Преглед на кода на Число на Мерсен

'''Число на Мерсен''' (също ''мерсеново число'') се нарича всяко число от вида:
:<math>M_n = 2^n-1</math> (за n > 1).

Кръстено е на френския математик [[Марен Мерсен]] (1588 – 1648). Интерес за теория на числата представляват тези мерсенови числа, които са [[просто число|прости]]. Известни са под наименованието ''мерсенови прости числа''. Ако едно мерсеново число <math>M_n</math> е просто, то и <math>n</math> би трябвало да е просто число. Обратното обаче невинаги е вярно. Например:
:<math>M_{11}=2^{11}-1=2047=23 \cdot 89</math>
Това е и най-малкото мерсеново [[съставно число]] с експонента (<math>n</math>) просто число. Най-малкото мерсеново число с експонента съставно число е:
:<math>M_{4}=2^{4}-1=15=3 \cdot 5</math>

== Мерсеновите и съвършените числа ==
Простите мерсенови числа са тясно свързани със [[съвършено число|съвършените числа]]. Всички известни съвършени числа са четни и се получават по формулата:

:<math>2^{n - 1} (2^n - 1)</math>,

където <math>2^n - 1</math> e мерсеновото число <math>M_n</math>. Горната формула е използвана от [[Евклид]] за пресмятането на първите четири съвършени числа (6, 28, 496, 8128) и стига до нас с неговото съчинение „Елементи“. С помощта на тази формула търсенето на четни съвършени числа се свежда до търсене на мерсенови числа.

Все още не е известно дали простите мерсенови числа, а съответно и четните съвършени числа са безбройно много или са краен брой. Този математически проблем остава '''нерешен''', въпреки че търсенето на мерсенови числа се извършва с помощта на много мощни компютри.

== Компютърната ера в търсенето на мерсенови числа ==
[[Файл:primes.png|мини|360px|Графика на броя на цифрите в най-големите известни мерсенови прости числа — вертикалната скала е [[логаритмична скала|логаритмична]]]]

Революция в търсенето на мерсенови прости числа е въвеждането на електронните цифрови компютри. Първият успех на компютрите е ''M''<sub>521</sub>, открито на 30 януари [[1952]] г. с помощта на SWAC в Института по числен анализ в Калифорнийския университет — Лос Анжелис, с компютърна програма, написана и пусната от проф. Рафаел М. Робинсън. Следващо е ''M''<sub>607</sub>, намерено с компютър след по-малко от две години. Числата ''M''<sub>1279</sub>, ''M''<sub>2203</sub> и ''M''<sub>2281</sub> са намерени със същата програма няколко месеца по-късно.
''M''<sub>4253</sub> е първото мерсеново просто число '''титан''', ''M''<sub>44497</sub> е първото мерсеново просто число '''гигант''' и ''M''<sub>6 972 593</sub> е първото мерсеново просто '''мегачисло''' – с най-малко 1 000 000 цифри.

== Списък на първите 12 мерсенови прости числа ==
Първите четири мерсенови прости числа – <math>M_2 = 3</math>, <math>M_3 = 7</math>, <math>M_5 = 31</math> и <math>M_7 = 127</math> са били известни в античността. Петото – <math>M_{13} = 8191</math>, е с неизвестно авторство от [[1461]] г. Следващите две – <math>M_{17}</math> и <math>M_{19}</math>, са намерени от [[Пиетро Каталди]] през [[1588]] г. След близо два века, през [[1772]] г. [[Леонард Ойлер]] доказва, че <math>M_{31}</math> е просто число. Исторически следващото <math>M_{127}</math> е открито от френския математик [[Едуар Лука]] през [[1876]] г., резултат от 19-годишни изчисления на ръка. Вероятно това завинаги ще остане най-голямото мерсеново просто число, изчислено на ръка. След него през [[1883]] година руският свещеник и математик [[Иван Первушин]] открива <math>M_{61}</math>. Числата <math>M_{89}</math> и <math>M_{107}</math> са намерени в началото на XX век от [[Ралф Пауърс]] през [[1911]] г. и съответно през [[1914]] г. Първите 12 мерсенови прости числа са открити без помощта на компютри.

Последователности A000043<ref>[http://oeis.org/A000043 OEIS A000043]</ref> (за <math>n</math>) и A000668<ref>[http://oeis.org/A000668 OEIS A000668]</ref> (за <math>M_n</math>) в OEIS.

# <math>M_2</math> = 3
# <math>M_3</math> = 7
# <math>M_5</math> = 31
# <math>M_7</math> = 127
# <math>M_{13}</math> = 8191
# <math>M_{17}</math> = 131 071
# <math>M_{19}</math> = 524 287
# <math>M_{31}</math> = 2 147 483 647
# <math>M_{61}</math> = 2 305 843 009 213 693 951
# <math>M_{89}</math> = 618 970 019 642 690 137 449 562 111
# <math>M_{107}</math> = 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127
# <math>M_{127}</math> = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

== Вижте също ==
* [[Съвършено число]]
* [[Просто число]]

== Източници ==
<references />

{{Превод от|en|Mersenne prime|275099618}}

[[Категория:Теория на числата]]
[[Категория:Прости числа]]