Преглед на кода на Модел на Томас-Ферми

'''Моделът на Томас-Ферми''' е квантово-механично описание на структурата на сложни атоми, използващо [[функционал]]и на електронната плътност, за разлика от класическата вълнова (матрична) квантова механика. Наречен е по името на своите създатели – британския физик [[Люелин Томас]] (''Llewellyn Hilleth Thomas'') и италианския физик [[Енрико Ферми]]<ref>
{{cite journal
|title=The calculation of atomic fields
|journal=Proc. Cambridge Phil. Soc.
|year=1927
|first=L. H.
|last=Thomas
|volume=23
|issue=5
|pages=542 – 548
|doi=10.1017/S0305004100011683
|bibcode = 1927PCPS...23..542T }}
</ref><ref name='Fermi1927'>
{{cite journal
|title=Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo
|journal=Rend. Accad. Naz. Lincei
|year=1927
|first=Enrico
|last=Fermi
|volume=6
|issue=
|pages=602 – 607
|url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=339&view=image&size=100&id=mdp.39015001321200&u=1&num=278
}}
</ref>, които го разработват независимо един от друг през 1927 г. Това е първият модел от множеството статистически теории за функционала на плътността, разработени впоследствие. Тази съвкупност от статистически модели, наречени с общото име [[теория за функционала на плътността]] (англ. ''Density Functional Theory, DFT'') e изключително удобна за практически изчисления на структурата на многочастични квантови системи, за които точното решаване на [[уравнение на Шрьодингер|уравнението на Шрьодингер]] е практически непосилна задача дори за съвременните компютри, ако броят на частиците в системата е повече от няколкостотин.

Броят електрони в обем ΔV от [[импулсно пространство|импулсното пространство]] се задава с:

:<math>\Delta N = n(\vec{r}) \ \Delta V </math>

където <math>n(\vec{r}) </math> е електронната плътност.

Чрез интегриране до [[ниво на Ферми|нивото на Ферми]] се получават следните [[функционал]]и за кинетичната и потенциалната енергии на електроните, изразени чрез електронната плътност (която е функция на координатите):

:<math>T=C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ </math>

:<math>U_{eN} = \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \, </math>

където <math>V_N(\vec{r}) \, </math> е потенциалната енергия на електрона в точка <math>\vec{r} \, </math>. За атом с Z на брой протони тя е:

:<math>V_N(\vec{r}) = \frac{-Ze^2}{r}</math>

където ''е'' е елементарният заряд на електрона, а интеграционната константа се получава от условието за нормализация:

:<math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{\frac{2}{3}}.</math>

Потенциалната енергия на електроните, дължаща се на взаимодействието помежду им, e:

:<math>U_{ee} = \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' .</math>

Пълната енергия на електроните е сума от техните кинетична и потенциална енергии:

:<math> \begin{align}
 E & = T \ + \ U_{eN} \ + \ U_{ee} \\
 & = C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ + \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \ + \ \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' \\
\end{align}</math>

Въпреки че е важна стъпка към разработването на бъдещата теория за функционала на плътността, моделът на Томас-Ферми е неточен за практически изчисления поради приближенията в израза за кинетичната енергия и неотчитане на обменното взаимодействие между електроните, дължащо се на [[Принцип на Паули|принципа на Паули]]. През 1928 г. [[Пол Дирак]] добавя израз за обменната енергия към уравненията.

== Източници ==
<references />

[[Категория:Квантова механика]]