha =\gamma \beta =\delta \beta =180^{\circ }-\alpha$.

Частни случаи на успоредник

• правоъгълник – успоредник с четири равни ъгъла – по 90 градуса всеки;
• ромб – успоредник с равни страни;
• квадрат – успоредник, на който всички страни и всички ъгли са равни – по 90 градуса всеки ъгъл.

Вижте още

• Правилен многоъгълник
• Ромб
• Квадрат