Преглед на кода на Обикновено диференциално уравнение

'''Обикновено диференциално уравнение''' ('''ОДУ''') е [[диференциално уравнение]], съдържащо една или повече функции на независима променлива и [[Производна|производните]] на тези функции.<ref>{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22ordinary%20differential%22&f=false|date=15 март 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=1-285-40110-7}}</ref>Уравнение от вида <math>F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0</math>, където <math>x</math> е независима променлива, <math>y</math> е неизвестна функция, а <math>y^{'},...,y^{(n)}</math> са нейните производни до ред <math>n</math>, се нарича '''обикновено диференциално уравнение''' (ОДУ) от <math>n</math>-ти ред.<ref>Математика, доц. д-р Добромир Тодоров и гл. ас. Кирил Николов, УНСС, София, 2009</ref> Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина [[частно диференциално уравнение]], което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.<ref>{{cite web|url=http://hsm.stackexchange.com/a/5032/1772|title=What is the origin of the term „ordinary differential equations“?|accessdate=28 юли 2016|website=hsm.stackexchange.com |publisher=Stack Exchange }}</ref>

== Хомогенни диференциални уравнения ==
Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

<math>{a_0{{d^n y} \over {dx^n}}} + a_1{{d^{n-1}y} \over {dx^{n-1}}}+...+a_{n-1}{{dy} \over dx}+ a_n.y = b
</math>,
:където <math>a</math> и <math>b</math> могат да са функции на <math>x</math> или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение <math>n</math>-тата производна спрямо <math>x</math> се обозначава с <math>D^{n}</math>.

Ползвайки този оператор <math>D</math> горното диференциално уравнение може да се запише като:
: <math>{a_0D^ny + a_1D^{n-1}y+...+a_{n-1}Dy + a_ny = b}.</math>
Ако <math>b=0</math>, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако <math>b \ne 0</math>, уравнението се нарича нехомогенно.

=== Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред ===
:<math>a{{d^2 y} \over {dx^2}} + b{{dy} \over {dx}}+cy =0
</math>
:При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

:<math>Dy = dy/dx</math>
:<math>(D+1)y=dy/dx +y</math>
:<math>(D-2)(D+1)y =(D-2)(dy/dx +y)=d^2y/dx^2 +dy/dx -2dy/dx -2y= D^2y -Dy -2y</math>

:<math>(D-2)(D+1)y = (D^2 -D -2)y</math>

Забележете че <math>D</math> има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с <math>D</math> можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид:
<math>aD^2y+bDy+cy=0</math> =><math>(aD^2+bD+c)y=0.</math>

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:
<math> \mathbf{ a(D-y_1)(D-y_2)y=0}.</math>

Полагаме
:<math> z= (D-y_2)y </math>, където <math>(D-y_2)y</math> е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:
:<math>(D-y_1)z =0 </math>
:<math>{dz \over dx}- y_1.z = 0</math>
Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:
:<math>{dz \over dx}= y_1.z</math>

:<math>{dz \over z}- y_1.dx =0</math>
:<math>ln {z \over C_1}= y_1.x</math>

<math>z=C_1.e^{y_1.x}</math>

Заместваме полученият резултат за z в

: <math>(D-y_2)y = C_1.e^{y_1.x}</math>

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

<math>dy -y_2.y.dx = C_1.e^{y_1.x}.dx</math>

<math>y'-y_2.y= C_1 .e^{y_1.x}</math>

<math>(y.e^{-y_2.x})'= y'e^{-y_2.x} - y. e^{-y_2.x}.y_2=e^{-y_2.x}.(y' - y_2.y)</math>

<math>y'-y_2.y= (y.e^{-y_2.x})'.e^{y_2.x} = C_1 .e^{y_1.x}</math>

<math>(y.e^{-y_2.x})' = C_1 .e^{y_1.x}.e^{-y_2.x} = C_1 .e^{(y_1 -y_2).x}</math>

интегрираме и получаваме следното решение:

<math>y.e^{-y_2.x}= \int C_1.e^{(y_1 -y_2).x}dx + C_2 </math>

Преобразуваме:

:<math>y= e^{y_2.x}.\int C_1.e^{(y_1-y_2).x}dx + C_2.e^{y_2.x}{}</math>

Когато <math>y_{1}</math> и <math>y_{2}</math> са реални числа, решението за функцията <math>y</math> е:

<math>y= c_1e^{y_1.x} + c_2.e^{y_2.x}</math>

== Вижте също ==
* [[Методи на Рунге-Кута]]

== Източници ==
<references />

[[Категория:Диференциално смятане]]
[[Категория:Уравнения]]