Критерий за устойчивост на Михайлов

Критерият за устойчивост на Михайлов е един от начините за анализ на устойчивостта на линейна стационарна динамична система. Заедно с критерия за устойчивост на Найкуист е от групата на честотните критерии за устойчивост, за разлика от алгебричните критерии за устойчивост като критерия на Раус и критерия на Хурвиц.

Критерият за устойчивост на Михайлов е предложен през 1938 г. от А. В. Михайлов и е доста удобен за анализ на линейни системи, особено от висок порядък. Оценката на устойчивостта на системата по този критерий се извършва въз основа на построената графика на амплитудно-фазово-честотната характеристика (ходограф на Михайлов).

Формулировка

В характеристичния полином на затворена система

$D(p)=a_0{p}^n+a_1{p}^{n-1}+...+a_n$

се замества $p=j\omega$, където ω  е ъгловата честота на трептенията, които съответстват на имагинерния корен на характеристичното уравнение $D(p)=0$:

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{j\psi (\omega )}$

Реалната и имагинерната части на полинома са:

$X(\omega )=a_n-a_{n-2}{\omega }^2+...$

$Y(\omega )=a_{n-1}\omega -a_{n-3}{\omega }^3+...$

На всяка честота $\omega$ съответства точка от комплексната равнина с координати $X(\omega )$ и $Y(\omega )$, която е връх на вектора $D(j\omega )$, който започва от началото на координатната система [0 ; 0]. При изменение на честотата от 0 до ∞ върхът на вектора описва линия, наречена ходограф на Михайлов.

Критерий на Михайлов:
Шаблон:Цитат

$D(p)=a_0(p-p_1)(p-p_2)...(p-p_n)$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_0(j\omega -p_1)(j\omega -p_2)...(j\omega -p_n)$

Следствие на Михайлов:
Шаблон:Цитат

Известни са обобщения на критерия за системи за автоматично управление със закъснение, за импулсни системи, както и аналози на този критерий за нелинейни системи за автоматично регулиране.

Вижте също

• Критерий за устойчивост на Найкуист
• Критерий за абсолютна устойчивост на В. М. Попов
• Критерий за устойчивост на Раус
• Критерий за устойчивост на Хурвиц

Литература

• Михайлов А. В. – Метод гармонического анализа в теории регулирования – „Автоматика и телемеханика“, 1938, № 3, с. 27−81.
• Іванов А. О. –  Теорія автоматичного керування: Підручник.  – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет , 2003 , 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2.  – К.: Головна редакція УРЕ, 1973 , 584 с.
• Эльсгольц Л. Э. – Математические основы теории управляемых систем – М., 1969.
• Блакьер О. – Анализ нелинейных систем – пер. с англ., М., 1969.
• Кубрак А. І.  – Комп'ютерне моделювання та ідентифікація автоматичних систем – Київ, „Політехніка“, 2004.

Външни препратки

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.