Преглед на кода на Супремум-норма

'''Супремум-нормата''' е понятие от [[функционален анализ|функционалният анализ]]. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство <math>\ell^\infty(M, Y)</math> на ограничените функции
:<math>f:M\to Y</math>
изобразяващи непразно множество <math>M</math> в нормираното пространство <math>(Y, \|\cdot\|_Y)</math> ''супремум-нормата'' се дефинира чрез
:<math>\|f\|_{\ell^\infty}:=\textrm{sup}_{x\in M}|f(x)|</math>.<ref>Alt, 2006, стр. 37</ref>
По-рядко използвано наименование е ''норма на Чебишев''.

== Свойства ==
[[Файл:Vector_norm_sup.svg|рамка|дясно|За точка от страните на квадрата е изпълнено <math>\|x\|_\infty = 1</math>.]]
Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции <math>f:M\!^\to Y</math> не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство <math>\ell^\infty(M, Y)</math> да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.

Ако <math>M</math> е компактно метрично пространство, то пространството <math>C(M)</math> на непрекъснатите функции <math>f:M\!^\to Y</math> е подпространство на <math>\ell^\infty(M, Y)</math> и може да бъде нормирано чрез ''максимум-нормата'':<ref name="Dobr31">Dobrowski, 2006, стр. 31-32</ref>
:<math>\|f\|_\infty:=\textrm{max}_{x\in M}|f(x)|</math>,
която в частност съвпада със супремум-нормата. <math>\|\cdot\|_\infty</math> понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството <math>C(M)</math> може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни.<ref>Dobrowski, 2006, стр. 14</ref> Нормираното пространство <math>(C(M),\|\cdot\|_\infty)</math> е [[Банахово пространство|банахово]].<ref name="Dobr31" />

Функцията

:<math>d(f,g)=\|f-g\|_\infty</math>

е [[метрика]] в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { ''f''<sub>''n''</sub>: ''n'' = 1, 2, 3, ... } [[равномерна сходимост|клони равномерно]] към функцията ''f'' тогава и само тогава, когато

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n-f\|_\infty=0.</math>

=== Примери ===
Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.<ref>Werner, 2005, стр. 8-9</ref>
* Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комплекснозначни редици: <math>c_0=\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \textrm{lim}_{n\to\infty}t_n=0\}</math> (Тук <math>\mathbb{K}</math> е <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>.)
* Пространсвото на сходящите редици: <math>c=\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \exist t(\textrm{lim}_{n\to\infty}t_n=t)\}</math>
* Пространсвото на ограничените редици: <math>\ell^\infty(\mathbb{N})=\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \exist t\forall n(|t_n|<t)\}</math>
Последното пространство има връзка с пространствата на сумируемите редици:
:<math>\ell^p=\left\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\ \sum_{n=1}^\infty|t_n|^p<\infty\right\}</math>
нормирани чрез
:<math>\|x\|_{\ell^p}=\left(\sum_{n=1}^\infty|t_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}</math>
за <math>1\leq p < \infty</math>. В сила е
:<math>\forall x\in\ell^1(\mathbb{N})(\textrm{lim}_{p\to\infty}\|x\|_{\ell^p}=\|x\|_{\ell^\infty})</math><ref>Werner, 2005, стр. 37</ref>
За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието [[съществена супремум-норма]]<ref>На англ. ''essential supremum norm''</ref>.

Пространството <math>C^1([a,b])</math> на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал <math>[a,b]</math> нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната <math>r</math>-та производна нормирано чрез
:<math>\|f\|=\sum_{i=0}^r\left\|\frac{\mathrm d^i f}{\mathrm d x^i}\right\|_{\ell^\infty}</math>
е банахово.<ref name="Werner67">Werner, 2005, стр. 6-7</ref>
== Вижте също ==
* [[Пространство Lp]]
* [[Равномерна сходимост]]
== Литература ==
* Mathieu M., ''Funktionalanalysis'', Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1998, ISBN 3-8274-0153-4
* Dubrowski M., ''Angewandte Funktionalanalysis'', Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-25395-5
* Alt H., ''Lineare Funktionalanalysis'', Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-34186-2
* Werner D., ''Funktionalanalysis'', Springer, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21381-3
== Бележки ==
<div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
<references /></div>

[[Категория:Функционален анализ]]