Репюнит

В развлекателната математика, репюнит – това е число като 11, 111 или 1111, което съдържа само цифрата 1 — по-конкретен вид на репдиджит. Терминът е съставна дума от английските думи repeat, „повторение“ и unit, „единица, част“ и е въведен през 1966 г. от Алберт Х. Бейлър в книгата му Recreations in the Theory of Numbers (Развлечения в Теорията на числата).

Репюнит просто число – това е репюнит, което също е и просто число. Простите числа, които са репюнити в двоичната бройна система са мерсенови прости числа.

Определение

За каквато и да е b-бройна система репюнитите се определят като (b може да бъде положително или отрицателно)

$R_n^{(b)}\equiv \frac{b^n-1}{b-1}\text{за }|b|\ge 2,n\ge 1.$

По този начин числото R_n^(b) се състои от n на брой цифри 1 в бройна система с основа b. Първите два репюнита в b-бройна система за n=1 и n=2 са

$R_1^{(b)}=\frac{b-1}{b-1}=1\text{ и }{R}_2^{(b)}=\frac{b^2-1}{b-1}=b+1\text{за }|b|\ge 2.$

В частност, в десетичната бройна система (b=10) репюнитите, се определят като

$R_n\equiv R_n^{(10)}=\frac{10^n-1}{10-1}=\frac{10^n-1}{9}\text{за }n\ge 1.$

По този начин числото R_n = R_n⁽¹⁰⁾ се състои от n копия на числото 1 в десетична система. Последователността на репюнитите в нея започва с

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... (последователност A002275 в OEIS).

По същия начин, репюнитите в двоичната бройна система се определят като

$R_n^{(2)}=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1\text{за }n\ge 1.$

По този начин числото R_n⁽²⁾ се състои от n копия на числото 1 в двоична система. Всъщност, репюнитите в нея са известни като числа на Мерсен М_n = 2ⁿ − 1, те започват с

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (последователност A000225 в OEIS).

Свойства

• Всеки репюнит, в която и да е бройна система, с брой цифри съставно число е задължително съставно число. Съответно репюнит (отново във всяка бройна система) броят на цифрите, на който е просто число може да е просто число. Това е необходимо, но не достатъчно условие. Например,

  R₃₅^(b) = 11111111111111111111111111111111111

  = 11111 × 1000010000100001000010000100001

  = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

тъй като 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Тази репюнит факторизация не зависи от бройната основа b, в която е изразен репюнитът.

• Всяко положително кратно на репюнита R_n^(b) съдържа най-малко n цифри различни от 0 в b-бройна система.
  
• Единствено известните числа, които са едновременно репюнити, с поне 3 цифри, в повече от една бройна система, са 31 (111 в бройна система с основа 5 = 11111 в двоичната система) и 8191 (111 в бройна система с основа 90 = 1111111111111 в двоичната система). Белгийският математик Гормати изказва своята хипотеза, че тези два случая са единствени.

Разлагане на десетични репюнити

(Простите делители в Шаблон:Цвят2 цвят означават „нови“, т.е. простите делители разделят R_n, но не разделят R_k за всички k < n) (последователност A102380 в OEIS)

R1 = 1 R2 = Шаблон:Color R3 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R4 = 11 · Шаблон:Color R5 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R6 = 3 · Шаблон:Color · 11 · Шаблон:Color · 37 R7 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R8 = 11 · Шаблон:Color · 101 · Шаблон:Color R9 = 32 · 37 · Шаблон:Color R10 = 11 · 41 · 271 · Шаблон:Color

R11 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · Шаблон:Color R13 = Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R14 = 11 · 239 · 4649 · Шаблон:Color R15 = 3 · Шаблон:Color · 37 · 41 · 271 · Шаблон:Color R16 = 11 · Шаблон:Color · 73 · 101 · 137 · Шаблон:Color R17 = Шаблон:Color · Шаблон:Color R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · Шаблон:Color · 37 · Шаблон:Color · 333667 R19 = Шаблон:Color R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · Шаблон:Color · 9091 · Шаблон:Color

R21 = 3 · 37 · Шаблон:Color · 239 · Шаблон:Color · 4649 · Шаблон:Color R22 = 112 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · 21649 · 513239 R23 = Шаблон:Color R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · Шаблон:Color R25 = 41 · 271 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R26 = 11 · 53 · 79 · Шаблон:Color · 265371653 · Шаблон:Color R27 = 33 · 37 · Шаблон:Color · 333667 · Шаблон:Color R28 = 11 · Шаблон:Color · 101 · 239 · Шаблон:Color · 4649 · 909091 · Шаблон:Color R29 = Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color · Шаблон:Color R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · Шаблон:Color · Шаблон:Color · 271 · Шаблон:Color · 9091 · 2906161

История

Въпреки че тогава не са били известни под това име, репюнитите в десетичната система са изследвани от много математици през XIX век в стремежа им да изработят и прогнозират цикличните закономерности в повтарящи се десетични знаци.

Бързо било открито, че за всяко просто p по-голямо от 5, дължината на периода в периодичната десетична дроб 1/p е равен на дължината на най-малкото репюнит число, което се дели на р. Таблица с периодите на реципрочните прости числа до 60 000 е публикувана през 1860 година и позволява на математиците (като Ройшле) разлагане на множители на всички репюнити до R₁₆ и много по-големи. Към 1880 г., дори Р₁₇ до р₃₆ са разложени и, въпреки че Едуард Лукас показва, че никое просто число под три милиона няма период деветнадесет, няма нито един опит да се тестват всички репюнити дали са прости числа до началото на ХХ век. Американският математик Оскар Хоппе доказва, че R₁₉ е просто през 1916 г., а Лемер и Крайчик самостоятелно откриват, че R₂₃ е просто число през 1929 година.

По-нататъшни успехи в изучаването на репюнитите няма чак до 60-те години на ХХ век, когато компютрите дават възможност да се открият много нови делители на репюнитите и да се коригират пропуски в таблиците с периодите на простите числа. R₃₁₇ се оказва възможно просто число – около 1966 г. и е доказано като такова единадесет години по-късно, когато за R₁₀₃₁ е открито, че е единственото следващо възможно репюнит просто число, с по-малко от десет хиляди цифри. През 1986 година това е потвърдено, но откриването на по-нататъшни репюнит прости числа в следващите десетилетия постоянно се проваля. Въпреки това има сериозни странични разработки в областта на общите репюнити, които показват голям брой нови прости и вероятно прости числа.

От 1999 г. още четири вероятно прости репюнит числа са открити, но едва ли за някое от тях ще бъде доказано, че е просто в обозримо бъдеще, поради огромния им размер.

В Проектът Кънингам се стремят да документират целочисленната факторизация (наред с други числа) на репюнитите в бройните системи с основа 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, и 12.

Числа Демло

През 1938 индийският математик Капрекар определя числата Демло като низ от лява, средна и дясна част, като лявата и дясната част трябва да бъдат с еднаква дължина (до евентуално водеща 0 вляво), а средната част може да съдържа произволен брой от тези повтарящи се цифри.

Те са наречени в чест на жп гарата Демло на 30 мили от Мумбай, Индия, където Капрекар започнал да ги изследва.

Той нарича Прекрасни Демло числа, палиндромите 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Това са квадратите на първите девет репюнити, поради което някои автори наричат Демло числа безкрайната последователност на 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (последователност A002477 в OEIS), макар че това не са Демло числа при n = 10, 19, 28, ...