Функция на Грийн

В математиката, функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793 – 1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.

Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността) $g$ от диференциалното уравнение:

$L\mathrm{\Phi }(x)=g$.

където $L$ е линеен (диференциален) оператор – например ${\mathrm{\nabla }}^2$, а $\mathrm{\Phi }(x)$ е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=g$ в област $R$

$\mathrm{\Phi }(B)=f$ на границата на областта $R$: $B$,

то тя се преформулира по следния начин:

$\mathrm{\Phi }=\underset{R}{\int }g({𝐫}^{\prime })G(𝐫,{𝐫}^{\prime })d{v}^{\prime }+{\oint }_{B}f\frac{\partial G}{\partial n}dS$

където $n$ е сочещата навън от граничната повърхност $B$ нормала, $v^{\prime }$ е обема на източника, a $G(𝐫,{𝐫}^{\prime })$ е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията $G(𝐫,{𝐫}^{\prime })$ е известна ще се получи и решение за $\mathrm{\Phi }$. Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:

$LG(𝐫,{𝐫}^{\prime })=\delta (𝐫,{𝐫}^{\prime })$,

където $𝐫$ и ${𝐫}^{\prime }$ са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a $\delta (𝐫,{𝐫}^{\prime })$ е делта-функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при $𝐫\ne {𝐫}^{\prime }$ и удовлетворява равенството:

$\int \delta (𝐫,{𝐫}^{\prime })g({𝐫}^{\prime })d{v}^{\prime }=g(𝐫)$

Функция на Грийн в свободното пространство

Операторно уравнение	Уравнение на Лаплас	Квазистационарно уравнение на Хелмхолц	Вълново уравнение на Хелмхолц
Решение	${\mathrm{\nabla }}^{2}G=\delta (𝐫,{𝐫}^{\prime })$	${\mathrm{\nabla }}^{2}G+k^{2}G=\delta (𝐫,{𝐫}^{\prime })$	${\mathrm{\nabla }}^{2}G-k^{2}G=\delta (𝐫,{𝐫}^{\prime })$
Област	$G(𝐫,{𝐫}^{\prime })$	$G(𝐫,{𝐫}^{\prime })$	$G(𝐫,{𝐫}^{\prime })$
Едномерна	няма решение за (-∞,∞)	$-\frac{j}{2k}exp(jk|x-x^{\prime }|)$	$-\frac{1}{2k}exp(-k|x-x^{\prime }|)$
Двумерна	$\frac{1}{2\pi }ln|\rho -{\rho }^{\prime }|$	$-\frac{j}{4}{H}_0^{(1)}(k|\rho -{\rho }^{\prime }|)$	$-\frac{1}{2\pi }{K}_0(k|\rho -{\rho }^{\prime }|)$
Тримерна	$-\frac{1}{4\pi (𝐫-{𝐫}^{\prime })}$	$-\frac{exp(jk|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{4\pi (𝐫-{𝐫}^{\prime })}$	$-\frac{exp(-k|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{4\pi (𝐫-{𝐫}^{\prime })}$

Вълновото уравнение има времеви множител $e^{j\omega t}$, такъв, че $k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$.

Вижте също

• Теореми на Грийн

Източници

• Шаблон:Cite book