Подмножество

Ойлерова диаграма, показваща A като строго подмножество на B, A⊂B

В математиката, множеството A е подмножество на множеството B (или B е надмножество на A), ако всички елементи на A са също и елементи на B. Това означава също, че всяко множество е подмножество на самото себе си.

Връзката на подмножеството определя частична подредба. Подмножествата на дадено множество образуват булева алгебра чрез тази връзка, в която могат да се изразяват сечение и обединение.

Определение

Ако A и B са множества и всеки елемент от A е също и елемент от B, тогава

• A е подмножество на B, обозначавано с $A\subseteq B,$ или еквивалентно
• B е надмножество на A, обозначавано с $B\supseteq A$.

Ако A е подмножество на B, но A не е равно на B (тоест съществува поне един елемент на B, който не е елемент на A), тогава

• A е собствено (или строго) подмножество на B, обозначавано с $A⊊B,$ или еквивалентно
• B е собствено (или строго) надмножество of A, обозначавано с $B⊋A$.

За всяко множество S, връзката на инклузия ⊆ е частична подредба върху множеството $𝒫(S)$ от всички подмножества на S, определени от $A\le B⟺A\subseteq B$. Възможно е и частичната подредба на $𝒫(S)$ чрез обратна инклузия, определяйки $A\le B⟺B\subseteq A$.

Когато се изразява количествено, Шаблон:Math се представя като Шаблон:Math.

Свойства

• Множеството A е подмножество на B тогава и само тогава, когато тяхното пресичане е равно на A.

Формално:

$A\subseteq B\iff A\cap B=A.$

• Множеството A е подмножество на B тогава и само тогава, когато тяхното обединение е равно на B.

Формално:

$A\subseteq B\iff A\cup B=B.$

• Крайното множество A е подмножество на B тогава и само тогава, когато кардиналността на тяхното пресичане е равна на кардиналността на A.

Формално:

$A\subseteq B\iff |A\cap B|=|A|.$