Преглед на кода на Средноаритметична стойност

'''Средноаритметично''' на <math>n</math> числа <math>x_1, x_2, ... x_n</math> е сборът им, разделен на броя им, т. е.
<math>\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}</math>.

Равнозначно се използват понятията „средноаритметично число“, „средноаритметична стойност“, „средноаритметична оценка“, „средноаритметично претеглено“, „средноаритметично тегло“.

== Примери ==
* Ако има три числа, събират се и се дели сбора на 3: <math>\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}</math>.
* Ако има четири числа, събират се и се дели сбора на 4: <math>\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}</math>.
* Ако има пет числа, събират се и се дели сбора на 5: <math>\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5}</math>.
* Ако месечният доход на <math>10</math> души е <math>{2640,2956,3400,738,482,480,475, 472,470,467}</math>, тогава средноаритметичното е:
:<math>\frac{2640+2956+3400+738+482+480+477+472+470+467}{10}=1258.</math>

== Общи сведения ==
Средноаритметичното е една от най-широко използваните числови характеристики за [[:ru:Среднее значение|средна стойност]]. Предложено е още от [[Питагорейство|питагорейците]] (заедно със [[Средно геометрично|средногеометричното]] и [[Средно хармонично|среднохармоничното]]). <ref>Cantrell, David W., [http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanMeans.html «Pythagorean Means»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110522154218/http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanMeans.html |date=2011-05-22 }} from [[MathWorld]]</ref> То се пресмята лесно и в повечето случаи е приемлива мярка за средната стойност на съвкупност от числови данни. В изключителни случаи обаче е възможно средноаритметичното да даде напълно неадекватна представа за стойностите в дадено числово множество. Това става, когато някои числа в множеството са екстремални (т. е. много големи или много малки). Съществуват статистически методи за откриване на екстремални стойности. Препоръчително е средноаритметичното да бъде изчислявано след премахване на екстремалните стойности; така то става много по-надеждна мярка за средна стойност. Алтернативата е да се използва някоя друга мярка, която е нечувствителна към екстремални стойности, например [[Средномедианна стойност|средномедианното число]].

Специални случаи на средноаритметичната стойност са средна стойност на [[:ru:Генеральная совокупность|генералната съвкупност]] и [[:ru:Выборочное среднее|средна стойност на извадката]] ([[:ru:Выборка|извадките]]).

В случай, че броят на елементите на набора от числа на стационарен случаен процес е безкраен, [[Математическо очакване|математическото очакване]] на случайна променлива играе ролята на средно аритметично.

Средноаритметичната стойност се използва основно в математиката и статистиката. Прилага се и в икономиката, антропологията, историята и почти всяка академична област до известна степен. Например доходът на глава от населението е средният аритметичен доход на населението на една нация.

Освен средноаритметичното съществуват и други [[:ru:Меры центральной тенденции|мерки за средна стойност]]: [[Средно геометрично|средногеометрично]], [[:ru:Среднее арифметико-геометрическо|средно аритметико-геометрично]], [[среднохармонично]], [[Средностепенна стойност|средностепенно]], [[средноквадратично]], [[средномедианна стойност]], [[Медиана (статистика)|медиана]], [[Мода (статистика)|мода]], и др.

== Характеристика ==
Нека обозначим набора от числа ''X = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>)'' – тогава средната стойност на извадка от него обикновено се обозначава с хоризонтална черта над променливата (<math>\bar{x}</math>, произнася се „<math>x</math> с черта“ ).

Средноаритметичното на целия набор от числа обикновено се означава с гръцката буква [[Мю|μ]]. За случайна променлива, за която е определена средната стойност, μ е ''средната вероятност'' или [[Математическо очакване|математическото очакване]] на [[Случайна величина|случайната величина]]. Ако множеството ''X'' е съвкупност от произволни числа със средна вероятност μ, тогава за всяка извадка ''x''<sub>i</sub> от тази съвкупност μ = E{xi} е [[Математическо очакване|математическото очакване]] на тази извадка.

На практика разликата между μ и <math>\bar{x}</math> е, че μ е типична променлива, защото може да се види извадката, а не цялата съвкупност. Затова, ако извадката е представена на случаен принцип (от гледна точка на [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]]), тогава <math>\bar{x}</math> (но не μ) може да се третира като случайна променлива, която има [[разпределение на вероятностите]] на извадката (вероятностно разпределение на средната стойност).

И двете величини се изчисляват по един и същ начин:
:<math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n).</math>

Ако ''X'' е случайна променлива, тогава математическото очакване на ''X'' може да се разглежда като средно аритметично на стойностите при многократни измервания на ''X''. Това е проявление на закона за големите числа. Следователно средната стойност на извадката се използва за оценка на неизвестното математическо очакване.

В [[Елементарна алгебра|елементарната алгебра]] се доказва, че средната стойност на <math>n</math> + 1 числа е по-голяма от средната стойност на <math>n</math> числа тогава и само тогава, когато новото число е по-голямо от старото средно; по-малка – тогава и само тогава, когато новото число е по-малко от старото средно; и равна на нея, ако и само ако новото число е средното. Колкото по-голямо е <math>n</math>, толкова по-малка е разликата между новата и старата средна стойност.

=== Непрекъсната случайна променлива ===
Ако има [[интеграл]] от някаква функция <math>f(x)</math> на една променлива, тогава средноаритметичното на тази функция в отрязъка <math>[a;b]</math> се намира чрез определен интеграл:
:<math>\overline{f(x)}_{[a;b]} = \frac1{b-a} \int_{a}^b f(x) dx.</math>

Тук за определяне на интервала <math>[a;b]</math> се предполага, че <math>b\geq a,</math> като <math>b\ne a,</math> за да не е равен на 0 знаменателят.

== Свойства ==
Средноаритметичната стойност има няколко свойства, които я правят интересна, особено като мярка за централна тенденция. Те включват:

* Ако числата <math>x_1,\dotsc,x_n</math> имат средноаритметично <math>\bar{x}</math>, тогава <math>(x_1-\bar{x})+\dotsb+(x_n-\bar{x})=0</math>. Тъй като <math>x_i-\bar{x}</math> е разстоянието от дадено число до средната стойност, един от начините да се интерпретира това свойство е като се каже, че числата вляво от средната стойност са балансирани от числа вдясно. Средната стойност е единственото число, за което сумата на [[:en:Errors and residuals|остатъците]] (отклоненията от оценката) е [[нула]]. Това също може да се тълкува като че средната стойност е [[:ru:Трансляционная симетрия|транслационно инвариантна]] в смисъл, че за всяко реално число <math>a</math>, <math>\overline{x + a} = \bar{x} + a</math>.
* Ако се изисква да се използва едно число като „типична“ стойност за набор от известни числа <math>x_1,\dotsc,x_n</math>, тогава средноаритметичното на числата прави това най-добре, тъй като минимизира сумата на [[Средноквадратично отклонение|средноквадратичните отклонения]] от типичната стойност: сумата от <math>(x_i-\bar{x})^2</math>. Средната стойност на извадката също е най-добрият единичен показател (предиктор), тъй като има най-ниската средноквадратичнна грешка. <ref name="JM">{{cite book|last=Medhi|first=Jyotiprasad|title=Statistical Methods: An Introductory Text|url=https://books.google.com/books?id=bRUwgf_q5RsC|year=1992| publisher=New Age International|isbn=9788122404197|pages=53–58}}</ref>
* Средната аритметичната стойност е независима от мащаба на мерните единици, в смисъл че <math>\text{avg}(ca_{1},\cdots,ca_{n})=c\cdot\text{avg}(a_{1},\cdots,a_{n}).</math> Така, например, изчисляването на средна стойност на [[Литър|литри]] и след това преобразуване в [[галон]]и е същото като първо преобразуване в галони и след това изчисляване на средната стойност. Това също се нарича [[:en:Homogeneous function|хомогенност от първи ред]] и означава, че средноаритметичното е [[:ru:Однородная  функция|еднородна функция]].
* Средната аритметична стойност на дадена извадка винаги е между най-голямата и най-малката стойност в тази извадка.
* Средната аритметична стойност на произволно количество групи с еднакви по размер числа заедно е средната аритметична стойност на средните аритметични стойности на всяка група.

== Някои проблеми при използването на средната стойност ==
* '''Липса на [[:ru:Робастность|робастност]] /устойчивост/''' – при големи отклонения на пиковите стойности от средната, например среден доход ли тегло: за извадката (1, 2, 3, 2, 9, 2) средната аритметична стойност е 3,166, но пет от шестте стойности са под тази средна стойност.
* '''Сложeн процент''' (виж [[Възвръщаемост на инвестициите]])
* '''Направления и цикличност на променливите'''. Например, [[Градус (ъгъл)|ъглови градуси]] и [[радиан]]и: средната посока на 1° и 359° не е средноаритметичната стойност 180°, а 0°. За да съвпадат те, трябва в такива случаи, когато всички променливи са само в I квадрант (0°÷90°) и IV квадрант (270°÷360°), т. е. с [[дисперсия]] около оста 0°, за променливите от IV квадрант да се използват отрицателни градуси в обратен ред на I квадрант: 270°÷360° = –90°÷0°. Ако променливите са само във II квадрант (90°÷180°) и III квадрант (180°÷270°), т. е. с [[дисперсия]] около оста 180°, трябва да се използват положителни градуси. Ако променливите са в 3 или 4 квадранта, за променливите от III и IV квадрант ''може'' да се използват отрицателни градуси в обратен ред на I и II квадрант: 270°÷360° = –180°÷0°. Но посоката ±180° остава нееднозначна и при сумирането ѝ с променливи с различни знаци се получават различни резултати за средноаритметичното, които определят с различна грешка вярната средна посока, ако е избрано +180° или –180°. Например, за извадката (20°, ±180°, –140°=220°):<br>
:(20°+180°–140°):3=20° /при +180°/; (20°–180°–140°):3=–100°=260° /при –180°/;<br> (20°+180°+220°):3=140° /при положителни градуси/.<br>
Действителната средна посока, определена с геометрично сумиране, е 113,33°. Най-близък до нея е резултатът, получен при използване само на положителни градуси.

При преобладаващи променливи в I и IV квадрант спрямо II и III по-точен резултат дава използването на положителни и отрицателни градуси.

Пример: за група от 11 променливи <math>x_{i}</math>, (<math>i</math>=1÷11)

(20°, 40°, 60°, 80°, 280°=–80°, 300°=–60°, 320°=–40°, 340°=–20°, 100°, 200°=–160°, ±180°) <br>се получава:
:<math>\bar{x}_{180} = \frac{1}{11}(180+\sum_{i=1}^{10} x_i) = 
\frac{1}{11}(180-60)=10,9</math>
:<math>\bar{x}_{-180} = \frac{1}{11}(-180+\sum_{i=1}^{10} x_i) = 
\frac{1}{11}(-180-60)=-21,8</math>
:<math>\bar{x}_+ = \frac{1}{11}(180+\sum_{i=1}^{10} x_i) = 
\frac{1}{11}(180-60)=174,5</math>

Очевидно е, че от първите осем стойности средната посока е <math>\bar{x}_8</math>=0° поради симетрията. От останалите три е <math>\bar{x}_3</math>=(100+200+180):3=160°.
Това е еквивалентно на група от 11 елемента, от които 8 са 0° и 3 са 160°. За балансирана извадка с по 3 елемента от двата вида <br><math>\bar{x}_6</math> = (0+160):2=80°. Така се получава нова група от 11 елемента: 6 от 80° и останалите от предишната 5 от 0°. За балансирана извадка с по 5 елемента от двата вида <math>\bar{x}_5</math> = (0+80):2=40°. Това трансформира групата от 11 елемента до 10 нови елемента от 40° и останалия 1 от 0°, на които средноаритметичното е (10х40+0):11=36,36°. Това е действителната средна посока за първоначалната група, намерена посредством поетапна трансформация на елементите ѝ само чрез усредняването им с използване на средноаритметичните им стойности. Очевидно е, че най-малко се различава от нея първата еднократно усреднена стойност, използваща положителни и отрицателни градуси и величина +180°.

Средната посока на симетричните спрямо центъра не може да бъде определена точно и еднозначно като средноаритметична, а в някои случаи дори и като [[медиана]] и остава неопределена:
* на 0° и 180° може да е ±90°;
* на 0°(360°), 120° и 240° не е средноаритметичната 120°(240°);
* на 0°(360°), 90°, 180° и 360° не е средноаритметичната 157,5°(222,5°) и др.

== Вижте също ==
{{колони|2|
* [[Средно геометрично|Средногеометрично]]
* [[:ru:Среднее арифметико-геометрическо|Средно аритметико-геометрично]]
* [[Средно хармонично|Среднохармонично]]
* [[:ru:Среднее степенное|Средностепенно]]
* [[Средно квадратично]]
* [[:ru:Среднее арифметическое взвешенное|Средно аритметично претеглено]]
* [[:en:Weighted median|Средномедианно]]
* [[Медиана (статистика)|Медиана]] 
* [[Мода]]
* [[Математическо очакване]]
}}

== Източници ==
<references />

[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Аритметика]]
[[Категория:Средни стойности]]