Преглед на кода на Преобразование на Фурие

{{без източници}}
'''Преобразуване на Фурие''' разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством [[теорема на Планшерел|теоремата на Планшерел]] и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в [[Хармоничен анализ|хармоничния анализ]] и теорията на [[Диференциално уравнение|диференциалните уравнения]].

== Преобразуване на Фурие ==
Нека <math>f</math> е функция с период <math>2\pi</math>, която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала <math>\mathbb{T}=[0,2\pi)</math>. С <math>L^1(\mathbb{T})</math> означаваме [[Банахово пространство|банаховото пространство]] от функции <math>f</math>, за които е изпълнено
<math>\int_0^{2\pi}|f(t)|dt<\infty.</math>

Преобразуването на Фурие <math>\hat f</math> се дефинира чрез интеграла <math>\hat f (n)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-2\pi i nt}dt, n \in \mathbb {Z}</math>. Комплексното число <math>\hat{f}(n)</math> се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на <math>f</math>.

== Преобразуване на Фурие за n-мерно пространство ==
Нека <math>f</math> е функция от банаховото пространство <math>L^1(\mathbb{R}^n)</math>, което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху <math>\mathbb{R}^n</math>. Преобразуването на Фурие се дефинира чрез интеграла <math>\hat f (\omega)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i \langle \omega, t\rangle}</math>.

Ако разглеждаме функциите <math>f</math> от хилбертовото пространство <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math>, т.е. всички фунцкии, за които <math>\int_{\mathbb{R}^n}|f(t)|^2dt<\infty</math>, можем да дефинираме Преобразуването на Фурие като линеен оператор <math>\mathcal{F}:L^2(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^n)</math>, за който е изпълнено следното
* <math>\mathcal{F}f=\hat f, f\in L^1\cap L^2</math>,
* <math>\|\mathcal{F}f\|_{L^2}=\|f\|_{L^2}</math>.

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за Преобразуване на Фурие, дефинирано в <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math>.

== Преобразуване на Фурие за обобщени функции ==
Нека <math>f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)</math>, а <math>\mu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)</math> е обобщена функция. Тогава преобразуването на Фурие <math>\hat\mu</math> се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството
<math>\langle f,\mu\rangle=\langle\hat f,\hat m\rangle</math>.

== Свойства на коефициентите на Фурие ==
Коефициентите на Фурие имат следните свойства:
* <math>\widehat{f+g}(n)=\hat f(n)+\hat g(n)</math> за <math>f,g\in L^1(\mathbb{T})</math>;
* <math>\widehat{cf}(n)=c\hat f(n)</math> за <math>c\in\mathbb{C}, f\in L^1(\mathbb{T})</math>;
* <math>\hat{\bar{f}}(n)=\overline{\hat f(n)}</math> за <math>f\in L^1(\mathbb{T})</math>;
* Ако означим <math>f_\tau(t)=f(t-\tau), \tau\in\mathbb{T}</math>, то <math>\hat f_\tau(n)=\hat f(n)e^{-int}</math> (транслация се преобразува в модулация);
* Ако означим <math>f^m(t)=e^{2\pi i mt}f(t), m\in\mathbb{Z}</math>, то <math> \hat f^m(n)=f(n-m)</math> (модулация се преобразува в транслация);
* <math>\widehat{(f\ast g)}(n)=\hat f(n)\cdot \hat g(n)</math> (конволюция се преобразува в произведение);
* Оценка на коефициентите: <math>|\hat f(n)|\le\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb{T}}|f(t)|dt.</math>

=== Непрекъснатост ===
Ако <math>f_j\in L^1(\mathbb{T}), j\in\mathbb{N}</math> и <math>\|f_j-f_0\|_{L^1}\rightarrow 0</math>, то
<math>\hat f_j(n)</math> клони равномерно към <math>\hat f_0(n)</math> за всяко n.

=== Сходимост ===
Сходимостта се изразява чрез лемата на [[Риман]]-[[Лебег]].

За всяка функция <math>f\in L^1(\mathbb{T})</math> е изпълнено <math>\lim_{|n|\to\infty}\hat f(n)=0</math>.
<!-- [[Категория:Хармоничен анализ]] -->

[[Категория:Математически анализ]]