Преглед на кода на Модул (теория на пръстените)

{{без източници}}
{{към пояснение|Модул|Модул (пояснение)}}
В [[теория на пръстените]] '''модул над [[пръстен (алгебра)|пръстен]] <math>R\,</math>''' или '''<math>R\,</math>-модул''' представлява удобно обобщение на понятието [[линейно пространство]] (от [[линейна алгебра|линейната алгебра]]) и [[Абелева група]] (от [[теория на групите]]). Модулите намират широка употреба в [[комутативна алгебра|комутативната алгебра]], [[хомологична алгебра|хомологичната алгебра]] и [[теория на представянията]].

== Формални определения ==
Нека <math>R\,</math> е комутативен пръстен с единица <math>1_{R}\,</math> (елементите на <math>R\,</math> наричаме ''скалари'') и <math>M\,</math> е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). <math>M\,</math> ще наричаме <math>R\,</math>-модул, ако на всеки елемент <math> r \in R</math> и на всеки елемент <math>x \in M</math> се съпоставя елемент <math>ax \in M</math> (''скаларно умножение''), като са налице следните [[аксиома|аксиоми]] <math>(r, s \in R; x, y \in M)</math>:
# <math>r(x + y) = rx + ry\,</math>
# <math>(r +s)x = rx + sx\,</math>
# <math>(rs)x = r(sx)\,</math>
# <math> 1_{R} x = x\,</math>.
Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над [[поле (алгебра)|поле]] се състои във възможността ''скаларите'' да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако <math>R\,</math> не е комутативен, може да се въведат ''ляв'' и ''десен'' ''R''-модул (съответно <math>{}_{R}\!M</math> и <math>M_R\,</math>), където ''скаларното умножение'' ще действа от ляво, съответно дясно.

''Подмодул'' на <math>M\,</math> ще наричаме всяка [[подгрупа]] <math>N\,</math> на <math>M\,</math>, затворена относно ''скаларното умножение''. Тъй като групата на ''M'' е абелева, то ''N'' е нормална подгрупа и са възможни конструкции като [[Фактор-група|факторизация]].

''Анулатор'' на <math>M\,</math> ще наричаме [[множество]]то <math>\textrm{Ann} M = \{ r \in R \ | \ rM = 0 \}</math>. За разлика от линейни пространства, където <math>\lambda V =0</math> е изпълнено единствено при <math>\lambda = 0</math> или <math>V=\{0\}</math>, тоест в ненулево пространство <math>\textrm{Ann} V = \{ 0 \}</math>, то при модулите са възможни аномалии, при които ненулев скалар и ненулев вектор дават 0 при скаларно умножение. Например, в модула от остатъци по модул ''n'' над пръстена от целите числа <math>\mathbb Z</math>, за всеки елемент <math>\overline r \in \mathbb Z_n</math> е изпълнено, че <math>n \cdot \overline r = \overline 0</math>, и <math>\textrm{Ann}M=n\mathbb Z</math>.

== Примери ==
* Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
* Всяка абелева група е <math> \mathbb{Z}</math>-модул, където умножението с число ''n'' се дефинира като ''n''-кратното събиране на елемент със себе си при n>0, като при n<0 се взима обратният елемент на този сбор.
* Всеки [[идеал (теория на пръстените)|идеал]] и всеки факторпръстен, на даден пръстен <math>R\,</math>, е <math>R\,</math>-модул.
* Множеството от всички [[векторно поле|векторни полета]] върху [[гладко многообразие|гладкото многообразие]] <math>X\,</math> образува модул над <math>C^{\infty}(X)</math> (пръстена на [[диференцируема функция|гладките функции]] действащи от <math>X\,</math> върху [[реално число|<math>\mathbb{R}</math>]]).

== Видове модули ==
* '''Свободен модул''' е директна сума <math>R^n = R \oplus \cdots \oplus R</math> на ''n'' копия на <math>R\,</math>.
* '''Цикличен модул''' е модул, породен от един елемент.
* '''Крайнопороден модул''' е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида <math> x = r_{1}x_{1} + \cdots + r_{n}x_{n}, \ x_1,...,x_n \in M, \ r_1,...,r_n \in R</math>. Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е [[изоморфизъм|изоморфен]] на фактормодул на свободния модул <math>R^n\,</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>.
* '''Точен модул''' е модул, за който <math>\textrm{Ann} M = (0)\,</math>.
* '''Прост модул''' (или '''неприводим модул''') е ненулев модул, който няма подмодули, различни от нулевия и самия себе си.

{{нормативен контрол}}

[[Категория:Абстрактна алгебра]]