Преглед на кода на Функция скобка

'''Функциите „скобки“''' или '''функционални скобки''' са математически [[Функция|функции]], с които се обозначават най-близките [[Цяло число|цели числа]] до дадено число или дробната му част.<br> 
С '''долни скобки''' <math>\lfloor x\rfloor</math> или '''средни скобки''' <math>[x]</math> се обозначава '''най-голямото цяло число''', което не надвишава (тоест е по-малко от или равно на) <math>x</math>.<ref name=":0">[https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=27&t=9467 Скобка хикс [x] какво значи?], matematika.bg.</ref> Обратно, '''горните скобки''' <math>\lceil x\rceil</math> обозначават '''най-малкото цяло число''', което е по-голямо от или равно на <math>x</math>.<br>
С '''големи скобки''' <math>\{x\}</math> се обозначава '''дробната част''' на <math>x</math>. Във всички случаи <math>x</math> е [[реално число]].
[[Файл:Ceilfloor nt.png|рамка|дясно|Графика на функциите <span style="color:red;" >⌅''x''⌆</span> и <span style="color:green;">⌇''x''⌈</span>.]]

== Долни скобки ==
Функцията '''„долни скобки“''' ('''''подови скобки''''', {{lang|en|floor}} – [[под]]) или '''средни скобки''' е функция, която се обозначава с <math>\lfloor x\rfloor</math> или <math>[x]</math>. Често в [[програмиране]]то <math>\mathrm{floor}(x)</math> се ползва вместо писмените обозначения.<ref>{{икона|en}} [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Math/floor developer.mozilla.org]</ref>

Функцията е дефинирана по следния начин:

'''За едно реално число <math>x</math>, <math>\lfloor x\rfloor</math> е най-голямото [[цяло число]], което е по-малко или равно на <math>x</math>.'''

или
: <math>\lfloor x\rfloor := \max\lbrace n \in \mathbb Z | n \leq x\rbrace</math>

Обозначението <math>[x]</math> е изобретено от [[Карл Фридрих Гаус]].<ref>Lemmermeyer, страници 10, 23.</ref>

Примери:
{{колони|2|
* <math>\lfloor 2,8\rfloor = 2</math>
* <math>\lfloor -3,1 \rfloor = -4</math>
* <math>\lfloor \pi \rfloor = 3</math>
* <math>\lfloor e \rfloor = 2</math>
* <math>\lfloor 5\rfloor = 5</math>
* <math>\lfloor 4\frac{1}{2}\rfloor = 4</math>
* <math>\lfloor -3\frac{2}{5}\rfloor = -4</math>
}}

=== Свойства ===
1. За всяко цяло число <math>x</math> ⇒ <math>[x]=x</math>.

2. Вярно е и обратното: Ако <math>[x]=x</math>, то <math>x</math> е цяло.

3. За произволни реални числа <math>x</math> и <math>y</math> e изпълнено <math>\quad [x]+[y]\leqslant[x+y][x]+[y]\leqslant[x+y]</math>.

4. За произволни реални числа <math>x</math> и <math>y</math> цялата част на сбора
:<math>[x+y]\leqslant[x]+[y]+1[x+y]\leqslant[x]+[y]+1</math>.

5. За произволно реално <math>x</math> и цяло <math>n</math>, следва <math>\quad [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n</math>.

== Горни скобки ==
Функцията '''„горни скобки“''' (също изписана като '''ceiling''') е дефинирана така:

'''За едно реално число <math>x</math>, <math>\lceil x\rceil</math> е най-малкото [[цяло число]], което е по-голямо или равно на <math>x</math>,'''

или
:<math>\lceil x \rceil := \min\lbrace n \in \mathbb Z | n \geq x\rbrace</math>.

На български език индивидуални имена за горната скобка не са често срещани; в тази статия се ползва ''горни скобки'' с обратното име ''долни скобки'', по подобен начин както <math>\mathrm{floor}(x)</math> и <math>\mathrm{ceiling}(x)</math> са обратни, означавайки буквално ''под'' и ''таван''. Имената най-вероятно идват от действието на функциите: те са като горната и долната граница на цялата част на <math>x</math>.

Примерни стойности на <math>x</math> и <math>\lceil x\rceil</math> са:
{{колони|2|
* <math>\lceil 2,1 \rceil = 3</math>
* <math>\lceil -4,5 \rceil = -4</math>
* <math>\lceil \pi \rceil = 4</math>
* <math>\lceil e \rceil = 3</math>
* <math>\lceil 1\rceil = 1</math>
* <math>\lceil 6\frac{2}{3}\rceil = 7</math>
* <math>\lceil -8\frac{3}{4}\rceil = -8</math>
}}

== Дробна част ==
{{Основна|Дробна част}}
Дробната част <math>\{x\}</math> на реалното число <math>x</math> е разликата между числото и цялата му част:<ref name=":0" />
<blockquote><math>\{x\} = x \, \bmod \, 1 = x-\lfloor x\rfloor</math>,</blockquote>
или <math>\quad \lfloor x \rfloor + \{ x \} = x</math>.

От определението за дробна част следва, че <math>\quad 0 \leq \{x\}< 1</math>.

Примери:
* <math>\{3\}=0</math>
* <math>\{4,5\}=0,5</math>
* <math>\{ \pi \} = 0,1415926...</math>
* <math>\{ e \} = 0,718281828459...</math>
* <math>\left\{\tfrac{11}3\right\} = \tfrac{11}3-3 = \tfrac{2}{3}</math>
* <math>\left\{-\tfrac{11}3\right\}= -\tfrac{11}3 - \lfloor-\tfrac{11}3 \rfloor = -3\tfrac{2}{3} - (-4) = \tfrac{1}{3}</math>
* <math>\;\{-1,05\}=-1,05-\lfloor-1,05\rfloor=-1,05-(-2)=0,95</math>

Понякога <math>\{x\}</math> се ползва само да означава частта на <math>x</math>, която е след десетичната запетая. Тогава последната примерна стойност е 
<math>\{-1,05\}=0,05</math>.

== Източници ==
<references />

[[Категория:Аритметични функции]]