Преглед на кода на Оператор на Д'Аламбер

В [[специалната теория на относителността]], [[електромагнетизма]] и теорията на [[вълни]]те, '''операторът на Д'Аламбер''' (обозначаван с кутийка: <math>\Box</math>), също наричан '''Д'Аламбертиан''' или '''вълнов оператор''', е [[лапласиан]] в [[Пространство на Минковски|пространството на Минковски]]. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик [[Жан льо Рон д'Аламбер]].

В пространство на Минковски и в стандартни координати {{math|(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')}} операторът има следната форма:

: <math>
\begin{align}
\Box & = \partial^\mu \partial_\mu = g^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\
& = \frac{1}{c^2} {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = \frac{1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2} - \Delta ~~.
\end{align}
</math>

Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а {{math|''g<sup>μν</sup>''}} е обратната [[метрика на Минковски]] с
{{Класическа електродинамика}}
:<math>g_{00} = 1</math>, <math>g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1</math>, <math>g_{\mu\nu} = 0</math> for <math>\mu \neq \nu</math>.

Трябва да се отбележи, че показателите за сума на {{math|''μ''}} и {{math|''ν''}} са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината {{mvar|c}} = 1.

Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от {{nowrap|(− + + +)}}, с <math>g_{00} = -1,\; g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1</math>.

[[Трансформации на Лоренц|Трансформациите на Лоренц]] оставят метриката на Минковски инвариантна, така че Д'Аламбертианът дава [[Лоренцов скалар]]. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерциална система.

== Алтернативна нотация ==
Има различни нотации за Д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа <math>\Box</math>: четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и <math>\Box^2</math>, който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича '''квабла''' (по аналогия с [[набла]]). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆<sub>''M''</sub>.

Друг начин за изписване на Д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в [[Квантова теория на полето|квантовата теория на полето]], където [[Частна производна|частните производни]] обикновено се индексират.

== Приложение ==
[[Уравнение на вълната|Вълновото уравнение]] за малки вибрации има вида:

:<math> \Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0~,</math>

където {{math| ''u''(''x,t'')}} е преместването.

Вълновото уравнение за електромагнитно поле във вакуум е:

:<math> \Box A^{\mu} = 0 </math>,

където {{math|''A<sup>μ</sup>''}} е [[Електромагнитен 4-потенциал|електромагнитният 4-потенциал]].

[[Уравнение на Клайн – Гордън|Уравнението на Клайн – Гордън]] има вида:

:<math> (\Box + m^2) \psi = 0~</math>.

== Функция на Грийн ==
[[Функция на Грийн|Функцията на Грийн]] <math>G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math> за Д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:

:<math> \Box G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right) = \delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math>

където {{math|''δ''({{overset|~|''x''}}−{{overset|~|''x''}}')}} е многоизмерната [[делта функция на Дирак]], а {{overset|~|''x''}} и {{overset|~|''x''}}' са две точки в пространството на Минковски.

Специално решение се получава от ''забавената функция на Грийн'', която съответства на разпространението на [[сигнал]] само напред във времето:

:<math>G\left(\vec{r}, t\right) = \frac{1}{4\pi r} \Theta(t) \delta\left(t - \frac{r}{c}\right)~~~</math><ref>{{cite web|author=S. Siklos|title=The causal Green’s function for the wave equation|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/stcs/courses/fcm/handouts/wave_equation.pdf|accessdate=17 август 2017|архив_дата=2016-11-30|архив_уеб_адрес=https://web.archive.org/web/20161130174612/http://www.damtp.cam.ac.uk/user/stcs/courses/fcm/handouts/wave_equation.pdf}}</ref>,

където Θ е [[Функция на Хевисайд|функцията на Хевисайд]].

== Запис в криволинейни координати ==
Операторът на Д'Аламбер в [[сферични координати]]:

: <math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \Theta}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left(\sin\Theta\frac{\partial u}{\partial\Theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\Theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2};</math>

в [[цилиндрични координати]]:
: <math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2};</math>

в общи [[криволинейни координати]] (за пространство-време):
: <math>\square u\equiv\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\frac{\partial u}{\partial x^\mu}\right),</math>
където <math>g</math> е [[детерминанта]] на матрицата <math>\|g_{\mu\nu}\|</math>, съставена от коефициентите на [[Метричен тензор|метричния тензор]] <math>g_{\mu\nu}</math>.

== Вижте също ==
* [[4-градиент]]

== Източници ==
<references/>

{{превод от 2|en|d'Alembert operator|ru|Оператор Д’Аламбера|794264100|72685668}}

[[Категория:Диференциално смятане]]
[[Категория:Специална теория на относителността]]