Функция на Хевисайд

Праговата функция на Хевисайд

Функцията на Хевисайд (единичната прагова функция, функция на единичния скок) е функция, равна на нула за отрицателни стойности на аргумента и единица – за положителни. В нулата тази функция е неопределена, обаче обикновено я доопределят с някое число, така че областта на определението на функцията да съдържа в себе си всички точки от числовата ос. Най-често стойността на функцията в нулата не е важна, затова се използват различни определения на функцията на Хевисайд, удобни по едни или други съображения, например

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

Друго разпространено определение:

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ 1,& x⩾0\end{array}$

Функцията на Хевисайд се използва широко в математическия апарат на теорията на управлението и теорията на сигналите за представяне на сигнали, преминаващи в определен момент от времето от едно състояние в друго. В математическата статистика тази функция се прилага, например, за запис на емпиричната функция на разпределението. Наречена е в чест на Оливър Хевисайд.

Функцията на Хевисайд представлява интегрираната функция за делта-функцията на Дирак, $H^{\prime }=\delta$, която може да се запише и като:

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt$

Дискретна форма

Дискретната функция на Хевисайд може да се дефинира като функция от целочисления аргумент $n$:

$H[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0;\\ 1,& n⩾0,\end{array}$

където $n$ е цяло число.

Дискретният единичен импулс представлява първата производна на дискретната функция на Хевисайд:

$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$

Аналитични форми

За по-удобно използване на функцията на Хевисайд може да се апроксимира с помощта на непрекъсната функция:

$H(x)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{t}\mathrm{h}kx=\frac{1}{1+e^{-2kx}},$

където на по-голямо $k$ съответства по-стръмен наклон на функцията в точката $x=0$. Ако приемем, че $H(0)=1/2$, Уравнението може да бъде написано в гранична форма:

Запис

Често се използва и е полезна интегралната форма на запис на единичната функция:

$H(x)=-\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}\frac{1}{\tau +i\epsilon }{e}^{-ix\tau }d\tau$

H(0)

Стойността на функцията в нулата често се задава като $H(0)=0$, $H(0)=1/2$ или $H(0)=1$. $H(0)=1/2$ е най-употребяваният вариант, тъй като по съображения за симетрия в точката на прекъсване от първи род е удобно да доопределим функцията със средно аритметично, съответстващо на еднострани граници, а освен това в този случай функцията на Хевисайд е свързана с функция на знака:

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

$H(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{sgn}x)$

Стойността в нулата може да се запише явно чрез функцията:

$H_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0;\\ n,& x=0;\\ 1,& x>0.\end{array}$

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}(1+\mathrm{t}\mathrm{h}kx)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+e^{-2kx}}.$

Съществуват няколко други апроксимации чрез непрекъснати функции:

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}kx)$

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}kx).$

Преобразуване на Фурие

Производната на функцията на Хевисайд е равна на делта-функцията (т.е. функцията на Хевисайд е интегрирана делта-функция):

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt$.

Следователно, като приложим преобразуването на Фурие към интегрираната делта-функция $H(t)$, получаваме изображението ѝ от вида:

$\frac{1}{2\pi i\omega }+\frac{1}{2}\delta (\omega ),$

т.е.:

$H(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{2\pi i\omega }+\frac{1}{2}\delta (\omega ))e^{i\omega t}d\omega$

(вторият член съответства на нулева честота в разлагането и описва постоянното преместване на функцията на Хевисайд нагоре; без него би се получила нечетна функция).