Преглед на кода на Логаритъм

'''Логаритъм''' ({{lang|grc}} [[wikt:λόγος#Древногръцки|λόγος]] – „отношение“ + [[wikt:ἀριθμός#Древногръцки|ἀριθμός]] – „число“<ref>''Краткий словарь иностранных слов.'' М.: Русский язык, 1984.</ref><ref name="автоссылка1">Логарифмы // Большая советская энциклопедия : [в 66 т.] / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — 1-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.</ref>) на дадено число <math>x</math> е [[Степенуване (математика)|показателят на степента]] <math>y</math>, на която трябва да бъде повдигната [[Степенуване (математика)|основата]] <math>b</math>, за да се получи числото <math>x</math>. Логаритъмът от <math>x</math> с основа <math>b</math> се записва като {{math|log<sub>''b''</sub> (''x'')}} или без скоби, като {{math|log<sub>''b''</sub> ''x''}}; и дори без уточняване на основата, като {{math|log ''x''}}, когато не може да стане объркване. Изчисляването на логаритъма се нарича '''логаритмуване''' и е [[Математика|математическа]] [[функция]], [[Обратна функция|обратна]] на [[Степенуване (математика)|степенуването]].
[[Файл:Logarithm plots.png|мини|300п|Графики на логаритмични функции от вида <math>y = \log_b(x) \,</math> с три често използвани основи: {{math|2}}, <math>e</math> и {{math|10}}. Особените точки {{math|log<sub>''b''</sub> ''b'' {{=}} 1}} са означени с пунктирни линии, а всички криви се пресичат в точката {{math|(1; 0)}}, защото <math>\, \log_b(1) = 0 \,</math> за всяка основа <math>\, b</math>.]]
[[Файл:Binary logarithm plot with ticks.svg|мини|300п|alt=Графика на логаритмична крива, пресичаща абсцисната ос при {{math|x= 1}} и клоняща към минус безкрайност при ординатната ос.|Графиката на логаритъм с основа 2 пресича абсцисната ос при {{math|''x'' {{=}} 1}} и преминава през точките {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}} и {{nowrap|(8, 3)}}, съответстващи на {{math|log<sub>2</sub>(2) {{=}} 1}}, {{math|log<sub>2</sub>(4) {{=}} 2}} и {{math|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}}. Кривата се доближава [[Асимптота|асимптотично]] до ординатната ос, без да я пресича]]
От определението в явен вид връзката между логаритъм и степен е:
:<math>\log_b(x)= y \quad</math> тогава и само тогава, когато <math>\quad b^y=x</math>.

Например, {{math|1=log<sub>2</sub> 64 = 6}}, тъй като {{math|1=64 = 2<sup>6</sup>}}.

В най-простия случай логаритъмът е броят на еднаквите множители в [[умножение|произведение]] от еднакви множители. Например, тъй като {{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}}, логаритъмът с основа {{math|10}} на {{math|1000}} е {{math|3}}.

По-общо, степенуването позволява всяко положително [[реално число]] да бъде повдигнато на всяка реална степен, като резултатът е винаги положителен, така че логаритъмът на всеки две положителни реални числа <math>b</math> и <math>x</math>, където <math>b</math> е различно от {{math|1}}, е винаги уникално реално число {{mvar|y}}. Числата <math>b</math> и <math>x</math> най-често са [[Реални числа|реални]], но има и теория за [[Комплексен логаритъм|комплексните логаритми]].

Логаритъмът с основа {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) се нарича [[десетичен логаритъм]] и се използва често в науката и техниката. [[Натурален логаритъм|Натуралният логаритъм]] има за основа [[Неперово число|неперовото число]] {{math|''e''}} ({{math|''b'' ≈ 2,71828182...}}) и широко се използва в математиката и [[физика]]та, заради своята проста [[производна]]. За тези две основи се използват и специални [[Математически означения|означения]] – {{math|ln}} вместо {{math|log<sub>''e''</sub>}} и {{math|lg}} вместо {{math|log<sub>10</sub>}}. [[Двоичен логаритъм|Двоичният логаритъм]] има основа {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) и често се използва в [[компютърни науки|компютърните науки]].

Цялата част от логаритъма се нарича '''характеристика''', а дробната част се нарича '''мантиса'''. Например <math>\log_{10} 253=2{,}40312</math> има характеристика <math>2</math>, а мантисата е <math>0{,}40312</math>.

Логаритмите започват да се използват в началото на XVII век от [[Джон Непер]] като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със [[сметачна линия]] или ръчно с [[логаритмична таблица]]. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите – сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: {{nowrap|1=log<sub>''a''</sub>(''xy'') = log<sub>''a''</sub>(''x'') + log<sub>''a''</sub>(''y'')}}. Съвременното означение на логаритмите е въведено през XVIII век от [[Леонард Ойлер]], който открива и тяхната връзка с [[експоненциална функция|експоненциалната функция]].

Аналогично на логаритъма на реалните числа, комплексният логаритъм е [[обратна функция]] на експоненциалната функция при [[Комплексно число|комплексните числа]]. Друг вариант на логаритмичната функция е [[Дискретен логаритъм|дискретният логаритъм]], използван в [[криптография]]та.

[[Логаритмична скала|Логаритмичните скали]] се използват за по-компактно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, [[децибел]]ът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или [[звуково налягане]]). В химията [[Водороден показател|водородният показател]] (pH) е логаритмична мярка за [[киселинност]]та на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на [[Алгоритъм|алгоритми]] и при [[фрактал]]ите. С тях се описват [[Музикален интервал|музикалните интервали]], участват в оценки за броя на [[Просто число|простите числа]] или в някои модели на [[психофизика]]та.

== Обща информация ==
[[Събиране]]то, [[умножение]]то и [[степенуване (математика)|степенуването]] са трите основни аритметични действия. Събирането, най-простото от тях, е обратимо чрез [[изваждане]]. Така събирането на 2 и 3 дава 5, като процесът на добавяне на 2 е обратим чрез изваждане на 2: 5 – 2 = 3. Умножението, средното по сложност действие, е обратимо чрез [[деление]] – удвояването на <math>x</math> (умножението на <math>x</math> с 2), е обратимо чрез деление на 2. Например, умножението <math>3 \cdot 2 = 6</math> е обратимо чрез делението <math>6 / 2 = 3</math>. Смисълът на логаритмите е подобно обръщане на основно аритметично действие – повдигането на число на дадена степен, наричано ''степенуване''. Например, повдигането на 2 на трета степен дава 8, тъй като 8 е произведението на три множителя 2:
: <math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8</math>

Логаритъмът от 8 с основа 2 е 3, което изразява факта, че 2 трябва да се повдигне на ''трета'' степен, за да се получи 8. Логаритмуването е обратно действие на степенуването, което определя ''степенния показател'', за разлика от [[коренуване]]то, което също е обратно действие на степенуването, което определя ''основата'' на степента (в примера <math>\sqrt[3]{8}=2</math>).

=== Степенуване ===
{{Основна|Степенуване (математика)}}
Действието степенуване е ключово за разбирането на логаритмите. Повдигането на <math>b</math> на <math>n</math>-та степен, където <math>n</math> е [[естествено число]], се извършва чрез умножаването на <math>n</math> множителя, равни на <math>b</math>. <math>n</math>-тата степен на <math>b</math> се записва като <math>b^n</math>, при което
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ множителя}}</math>

Степенуването може да бъде разширено до <math>b^y</math>, където <math>b</math> е положително число, а ''степента'' <math>y</math> е произволно [[реално число]].{{hrf|Shirali|2002}} Например, <math>b^{-1}={1/b}</math> е реципрочната стойност на <math>b</math>. Повдигането на <math>b</math> на степен 1/2 дава [[квадратен корен]] от <math>b</math>. По-общо, повдигането на <math>b</math> на [[Рационално число|рационална]] степен <math>p/q</math>, където <math>p</math> и <math>q</math> са цели числа, се получава от <math>q</math>-тия корен на <math>b^p</math>
:<math>b^{p / q} = \sqrt[q]{b^p}</math>.

Накрая, всяко [[ирационално число]] <math>y</math> може да се апроксимира с произволна точност с рационално число. Това може да се използва за изчисляването на <math>y</math>-тата степен на <math>b</math>: например <math>\sqrt 2 \approx 1,4141 ...</math>, а <math>b^{\sqrt 2}</math> може да се изчисли с нарастваща точност чрез <math>b^1, b^{1,4}, b^{1,41}, b^{1,414}, ...</math>.

=== Определение ===
Логаритъмът на положително реално число <math>x</math> при основа <math>b</math> е степента, на която трябва да се повдигне <math>b</math>, за да се получи <math>x</math>. С други думи, логаритъмът на <math>x</math> при основа <math>b</math> е единственото решение <math>y</math> на уравнението{{hrf|Kate|2009|1}}
:<math>b^y = x</math>.

Логаритъмът се изписва като „<math>\log_{b} x</math>“ (произнасяно като „логаритъм от <math>x</math> при основа <math>b</math>“).

В уравнението <math>y = \log_{b} x</math> стойността <math>y</math> е отговорът на въпроса „На коя степен трябва да се повдигне <math>b</math>, за да се получи <math>x</math>?“.

=== Примери ===
* {{math|log<sub>2</sub> 16 {{=}} 4 }}, тъй като {{math| 2<sup>4</sup>{{=}} 2×2 × 2 × 2 {{=}} 16}}.
* Логаритмите може да са и отрицателни: <math>\quad \log_2 \! \frac{1}{2} = -1 \quad</math>, тъй като <math>\quad 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}.</math>
* {{math|log<sub>10</sub>150}} е приблизително 2,176, което се намира между 2 и 3, както 150 се намира между {{math|10<sup>2</sup>{{=}} 100}} и {{math|10<sup>3</sup>{{=}} 1000.}}
* За всяка основа {{mvar|b}}, {{math|log<sub>''b''</sub>{{mvar|b}} {{=}} 1}} и {{math|1= log<sub>''b''</sub> 1 = 0}}, тъй като {{math|''b''<sup>1</sup>{{=}} {{mvar|b}}}} и {{math|''b''<sup>0</sup>{{=}} 1}}.

== Логаритмични тъждества ==
Няколко важни формули, понякога наричани ''логаритмични тъждества'' или ''логаритмични равенства'', свързват логаритмите един с друг.

=== Произведение, частно, степен и корен ===
Логаритъмът на произведение е равен на сбора на логаритмите на множителите, а логаритъмът на частното на две числа е разликата от техните логаритми. Логаритъмът на <math>p</math>-тата степен на дадено число е <math>p</math> пъти логаритъма на самото число, а логаритъмът на <math>p</math>-тия корен е равен на логаритъма на числото, разделен на <math>p</math>. Следната таблица описва тези тъждества с примери. Всяко от тях може да се изведе чрез субституция на лявата страна в определенията за логаритъм <math>x = b^{\log_b x}</math> или <math>y = b^{\log_b y}</math>.
{| class="wikitable"
|-
! !! Формула{{hrf|Shirali|2002}} !! Пример
|-
| Произведение || <cite id="labegarithmProducts"><math>\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math></cite>
| <math>\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
| Частно || <math>\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
| <math>\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
| Степен || <cite id="labelLogarithmPowers"><math>\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math></cite>
| <math>\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
| Корен || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
| <math>\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
|}

=== Смяна на основата ===
Логаритъмът {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} може да се получи от логаритмите на <math>x</math> и <math>b</math> при произволна основа <math>k</math> чрез следната формула:{{hrf|Shirali|2002}}
:<cite id="labelLogarithmBaseChange"><math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}.\, </math></cite>

Изхождайки от дефиниционното равенство
:<math> x = b^{\log_b x}</math>

може да се приложи {{math|log<sub>''k''</sub>}} върху двете страни на уравнението и се получава
:<math> \log_k x = \log_k (b^{\log_b x}) = \log_b x \cdot \log_k b</math>.

Решавайки за <math>\log_b x</math> се получава:
:<math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}</math>,

което показва, че преходният коефициент от дадена <math>\log_k</math>-стойност към нейната съответна <math>\log_b </math>-стойност е <math>(\log_k b)^{-1}.</math>

Повечето научни [[калкулатор]]и могат да изчисляват логаритми с основа 10 и [[Неперово число|<math>e</math>]].{{hrf|Bernstein|1999|21}} Логаритмите с произволна основа <math>b</math> могат да се изчислят с някой от тези два логаритъма въз основа на горната формула:
:<math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,</math>

При дадено число <math>x</math> и неговия логаритъм {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} при неизвестна основа <math>b</math>, основата се получава от израза
:<math> b = x^\frac{1}{\log_b x},</math> което се вижда от повдигането на дефиниционното равенство <math> x = b^{\log_b x}</math> на степен <math>\; \tfrac{1}{\log_b x}.</math>

== Конкретни основи ==
[[Файл:Log4.svg|мини|Графики на логаритми с основи 2, <math>e</math> и 0,5]]
Измежду всички възможни основи на логаритмите три се използват особено често – това са {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[неперово число|''e'']]}} (ирационалната математическа константа ≈ 2,71828) и {{math|1=''b'' = 2}}. Логаритъмът с основа <math>e</math> ([[натурален логаритъм|натурален]] или естествен логаритъм) се използва широко в [[математически анализ|математическия анализ]], заради неговите особени аналитични свойства. В същото време логаритмите с основа 10 ([[десетичен логаритъм]]) са лесни за използване при ръчни изчисления в обичайната десетична бройна система:{{hrf|Downing|2003|275}}
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ </math>

Така {{math|log<sub>10</sub>''x''}} е свързан с броя цифри на дадено положително цяло число <math>x</math>: броят на цифрите е най-малкото число, по-голямо от {{math|log<sub>10</sub>''x''}}.{{hrf|Wegener|2005|20}} Например, {{math|log<sub>10</sub>1430}} е приблизително 3,15, следващото цяло число е 4, което е и броят на цифрите в 1430.

Както естественият логаритъм, така и логаритъмът с основа 2 ([[двоичен логаритъм]]), се използват в [[информатика]]та, съответно в базовите единици за информация [[нат]] и [[бит (информатика)|бит]].{{hrf|Van der Lubbe|1997|3}} Двоичните логаритми имат приложение и в компютърните науки, където [[двоична бройна система|двоичната бройна система]] заема централно място, във [[фотография]]та за измерване на [[експозиционно число|експозиционното число]],{{hrf|Allen|2011|228}} както и в [[теория на музиката|теорията на музиката]], където важна роля има удвояването на височините ([[октава]]), а интервалите в [[класическа музика|класическата музика]] обикновено се измерват чрез двоични логаритми.

Следващата таблица изброява обичайните обозначения на логаритмите с тези три основи и областите, в които те се използват. В много области се изписва {{math|log''x''}} вместо {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}}, когато използвана основа може да бъде определена от контекста. Понякога се среща и означението {{math|<sup>''b''</sup>log''x''}}.{{hrf|Embacher|2011}} Колоната „Обозначение по ''ISO''“ показва обозначенията, препоръчвани от [[Международна организация по стандартизация|Международната организация по стандартизация]] в стандарта [[ISO 31-11]].{{hrf|Taylor|1995}} Тъй като изписването {{math|log {{mvar|x}}}} се използва и за трите основи (или когато основата е неопределена или без значение), предполагаемата основа често се определя въз основа на контекста или съответната научна област. В компютърните науки и математиката log обикновено се отнася съответно за {{math|log<sub>2</sub>}} и {{math|log<sub>e</sub>}}.{{hrf|Goodrich|2002|23}} В други контексти log често обозначава {{math|log<sub>10</sub>}}.{{hrf|Parkhurst|2007|288}}
{| class="wikitable"
|-
! scope="col"|Основа {{mvar|b}}
! scope="col"|Наименование на log<sub>''b''</sub>''x''
! scope="col"|Обозначение по ''ISO''
! scope="col"|Други обозначения
! scope="col"|Приложение
|-
! scope="row"|2
| [[двоичен логаритъм]]
| {{math|lb {{mvar|x}}}}{{hrf|Gullberg|1997|}}
| {{math|ld {{mvar|x}}}}, {{math|log<sub>2</sub>''x''}},<br>
{{math|log {{mvar|x}}}}, {{math|lg {{mvar|x}}}}{{hrf|Perl|1977|219 – 222}}
| [[компютърни науки]], [[информатика]], [[теория на музиката]], [[фотография]]
|-
! scope="row"|{{mvar|e}}
| [[натурален логаритъм]]
| {{math|ln {{mvar|x}}}}
| {{math|log {{mvar|x}}}}{{hrf|Rudin|1984|}}
| математика, физика, химия, [[статистика]], [[икономика (наука)|икономика]], информатика и техника
|-
! scope="row"|10
| [[десетичен логаритъм]]
| {{math|lg {{mvar|x}}}}
| {{math|log<sub>10</sub>''x''}}, {{math|log {{mvar|x}}}}
| техника, логаритмични таблици, [[спектроскопия]]
|}

== История ==
Първите изследвания върху концепции сходни с логаритъма, са правени от индийския математик от [[VIII век]] [[Вирасена]], който разглежда идеята за ''ардхакчеда'' – колко пъти число от вида 2<sup>''n''</sup> може да бъде разделено на две цели половини. За точните степени на 2 това число е логаритъмът за тази основа, който е цяло число. Вирасена описва и други свързани зависимости и въвежда също логаритми с основа 3 и 4.{{hrf|Gupta|2000|329}}{{hrf|Jain|1996}} През 1544 година германецът [[Михаел Щифел]] публикува „Обща аритметика“ (''„Arithmetica integra“''), която съдържа таблица със степените на 2, смятана за ранен предшественик на логаритмичните таблици.{{hrf|Stifelio|1544|13}}{{hrf|Bukhshtab|2001|}}{{hrf|Groza|1972|182}}

Логаритмите са „изобретени“ от [[Джон Непер]] (1550 – 1617) – шотландски математик, лорд на Мърчистън, и от [[Йост Бюрги]] – приятел на [[Йоханес Кеплер|Кеплер]] и кралски придворен часовникар в [[Прага]], както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди 1594 г., но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите“ („Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio“) личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде.

Логаритмите с основа ''е'' са въведени от лондонския учител по математика [[Джон Спейдел]]; през 1619 г. той издава таблица на „новите логаритми“ на числата от 1 до 1000. Тези логаритми възникват „естествено“ при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (Лицето на фигурата, ограничено от хиперболата 1/x и правите x=a и x=b, при a&lt;b, e '''ln''' b – '''ln''' a); затова [[Николаус Меркатор]] нарича логаритмите при основа {{math|''e''}} „естествени“ или „хиперболични“. Италианският математик [[Пиетро Менголи]] също отбелязва важността на логаритмите с основа {{math|''e''}} и ги нарича Logarithmi naturali ([[натурален логаритъм|натурални логаритми]]).

Термините „логаритъм“ и „антилогаритъм“, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у [[Джон Уолис]] (1693). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica“ на [[Хенри Бригс]] през 1624 г.; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знака над характеристиката започва от [[Уилям Отред]] в изданието на „Clavis mathematicae“ (1652), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка“, „придатък“) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма (1748).

Думата „основа“ е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теорията на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от [[Роджър Коутс]] (1712). Глаголът „логаритмувам“ се появява едва през XIX век.

Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през 1624, 1631 и 1647 г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. [[Коши]] пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и натуралните логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик [[Алфред Прингсхайм]] (1893). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.

Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията“; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа (1624). Тези логаритми впоследствие започват да се наричат „бригови“, „десетични“ или „обикновени“. Таблиците на Бюрги са съставени през периода 1603 – 1611 г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания“. Те остават незабелязани до 1856 г.

== Исторически приложения ==
[[Файл:Logarithms Britannica 1797.png|мини|360п|Обяснение на логаритмите в „[[Енциклопедия Британика]]“ от 1797 година]]

Опростявайки трудни изчисления, логаритмите допринасят за напредъка на науката, особено на [[астрономия]]та. Те имат критично значение за напредъка на [[геодезия]]та, [[астрономическа навигация|астрономическата навигация]] и други области. [[Пиер-Симон Лаплас]] нарича логаритмите „възхитително изобретение, което, намалявайки до няколко дни работата за много месеци, удвоява живота на астронома и му спестява грешките и отвращението, неотделими от дългите пресмятания“.{{hrf|Bryant|1907|44}}

Основно пособие, което дава възможност за широко използване на логаритмите преди времето на калкулаторите и компютрите, са [[Логаритмична таблица|логаритмичните таблици]].{{hrf|Campbell-Kelly|2003|}} Първата такава таблица се съставена от [[Хенри Бригс]] през 1617 година, веднага след въвеждането на логаритмите от Непер. Впоследствие се появяват таблици с все по-широк обхват. В тях са изброени стойностите на {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} и {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} за всяко число {{mvar|x}} в даден интервал, с определена точност и при определена основа {{mvar|b}} (обикновено {{math|1=''b'' = 10}}). Например, първата таблица на Бригс съдържа десетичните логаритми на всички цели числа в интервала 1 – 1000 с точност 14 цифри. Тъй като функцията {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} е обратната функция на log<sub>''b''</sub>''x'', тя е наричана '''антилогаритъм'''.{{hrf|Abramowitz|1972|89}} Произведението и частното на две положителни числа ''c'' и ''d'' редовно се изчисляват като сбора и разликата между техните логаритми. Произведението ''cd'' или частното ''c''/''d'' се получават от намирането на антилогаритъм от сбора или разликата, също чрез същата таблица:
:<math> c d = b^{\log_b c} \, b^{\log_b d} = b^{\log_b c + \log_b d} \,</math>

и
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b c - \log_b d}. \,</math>

За ръчни пресмятания, които изискват по-съществена точност, намирането на двата логаритъма, изчисляването на техния сбор или разлика и намирането на антилогаритъма е много по-бързо от извършването на умножението с по-ранните методи, като [[простафереза]]та, която се извежда от [[тригонометрични тъждества]]. Изчисляването на степени и корени се свежда до умножения или деления и търсения, чрез:
:<math>c^d = \left(b^{\log_b c}\right)^d = b^{d \log_b c} \,</math>

и
:<math>\sqrt[d]{c} = c^\frac{1}{d} = b^{\frac{1}{d} \log_b c}. \,</math>

Много логаритмични таблици показват логаритмите, като дават поотделно цялата и дробната част на {{math|log<sub>10</sub>''x''}}.{{hrf|Spiegel|2006|264}} Цялата част за {{math|10 · {{mvar|x}}}} е единица плюс цялата част за {{mvar|x}}, а дробните части са еднакви. Това значително разширява обхвата на логаритмичните таблици – при таблица, включваща {{math|log<sub>10</sub>''x''}} за всички цели числа {{mvar|x}} в интервала от 1 до 1000, логаритъм от 3542 се апроксимира чрез:
:<math>\log_{10}3542 = \log_{10}(10 \cdot 354.2) = 1 + \log_{10}354.2 \approx 1 + \log_{10}354. \, </math> С помощта на [[интерполация]] може да се постигне и по-голяма точност.

Друго важно приложение на логаритмите е [[сметачна линия|сметачната линия]], двойка логаритмично разграфени скали, използвани за изчисления. Неподвижната логаритмична скала е изобретена от [[Едмънд Гънтър]] малко след въвеждането на логаритмите. [[Уилям Отред]] я усъвършенства с добавянето на втора плъзгаща се скала. На двете скали са поставени числа на разстояния, пропорционални на разликите между техните логаритми. Плъзгането на подвижната скала съответства на механично събиране на логаритми, както е показано тук:

[[Файл:Slide rule example2 with labels.svg|център|мини|550п|Умножение на числа и събиране на логаритми със сметачна линия. Тръгвайки от 2 на долната скала, се добавя разстоянието до 3 на горната скала, за да се получи произведението 6. Това съответства на сума от логаритмите log 2 + log 3 = log 6. Сметачната линия работи, като разстоянието от 1 до <math>x</math> е пропорционално на логаритъм от <math>x</math>.|alt=Сметачна линия: два правоъгълника с логаритмично разграфени оси в положение за добавяне на разстоянието от 1 до 2 към разстоянието от 1 до 3, показвайки произведението 6.]]

Например, добавянето на разстоянието от 1 до 2 на долната скала към разстоянието от 1 до 3 на горната скала дава произведението 6, което се отчита на долната скала. Сметачната линия е основно изчислително средство за инженери и учени до 70-те години на XX век, тъй като дава възможност, за сметка на точността, за по-бързи пресмятания от техниките, базирани на логаритмични таблици.{{hrf|Maor|2009|}}

== Аналитични свойства ==
=== Логаритмична функция ===
За по-задълбоченото изследване на логаритмите е необходимо използването на концепцията за [[функция]]та като правило, съпоставящо на дадено число друго число.{{hrf|Devlin|2004|}} За да се дефинира логаритмичната функция трябва да се покаже, че уравнението
:<math>b^x = y \,</math>

има решение <math>x</math> и че това решение е единствено, при условие, че <math>y</math> е положително и че <math>b</math> е положително и различно от 1. Доказателството за това се основава на [[Теорема на Болцано-Вайерщрас (за средната стойност)|теоремата за средната стойност]],{{hrf|Lang|1997|}} според която непрекъсната функция със стойности <math>m</math> и <math>n</math> има като стойност и всяко число между <math>m</math> и <math>n</math>. Дадена функция е непрекъсната, ако няма скокове.

Може да се покаже, че функцията {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} има това свойство. Тъй като ''f'' има произволно големи и произволно малки положителни стойности, всяко число {{math|''y'' > 0}} лежи между {{math|''f''(''x''<sub>0</sub>)}} и {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>)}} при подходящ избор на {{math|''x''<sub>0</sub>}} и {{math|''x''<sub>1</sub>}}. Така от теоремата за средната стойност следва, че уравнението {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|y}}}} има решение. Освен това, решението е единствено, тъй като функцията ''f'' е [[монотонна функция|строго нарастваща]] (за {{math|''b'' > 1}}) или строго намаляваща (за {{math|0 < {{mvar|b}}< 1}}).{{hrf|Lang|1997|}}

Единственото решение {{mvar|x}} е логаритъмът на {{mvar|y}} при основа {{mvar|b}}, {{math|log<sub>''b''</sub>''y''}}. Функцията, съпоставяща на {{mvar|y}} неговия логаритъм се нарича ''логаритмична функция'' (или често само ''логаритъм'').

Функцията {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} се характеризира и формулата за произведение на логаритми
:<math>\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y.</math>

По-точно логаритъмът за всяка основа {{math|''b'' > 1}} е единствената нарастваща функция ''f'' от множеството на положителните реални числа в множеството на реалните числа, за която {{math|1=''f''(''b'') = 1}} и{{hrf|Dieudonné|1969|84}}
:<math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>

=== Обратна функция ===
[[Файл:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|мини|Графиката на логаритмичната функция {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} (в синьо) се получава чрез [[отражение (математика)|отражение]] на графиката на функцията {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} (в червено) спрямо диагоналната права ({{math|1=''x'' = {{mvar|y}}}})]]

Според формулата за логаритъм на дадена степен за всяко число {{mvar|x}},
:<math>\log_b \left (b^x \right) = x \log_b b = x</math>

Логаритъм при основа {{mvar|b}} от {{mvar|x}}-тата степен на {{mvar|b}} дава {{mvar|x}}. Обратно, за дадено положително число {{mvar|y}}, формулата
:<math>b^{\log_b y} = y</math>

казва, че ако първо се логаритмува {{mvar|y}}, а след това основата се повдигне на степен логаритъма, се получава {{mvar|y}}. По този начин и двата възможни начина на съчетаване на логаритмуване и степенуване дават като резултат първоначалното число. Следователно логаритъмът с основа {{mvar|b}} е ''[[обратна функция|обратната функция]]'' на {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}}.{{hrf|Stewart|2007|}}

Обратните функции са тясно свързани с изходните функции. Техните графики си съответстват една на друга с промяна на координатите {{mvar|x}} и {{mvar|y}} ([[отражение (математика)|отражение]] спрямо диагоналната линия {{mvar|x}} = {{mvar|y}}), както е показано на схемата вдясно: дадена точка {{math|1=(''t'', ''u'' = {{mvar|b}}<sup>''t''</sup>)}} на графиката на ''f'' съответства на точка {{math|1=(''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''u'')}} на графиката на логаритъма и обратното. От това следва, че log<sub>''b''</sub>(''x'') е разходяща до безкрайност (става по-голяма от всяко дадено число), ако {{mvar|x}} нараства до безкрайност, при условие, че {{mvar|b}} е по-голямо от едно. В този случай {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} е растяща функция. За {{math|''b'' < 1}}, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} клони към минус безкрайност. Когато {{mvar|x}} наближава нула, {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} клони към минус безкрайност за {{math|''b'' > 1}} (съответно, към плюс безкрайност за {{math|''b'' < 1}}).

=== Производна и антипроизводна ===
[[Файл:Logarithm derivative.svg|мини|Графика на естествен логаритъм (в зелено) и неговата тангента в {{math|''x'' {{=}} 1.5}} (в черно)|alt=Графика на логаритмична функция и нейната тангента в една точка]]

Аналитичните свойства на функциите се предават на техните обратни функции.{{hrf|Lang|1997|}} Така, тъй като {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} е непрекъсната и [[диференцируема функция]], такава е и {{math|log<sub>''b''</sub>''y''}}. Грубо казано, дадена непрекъсната функция е диференцируема, ако графиката ѝ няма остри чупки. Освен това, тъй като производната на {{math|''f''(''x'')}} е равна на {{math|ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup>}} от свойствата на експоненциалната функция, от [[верижно правило|верижното правило]] следва, че производната на {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} се получава като:{{hrf|Lang|1997|}}{{hrf|Wolfram Alpha|2019a}}
: <math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}. </math>

Това означава, че наклонът на [[тангента]]та към графиката на логаритъм с основа {{math|''b''}} в точката {{math|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} е равен на {{math|1/(''x'' ln(''b''))}}.

Производната на ln {{mvar|x}} е 1/''x'', от което следва, че ln {{mvar|x}} е единствената [[антипроизводна]] на {{math|1/''x''}}, която има стойност 0 за {{math|1=''x'' =1}}. Точно тази много проста формула е причина функцията да бъде наречена „естествен логаритъм“. Това е и една от основните причина за важността на константата {{mvar|e}}.

Производната при обобщен функционен аргумент {{math|''f''(''x'')}} е
:<math>\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>

Частното вдясно се нарича [[логаритмична производна]] на ''f'', изчисляването на {{math|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} чрез производната на {{math|ln(''f''(''x''))}} и известно като [[логаритмично диференциране]].{{hrf|Kline|1998|386}}

Антипроизводната на естествения логаритъм {{math|ln(''x'')}} е:{{hrf|Wolfram Alpha|2019b}}
:<math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>

Подобни формули могат да се изведат от това уравнение за антипроизводните на логаритмите с друга база, като се използва правилото за промяна на основата.{{hrf|Abramowitz|1972|69}}

=== Интегрално представяне на натуралния логаритъм ===
[[Файл:Natural logarithm integral.svg|мини|[[Натурален логаритъм|Натуралният логаритъм]] от ''{{Mvar|t}}'' е затъмнената площ под графиката на функцията {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} (реципрочната стойност на {{mvar|x}})]]

[[Натурален логаритъм|Натуралният логаритъм]] от ''{{Mvar|t}}'' е равен на определения [[интеграл]] на {{Mvar|1/x}} {{Mvar|dx}} от 1 до {{Mvar|t}}:
:<math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>

С други думи, {{math|ln(''t'')}} се равнява на площта между оста {{mvar|x}} и графиката на функцията {{math|1/''x''}} в интервала от {{math|1=''x'' = 1}} до {{math|1=''x'' = ''t''}}. Това следва от [[фундаментална теорема на анализа|фундаменталната теорема на анализа]] и факта, че производната на {{math|ln(''x'')}} е {{math|1/''x''}}. Дясната страна на това равенство може да служи за дефиниция на естествения логаритъм. От нея могат да се изведат формулите за логаритъм от произведение и степен.{{hrf|Courant|1988|}} Например, формулата за произведение {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} се извежда като:

:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>

Равенство (1) разделя интеграла на две части, а равенство (2) е смяна на променливата ({{math|1=''w'' = {{mvar|x}}/''t''}}). В долната илюстрация разделянето съответства на разделяне на площта на жълта и синя част. Разтягането вертикално на синята фигура с коефициент ''t'' и свиването ѝ със същия коефициент хоризонтално не променя нейната площ. След като се измести съответно наляво, площта отново е ограничена отгоре от графиката на функцията {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}}. Така лявата синя фигура, която е интеграл на {{math|''f''(''x'')}} от ''t'' до ''tu'' е със същата площ, като дясната синя фигура, която е интеграл на същата функция от 1 до ''u''. Това е геометрична илюстрация на равенство (2).
[[Файл:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|мини|център|500п|Графична демонстрация на формулата за натурален логаритъм от произведение]]

Формулата за степенуване {{math|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} може да бъде изведена по подобен начин:
:<math> \ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t)</math>.

Второто равенство използва [[смяна на променливата]] – {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>1/''r''</sup>}}.

Сборът на реципрочните стойности на естествените числа,
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>

се нарича [[хармоничен ред]] и е тясно свързан с естествения логаритъм – когато ''n'' клони към [[безкрайност]], разликата
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>

е [[Граница на редица|сходяща]] към число, наречено [[константа на Ойлер – Маскерони]] {{math|1 = ''γ'' = 0,5772...}}. Тази зависимост се използва за анализ на поведението на алгоритми като [[бързо сортиране]].{{hrf|Havil|2003|}}

Има и други интегрални представяния на логаритми, които са полезни за определени цели:
:<math> \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left(e^{-xt} - e^{-t} \right)</math>
:<math> \ln(x) = \int_0^\infty\,\frac{dt}{t}\,\left[\cos(t)-\cos(xt)\right]</math>.

Първото тъждество може да се провери, като се демонстрира, че при {{math|1=''x'' = 1}} двата израза имат еднаква стойност и еднаква производна. Второто тъждество се доказва от равенството
:<math> \frac1t =\int_0^\infty\,dq\,e^{-qt}</math>

като след това се вмъкне [[трансформация на Лаплас]] на {{math|1=cos(''xt'')}} (и {{math|1=cos(''t'')}}).

=== Трансцендентност ===
[[Реално число|Реалните числа]], които не са [[Алгебрично число|алгебрични]], се наричат [[Трансцендентно число|трансценденти]].{{hrf|Nomizu|1996|21}} Например, [[Пи|{{pi}}]] и ''[[неперово число|e]]'' са трансцендентни числа, но <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> не е. Почти всички реални числа са трансцендентни. Логаритъмът е пример за [[трансцендентна функция]] – според [[теорема на Гелфонд-Шнайдер|теоремата на Гелфонд-Шнайдер]] те обикновено имат трансцендентни стойности.{{hrf|Baker|1975|10}}

== Изчисляване ==
[[Файл:Logarithm keys.jpg|мини|Логаритмични клавиши (LOG за десетичен логаритъм и LN за естествен логаритъм) на [[калкулатор]] „TI-83 Plus“]]

Логаритмите са лесни за изчисляване в някои частни случаи, като {{math|1=log<sub>10</sub>(1000) = 3}}. В по-общ вид логаритмите могат да се изчисляват чрез [[Степенен ред|степенни редове]] или [[Средно аритметично-геометрично|аритметично-геометрични средни стойности]] или да се отчитат от предварително изчислени [[Логаритмична таблица|логаритмични таблици]] с определена крайна точност.{{hrf|Muller|2006|95}}{{hrf|Hart|1968|105 – 111}}

Итеративният [[метод на Нютон]], предназначен за приблизително решаване на уравнения, също може да се използва за изчисляване на логаритми, тъй като тяхната обратна функция, експоненциалната, може да се изчислява с добра ефективност.{{hrf|Zhang|1994|281 – 292}} При възможност за използване само на събиране и битово изместване логаритмите могат да се изчисляват и с алгоритми от типа на [[CORDIC]].{{hrf|Meggitt|1962|210 – 226}} Освен това с алгоритъма за двоичния логаритъм {{math|lb(''x'')}} може да се изчисли рекурсивно чрез многократно повдигане на квадрат на {{mvar|x}} въз основа на отношението:
:<math>\log_2\left(x^2\right) = 2 \log_2 (x). \,</math>

=== Редове на Тейлър ===
За всяко реално число {{mvar|z}}, за което {{math|0 < ''z'' < 2}}, е вярна следната формула:{{hrf|Abramowitz|1972|68}}
:<math>
\begin{align}\ln (z) &= \frac{(z-1)^1}{1} - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(z-1)^k}{k}
\end{align}
</math>
[[Файл:Taylor approximation of natural logarithm.gif|мини|Ред на Тейлър за {{math|ln(''z'')}}, центриран в {{math|''z'' {{=}} 1}}: анимацията показва първите 10 приближения, заедно с 99-о и 100-тното – приближенията не са сходящи отвъд разстояние 1 от центъра|alt=Анимация, показваща все по-добри приближения към диаграмата на логаритъм]]
Това е начин да се каже, че {{math|ln(''z'')}} може да се изчисли приблизително до все по-точна стойност чрез следните изрази:
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>

Например, за {{math|''z'' {{=}} 1.5}} третото приближение дава 0,4167, което е с около 0,011 по-голямо от {{math|ln(1,5) {{=}} 0,405465}}. Този числов ред се приближава към {{math|ln(''z'')}} с произволна точност, стига броят на събираемите да е достатъчно голям – {{math|ln(''z'')}} е [[граница (математика)|границата]] на реда, който е [[ред на Тейлър]] за естествения логаритъм при {{math|1=''z'' = 1}}. Редът на Тейлър за {{math|ln(''z'')}} е особено полезно приближение на {{math|ln(1+''z'')}} за малки стойности на {{mvar|z}} – {{math|{{!}}''z''{{!}}< 1}}, тъй като за тях:

:<math>
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.
</math>

Например, за {{math|1=''z'' = 0.1}} приближението от първи ред дава {{math|ln(1.1) ≈ 0.1}}, което се отклонява само с 5% от точната стойност 0.0953.

=== Други степенни редове ===
Друг степенен ред, използван за изчисляване на логаритми, е базиран на функцията [[Обратни хиперболични функции|хиперболичен аркустангенс]]:

:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left (\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1},
</math>

за всяко реално число {{math|''z'' > 0}}.{{hrf|Abramowitz|1972|68}}

Този ред може да се изведе от описаните по-горе редове на Тейлър. Той има по-бърза сходимост от тях, особено за стойности на {{mvar|z}} близки до 1. Например, за {{math|1=''z'' = 1.5}} първите три събираеми на втория ред апроксимират <math>ln(1.5)</math> с грешка около {{val|3|e=-6}}. Бързата сходимост за {{mvar|z}} близко до 1 може да се използва по следния начин – при грубо приближение {{math|''y'' ≈ ln(''z'')}} и полагайки

:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>

логаритъмът на {{mvar|z}} е:

:<math>\ln (z)=y+\ln (A). \,</math>

Колкото по-добро е първоначалното приближение {{mvar|y}}, толкова по-близо до 1 е {{mvar|A}}, така че неговият логаритъм да бъде изчислен ефективно. {{mvar|A}} може да се изчисли с използването на експоненциални редове, които имат бърза сходимост за неголеми стойности на {{mvar|y}}. За изчисляването на логаритми от по-големи стойности на {{mvar|z}}, те могат да се редуцират към по-малки стойности: <math>z = a \times 10^b</math>, така че <math>ln(z) = ln(a) + b \times ln(10)</math>.

Сходен метод може да се използва за изчисляването на логаритми на цели числа. Полагайки <math>\textstyle z=\frac{n+1}{n}</math> в горния ред, се получава:

:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>

Ако логаритъмът на голямо число {{mvar|n}} е известен, тогава се получава бързо сходящ ред за {{math|log(''n''+1)}} със [[скорост на сходимост]] <math>\frac{1}{2 n+1}</math>.

=== Аритметично-геометрично средно ===
[[Аритметично-геометрично средно|Аритметично-геометричното средно]] може да се използва за точни приближения на [[естествен логаритъм|естествения логаритъм]]. През 1982 година Сасаки и Канада демонстрират, че то е особено бързо за точности между 400 и 1000 десетични знака, докато редовете на Тейлър обикновено са по-бързи при по-ниска точност. В техните изследвания {{math|ln(''x'')}} се апроксимира с точност {{math|2<sup>−''p''</sup>}} (или ''p'' точни бита) чрез следната формула, изведена от [[Карл Фридрих Гаус]]:{{hrf|Sasaki|1982|247 – 250}}{{hrf|Ahrendt|1999|302 – 312}}

:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>

Тук {{math|M(''x'', ''y'')}} обозначава аритметично-геометричното средно на {{mvar|x}} и {{mvar|y}}. То се получава чрез последователно изчисляване на [[средно аритметично|средното аритметично]] <math>(x+y)/2</math> и [[средно геометрично|средното геометрично]] <math>\sqrt{xy}</math> на {{mvar|x}} и {{mvar|y}}, след което тези две стойности се използват като следващи {{mvar|x}} и {{mvar|y}}. Двете числа бързо се свеждат до обща граница, която е и стойността на {{math|M(''x'', ''y'')}}. ''m'' се избира така, че:

:<math>x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>

за да се осигури желаната точност. По-голямо ''m'' увеличава итерациите за изчисляване на {{math|M(''x'', ''y'')}} (началните ''x'' и ''y'' са по-отдалечени, така че са нужни повече итерации до достигане на сходимост), но дава по-голяма точност. Константите {{math|pi}} и {{math|ln(2)}} могат да се изчислят с бързо сходящи редове.

=== Алгоритъм на Файнман ===
При работата си върху [[Проект „Манхатън“|проекта „Манхатън“]] [[Ричард Файнман]] разработва побитов алгоритъм, подобен на дълго деление. Той използва факта, че всяко реално число <math> 1 < x < 2 </math> може да се представи като произведение на множители от вида <math> 1 + 2^{-k}</math>. Алгоритъмът последователно изгражда произведението <math>P</math>: ако <math>P \cdot (1 + 2^{-k}) < x</math>, се прави замяна на <math>P</math> с <math> P \cdot (1 + 2^{-k}) </math>. Това се повтаря за всяка целочислена стойност на <math>k</math>, докато се получи желаната точност. Тъй като <math>\log(x)</math> е сборът от събираемите от вида <math>\log(1 + 2^{-k})</math>, съответстващи на тези <math>k</math>, за които множителят <math>1 + 2^{-k}</math> е включен в произведението <math>P</math>, <math>\log(x)</math> може да се изчисли само чрез събиране, като се използва таблица за <math>\log(1 + 2^{-k})</math> за всяко <math>k</math>. Таблицата може да се създаде за произволна стойност на основата на логаритъма.{{hrf|Hillis|1989|78}}

== Приложения ==
[[Файл:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|мини|Черупка на [[Наутилуси|наутилус]] с форма на логаритмична спирала|alt=Снимка на черупка на наутилус]]

Логаритмите имат множество приложения, както в математиката, така и извън нея. Част от тях са свързани с концепцията за [[мащабна инвариантност]]. Например, в черупката на [[наутилуси]]те всеки сегмент е приблизително копие на предишния, но увеличен с постоянен коефициент, дефинирайки [[логаритмична спирала]].{{hrf|Maor|2009|135}} [[Закон на Бенфорд|Законът на Бенфорд]] за разпределението на първата цифра също може да се обясни с мащабна инвариантност.{{hrf|Frey|2006|275}} Логаритмите са свързани и със [[самоподобие]]то. Например, те се използват в анализа на алгоритми, които решават задачи, разделяйки ги на две сходни по-малки задачи и заместващи техните решения.{{hrf|Ricciardi|1990|21}} Размерите на самоподобни геометрични фигури, такива, чиято форма наподобява по-голяма фигура, също се базират на логаритми. [[Логаритмична скала|Логаритмичните скали]] са полезни за изобразяването на относителни изменения на величини, за разлика от абсолютните им изменения. Освен това, тъй като логаритмичната функция {{math|log(''x'')}} нараства много бавно за големи стойности на {{mvar|x}}, логаритмичните скали се използват и за по-компактно представяне на стойности с големи разлики. Логаритми се използват и в множество формули в естествените науки, като [[формула на Циолковски|формулата на Циолковски]], [[уравнение на Фенске|уравнението на Фенске]] или [[уравнение на Нернст|уравнението на Нернст]].

=== Логаритмична скала ===
{{основна|Логаритмична скала}}

[[Файл:Germany Hyperinflation.svg|Логаритмична диаграма на стойността на една [[златна марка]] в [[хартиена марка|хартиени марки]] по време на [[Хиперинфлация във Ваймарската република|хиперинфлацията]] в [[Германия]] през 20-те години на XX век|мини|alt=Графика на стойността на марката във времето. Кривата на стойността нараства много бързо, въпреки използването на логаритмична скала.]]

Някои величини в науката се представят удобно като логаритми на други величини чрез използването на [[логаритмична скала]]. Например, [[децибел]]ът е единица, свързана с величини в логаритмична скала. Той се базира на десетичен логаритъм от съотношения – 10 пъти десетичния логаритъм на съотношението на [[мощност]]и или 20 пъти десетичния логаритъм на съотношението на [[Електрическо напрежение|електрически напрежения]]. Използва се за количествена оценка на загубата на напрежение при предаването на електрични сигнали,{{hrf|Bakshi|2009|A5}} за изразяване на нива на звукова мощност в [[акустика]]та,{{hrf|Maling|2007|}} за описване на поглъщането на светлина в [[спектрометрия]]та и [[оптика]]та. [[Отношение сигнал-към-шум|Отношението сигнал към шум]], описващо количеството нежелан шум, отнесено към смисления [[сигнал]], също се измерва в децибели.{{hrf|Tashev|2009|98}} По подобен начин върховото отношение сигнал към шум често се използва за оценка на качеството на звука и [[компресиране на изображения|компресирането на изображения]].{{hrf|Chui|1997|180}}

Ефектите от [[земетресения]]та също се измерват удобно чрез десетичния логаритъм от освобождаваната от тях енергия. Този принцип използват [[скала на моментния магнитуд|скалата на моментния магнитуд]] и [[скала на Рихтер|скалата на Рихтер]]. Например, земетресение с [[магнитуд]] 5,0 освобождава 32 пъти {{math|(10<sup>1.5</sup>)}}, а с магнитуд 6,0 – 1000 пъти {{math|(10<sup>3</sup>)}} по-голяма енергия от земетресение с магнитуд 4,0.{{hrf|Crauder|2008|}} Друга логаритмична скала е тази на [[Видима звездна величина|видимата звездна величина]], която измерва логаритмично яркостта на звездите.{{hrf|Bradt|2004|231}} Друг пример е [[водороден показател|водородният показател]] pH в химията – той е отрицателен десетичен логаритъм на активността на [[водород]]ните йони {{chem|H|+|}}.{{hrf|IUPAC|1997|}} Разлика във водородния показател от единица съответства на десеткратна разлика в активността на водородните йони – [[оцет]] с pH около 3 е с 1000 пъти по-голяма активност на водородните йони от [[вода]]та с pH = 7.

[[Полулогаритмична диаграма|Полулогаритмичните диаграми]] използват идеята за логаритмичната скала за целите на визуализацията – едната ос, обикновено вертикалната, е в логаритмичен мащаб. Например, диаграмата в дясно свива рязкото нарастване от 1 милион до 1 трилион в същото разстояние по вертикалната ос, както нарастването от 1 до 1 милион. В такива диаграми експоненциалната функция от вида {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} изглежда като права с наклон, равен на логаритъма от {{mvar|b}}. При [[логаритмична диаграма|логаритмичните диаграми]] и двете оси са в логаритмичен мащаб, при което функции от вида {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · {{mvar|x}}<sup>''k''</sup>}} се изобразяват като прави с наклон, равен на експонентата ''k''. Такива диаграми се използват за визуализацията и анализа на [[степенен закон|степенни закони]].{{hrf|Bird|2001|}}

=== Психология ===
Логаритмите присъстват в няколко закона, описващи човешките [[възприятие|възприятия]]:{{hrf|Goldstein|2009|355 – 356}}{{hrf|Matthews|2000|48}} [[закон на Хик|законът на Хик]] задава логаритмично отношение между времето, за което хората правят избор, и броя на възможните избори, които имат.{{hrf|Welford|1968|61}} [[Закон на Фитс|Законът на Фитс]] предвижда, че времето, необходимо за бързо придвижване до определено място, е логаритмична функция на съотношението между разстоянието до него и неговия размер.{{hrf|Fitts|1954|381 – 391}} В [[психофизика]]та [[Закон на Вебер-Фехнер|законът на Вебер-Фехнер]] описва логаритмична зависимост между [[дразнител]] и [[усещане]], например между действителното и възприеманото тегло на пренасян предмет,{{hrf|Banerjee|1994|304}} макар че тази зависимост е оспорвана от по-нови модели, като [[закон на Стивънс|закона на Стивънс]].{{hrf|Nadel|2005|}}

Психологически изследвания установяват, че хора с ограничена математическа подготовка са склонни да оценяват количествата логаритмично – те позиционират дадено число върху линия според неговия логаритъм, така че например 100 е равно отдалечено и от 10, и от 1000. По-доброто образование измества това линейно възприемане към правилното (поставяйки 1000 на 10 пъти по-голямо разстояние, отколкото 100 от 10), но когато числата са трудни за линейно изобразяване, логаритмите са много по-удобни.{{hrf|Siegler|2003|237 – 243}}{{hrf|Dehaene|2008|1217 – 1220}}

=== Теория на вероятностите и статистика ===
[[Файл:PDF-log normal distributions.svg|мини|alt=Три асиметрични криви на плътност на вероятността|Три функции на [[плътност на вероятността]] на случайни величини с логнормално разпределение – параметърът {{math|μ}}, който е равен на нула и за трите показани функции, е средната стойност на логаритъма на случайната величина, а не средната стойност на самата величина]]
[[Файл:Benfords law illustrated by world's countries population.png|мини|alt=Колонна диаграма с наложена върху нея точкова диаграма – двете се различават донякъде, но и двете намаляват по подобен начин|Разпределение на първите цифри (в %, червените колони) в [[Списък на страните по население|населението на страните в света]], като черните точки показват разпределението според [[Закон на Бенфорд|закона на Бенфорд]]]]

Логаритмите се използват широко в [[теория на вероятностите|теорията на вероятностите]]. От [[Закон за големите числа|закона за големите числа]] следва, че при простия експеримент с хвърляне на монета, докато броят на хвърляния на монетата нараства към безкрайност, наблюдаваният брой на двата възможни резултата клони към равенство. Флуктуациите на всеки от двата резултата спрямо 1/2 се описват от [[закон за повторния логаритъм|закона за повторния логаритъм]].{{hrf|Breiman|1992|}}

Логаритми се използват и в [[логнормално разпределение|логнормалното разпределение]]. Когато логаритъмът на дадена случайна величина има [[нормално разпределение]], променливата има логнормално разпределение.{{hrf|Aitchison|1969|}} Логнормални разпределения се срещат в много области, в които величини се получават като произведение на множество независими положителни случайно величини, например при изследването на [[турбуленция]]та.{{hrf|Mathieu|2000|50}}

Логаритми се използват в [[метод на максималното правдоподобие|оценката за максимално правдоподобие]] на параметрични статистически модели. За такива модели [[функция на правдоподобие|функцията на правдоподобие]] зависи от поне един параметър, който трябва да бъде оценен. Максимум на функцията на правдоподобие се достига при същата стойност на параметъра, при която се достига максимум на логаритъма на правдоподобие, защото логаритъмът е монотонно растяща функция. Логаритъмът е по-лесен за максимизиране, особено при умножавани правдоподобия на независими случайни величини.{{hrf|Rose|2002|}}

[[Закон на Бенфорд|Законът на Бенфорд]] описва присъствието на цифрите в различни [[набор от данни|набори от данни]], от рода на височини на сгради. Според него вероятността първата десетична цифра в елемент на извадката да е ''d'' (от 1 до 9) е равна на {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>&thinsp;(''d'')}}, независимо от мерните единици.{{hrf|Tabachnikov|2005|36 – 40}} Така може да се очаква, че 30% от стойностите започват с цифрата 1, 18% с 2 и т.н. Законът намира различни приложения, например одитори използват отклоненията от него, за да откриват възможни счетоводни измами.{{hrf|Durtschi|2004|17 – 34}}

=== Изчислителна сложност ===
[[Анализ на алгоритми|Анализът на алгоритми]] е клон на компютърните науки, който изследва [[времева сложност|ефективността]] на [[алгоритъм|алгоритмите]] (обикновено компютърни програми, решаващи определена задача).{{hrf|Wegener|2005|1 – 2}} В него логаритмите се използват широко при описването на алгоритми, които разделят дадена задача на по-малки задачи, след което обединяват решенията на подзадачите.{{hrf|Harel|2004|143}}

Например, за да намери дадено число в подреден списък, алгоритъмът за [[двоично търсене]] проверява средния елемент в списъка, след което, ако не е открил числото, продължава с половината преди или след него. Този алгоритъм изисква средно {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;(''N'')}} сравнения, където {{mvar|N}} е дължината на списъка.{{hrf|Knuth|1998|409 – 426}} По подобен начин алгоритъмът за [[подреждане чрез сливане]] подрежда даден неподреден списък, като го разделя на половини, които подрежда преди да слее. Алгоритмите за подреждане чрез сливане обикновено отнемат време, приблизително пропорционално на {{math|''N'' · log(''N'')}}.{{hrf|Knuth|1998|158 – 168}} Основата на алгоритъма не е уточнена, тъй като резултатът се променя само с константен множител при промяна на основата, което обикновено е пренебрежима разлика в анализа на алгоритми.{{hrf|Wegener|2005|20}}

За дадена функция {{math|''f''(''x'')}} се казва, че [[Логаритмично нарастване|расте логаритмично]], когато {{math|''f''(''x'')}} е точно или приблизително пропорционална на логаритъм от {{mvar|x}}.{{refn|В биологичните описания на растежа на организми терминът „логаритмичен растеж“ се използва по напълно различен начин, обозначавайки [[експоненциална функция]].{{hrf|Mohr|1995|298}}}} Така всяко [[естествено число]] {{mvar|N}} може да бъде представено в [[Двоична бройна система|двоична форма]] в не повече от {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''N'' + 1}} [[бит]]а – количеството [[Компютърна памет|памет]], необходима за съхраняването на {{mvar|N}} нараства логаритмично с нарастването на {{mvar|N}}.

=== Ентропия и хаос ===
[[Файл:Chaotic Bunimovich stadium.svg|мини|Схема на [[динамичен билярд]], в която две частици тръгват от центъра на масата с разлика в направлението от 1 градус, след което траекториите им се разделят хаотично в резултат на различните [[отражение|отражения]] от границите на масата]]

[[Ентропия]]та е обобщена мярка за неподредеността на дадена система. В [[статистическа термодинамика|статистическата термодинамика]] ентропията на дадена физична система се дефинира като:
:<math> S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, </math>
където сумирането е по всички възможни състояния &nbsp;{{Mvar|i}} на системата, например положенията на газови частици в съд, {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} е вероятността за достигане на състояние&nbsp;{{Mvar|i}}, а {{mvar|k}} е [[Константа на Болцман|константата на Болцман]]. По подобен начин [[Ентропия на Шанън|ентропията в теорията на информацията]] измерва количеството информация – ако даден получател на информация може да очаква всяко от {{mvar|N}} възможни съобщения с равна вероятност, то количеството информация, донасяна от всяко такова съобщение се оценява количествено с {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''N''}} бита.{{hrf|Eco|1989|}}

[[Показател на Ляпунов|Показателят на Ляпунов]] използва логаритми, за да оцени степента на хаотичност на дадена [[динамична система]]. Например, за материална точка, движеща се по овална [[Динамичен билярд|билярдна маса]], дори малки отклонения в началните условия водят до напълно различни траектории. Такива системи са [[Теория на хаоса|хаотични]] по детерминистичен начин, тъй като малки грешки в измерването на началното състояние предвидимо водят до напълно различни крайни състояния.{{hrf|Sprott|2010|}}

=== Фрактали ===
[[Файл:Sierpinski dimension.svg|[[Триъгълник на Серпински|Триъгълникът на Серпински]] (вдясно) е образуван чрез последователно влагане в [[Равностранен триъгълник|равностранни триъгълници]] на три по-малки подобни триъгълника|мини|ляво|400п]]

Логаритми се използват в дефиницията за [[фрактална размерност|размерност]] на [[фрактал]]и.{{hrf|Helmberg|2007|}} Фракталите са геометрични обекти, които са самоподобни като техни части повтарят, поне приблизително, общата структура на обекта. Например, показаният на илюстрацията [[триъгълник на Серпински]] може да бъде покрит с три копия на самия себе си, но със страни, намалени наполовина. Така [[Хаусдорфова размерност|хаусдорфовата размерност]] на тази структура е {{math|1=ln(3)/ln(2) ≈ 1.58}}. Друга базирана на логаритми мярка за размерността се получава чрез [[Размерност на Минковски-Булиган|преброяване на клетките]], необходими за покриването на даден фрактал.

=== Музика ===
{{multiple image
| direction = vertical
| width     = 350
| footer    = Четири различни октави, показани върху линейна скала (горе) и върху логаритмична скала (долу), както са разпознавани от слуха
| image1    = 4Octaves.and.Frequencies.svg
| alt1      = Четири различни октави, показани върху линейна скала
| image2    = 4Octaves.and.Frequencies.Ears.svg
| alt2      = Четири различни октави, показани върху логаритмична скала
}}

Логаритмите са свързани с музикалните тонове и [[Музикален интервал|интервали]]. При [[темпериран строй]] съотношението между честотите зависи само от интервала между два тона, не от конкретната честота ([[Височина на тона|височина]]) на отделните тонове. Например, нотата [[ла]] има честота 440&nbsp;[[херц|Hz]], а [[си бемол]] е с честота 466&nbsp;Hz. Интервалът между тях е един [[полутон]], както и този между си бемол и [[си]] (честота 493&nbsp;Hz). Съответно, съотношенията между честотите съвпадат:
:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>

По този начин логаритмите могат да бъдат използвани за описването на интервали – всеки интервал може да се измери в полутонове като се намери логаритъм с основа {{math|2<sup>1/12</sup>}} от съотношението на честотите, докато логаритъм с основа {{math|2<sup>1/1200</sup>}} изразява интервала в центове (стотни от полутона). Последната мярка се използва за по-прецизно записване, каквото се налага при нетемперираните строеве.{{hrf|Wright|2009|}}

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''Интервал'''
||1/12 тон {{audio|1_step_in_72-et_on_C.mid|play}}
||[[Полутон]] {{audio|help=no|Minor_second_on_C.mid|play}}
||[[Терца (интервал)|Терца]] {{audio|help=no|Major_third_on_C.mid|play}}
||[[Тритонус]] {{audio|help=no|Tritone_on_C.mid|play}}
||[[Октава]] {{audio|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|play}}
|-
|| '''Съотношение на честотите''' ''r''
|| <math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097</math>
|| <math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595</math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} </math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align} </math>
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '''Брой полутонове'''<br /><math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6</math>
|| <math>1</math>
|| <math>4</math>
|| <math>6</math>
|| <math>12</math>
|-
|| '''Брой центове'''<br /><math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3</math>
|| <math>100</math>
|| <math>400</math>
|| <math>600</math>
|| <math>1200</math>
|}

=== Теория на числата ===
[[Естествен логаритъм|Естествените логаритми]] са тясно свързани с [[функция на разпределение на простите числа|функцията на разпределение на простите числа]], която играе важна роля в [[теория на числата|теорията на числата]]. За всяко [[цяло число]] {{mvar|x}} броят на [[Просто число|простите числа]], по-малки или равни на {{mvar|x}}, е равно на {{math|{{pi}}(''x'')}}. Според [[теорема за разпределението на простите числа|теоремата за разпределението на простите числа]] {{math|{{pi}}(''x'')}} може да се изчисли приблизително от
:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>

като съотношението между {{math|{{pi}}(''x'')}} и тази дроб клони към 1 когато {{mvar|x}} клони към безкрайност.{{hrf|Bateman|2004|}} Като следствие вероятността произволно избрано число между 1 и {{mvar|x}} да е просто е обратно пропорционална на броя на десетичните цифри в {{mvar|x}}. Още по-добро приближение на {{math|{{pi}}(''x'')}} се получава чрез интегралната функция {{math|Li(''x'')}}, дефинирана като
:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>

[[Хипотеза на Риман|Хипотезата на Риман]], едно от най-старите все още отворени предположения в математика, може да се изрази чрез сравнение на {{math|{{pi}}(''x'')}} и {{math|Li(''x'')}}.{{hrf|Bateman|2004|}} [[Теорема на Ердьош-Кац|Теоремата на Ердьош-Кац]], описваща броя на различните прости коефициенти, също използва естествени логаритми.

Свойството на логаритъма на ''n'' [[факториел]], {{math|1=''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''}}
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n).</math>
може да се използва за извеждане на [[формула на Стърлинг|формулата на Стърлинг]], даваща приблизителни стойности на {{math|''n''!}} за голямо {{mvar|n}}.{{hrf|Slomson|1991|}}

== Обобщения ==
=== Комплексен логаритъм ===
{{основна|Комплексен логаритъм}}

[[Файл:Complex number illustration multiple arguments.svg|мини|В полярния запис на {{math|''z {{=}} x + iy''}} стойността {{mvar|z}} може да се получи както от {{mvar|φ}}, така и от {{mvar|φ'}}|alt=Илюстрация на полярен запис на комплексно число: точка е описана чрез стрелка и по еквивалентен начин чрез нейната дължина и ъгъл спрямо оста x]]

Всички [[комплексно число|комплексни числа]] {{mvar|a}}, които са корени на уравнението

<math display="block">e^a=z</math>

се наричат комплексни логаритми на {{mvar|z}} за всяко комплексно число {{mvar|z}}. Комплексните числа обикновено се представят във вида {{math|''z {{=}} x + iy''}}, където {{mvar|x}} и {{mvar|y}} са реални числа, а {{mvar|i}} е [[имагинерна единица]], квадратът на която е равен на −1. Такова число може да се визуализира като точка в [[комплексна равнина|комплексната равнина]]. Ненулевите комплексни числа могат да се представят и в полярна форма – чрез тяхната [[абсолютна стойност]] – положителното, реално разстояние от точката до началото на координатната система – и ъгъла между реалната ос {{mvar|x}} и правата, преминаваща през началото на координатната система и точката {{mvar|z}}. Този ъгъл понякога се нарича ''аргумент'' на комплексното число.

Абсолютната стойност {{mvar|r}} на {{mvar|z}} се получава от

<math display="block">\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

Като се използва геометричната интерпретация на [[синус (математика)|синус]] и [[косинус]] и тяхната периодичност на {{Math|2{{pi}}}} всяко комплексно число {{mvar|z}} може да се опише и като

<math display="block">z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi )= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),</math>

за всяко цяло число {{mvar|k}}. От това се вижда, че аргументът на {{mvar|z}} не е еднозначно определен – ако {{mvar|φ}} е валидна стойност, валидни са и стойностите {{Math|1=''φ''' = ''φ'' + 2''k''{{pi}}}} за всяко цяло число {{mvar|k}}. По конвенция една от валидните стойности на аргумента – обикновено такава, която попада в един от интервалите {{Math|−{{pi}} < ''φ'' ≤ {{pi}}}}{{hrf|Ganguly|2005|}} или {{Math|0 ≤ ''φ'' < 2{{pi}}}},{{hrf|Nevanlinna|2007|}} наричани ''клонове'' на аргументната функция – се избира за ''основен аргумент'', обозначаван с {{math|Arg(''z'')}}.

[[Файл:Complex log domain.svg|мини|Основният клон (-{{pi}}, {{pi}}) на комплексния логаритъм {{math|Log(''z'')}}: черната точка в {{math|''z'' {{=}} 1}} съответства на абсолютна стойност нула, по-ярките цветове обозначават по-големи абсолютни стойности, а [[цветови тон|тонът]] на цвета съответства на аргумента на {{math|Log(''z'')}}.|alt=Графика на плътността: в средата има черна точка, по отрицателната ос оттенъкът се изменя рязко, а в другите посоки постепенно]]

[[Формула на Ойлер|Формулата на Ойлер]] свързва тригонометричните функции синус и косинус с комплексната експонента:

<math display="block">e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi .</math>

Прилагайки тази формула и отчитайки периодичността на тригонометричните функции, могат да бъдат изведени следните равенства:{{hrf|Moore|1991|}}

<math display="block"> \begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\
& = & r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\
& = & e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\
& = & e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k},
\end{array}
</math>

където {{math|ln(''r'')}} е единственият реален естествен логаритъм, {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} обозначава комплексните логаритми на {{mvar|z}}, а {{mvar|k}} е произволно цяло число. Следователно комплексните логаритми на {{mvar|z}}, които са всички комплексни стойности {{math|''a''<sub>''k''</sub>}}, за които {{math|''a''<sub>''k''</sub>-тата}}&nbsp;степен на {{mvar|e}} е равна на {{mvar|z}}, са безкрайния брой стойности

<math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> за произволна цяла стойност&nbsp;{{mvar|k}}.

Приемайки {{mvar|k}}, така че {{Math|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} да бъде в дефинирания интервал на основните аргументи, получената стойност {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} се нарича ''основна стойност'' на логаритъма, обозначавана с {{math|Log(''z'')}} (с главно &nbsp;{{math|L}}). Основният аргумент на всяко положително реално число&nbsp;{{mvar|x}} е 0; така {{math|Log(''x'')}} е реално число, което е равно на реалния (естествен) логаритъм. Въпреки това формулите за логаритмите на произведения и степени, валидни за реалните логаритми, не са приложими за основните стойности на комплексните логаритми.{{hrf|Wilde|2006|97}}

=== Обратни функции на други експоненциални функции ===
Степенуването се използва в много области на математиката, а обратните му функции често са наричани логаритми. Например, [[матричен логаритъм|матричният логаритъм]] е обратната функция на [[матрична експонента|матричната експонента]].{{hrf|Higham|2008|}} Друг пример е [[p-адичен логаритъм|''p''-адичният логаритъм]], обратна функция на [[p-адична експонента|''p''-адичната експонента]] – тези две функции се дефинират чрез редове на Тейлър по аналогия с реалните им съответствия.{{hrf|Neukirch|1999|}} В контекста на [[диференциална геометрия|диференциалната геометрия]] [[експоненциално изображение|експоненциалното изображение]] преобразува [[допирателно пространство|допирателното пространство]] в дадена точка на дадено диференцируемо [[многообразие]], изобразявайки я в [[околност]] на тази точка. Неговото обратно изображение също се нарича логаритмично.{{hrf|Hancock|2009|379}}

В контекста на [[Крайна група|крайните групи]] степенуването се дефинира като последователното умножаване на даден елемент на групата {{mvar|b}} със самия него. [[Дискретен логаритъм|Дискретният логаритъм]] е цяло число ''{{mvar|n}}'', което е решение на уравнението
<math display="block">b^n = x,</math>
където {{mvar|x}} е елемент на групата. Докато степенуването може да се извърши ефективно, дискретният логаритъм е смятан за много труден за изчисляване при някои групи. Тази несиметричност има важни приложения в [[Асиметричен шифър|асиметричните шифри]], като например в алгоритъма „[[Дифи-Хелман]]“, процес, позволяващ сигурен обмен на [[криптография|криптографски]] ключове по несигурен информационен канал.{{hrf|Stinson|2006|}}

Други сходни с логаритъма обратни функции са ''двойният логаритъм'' {{math|ln(ln(''x''))}}, ''[[суперлогаритъм]]ът'' (вариант на който е наричан в информатиката [[итериран логаритъм]]), ''[[W-функция на Ламберт|W-функцията на Ламберт]]'' и функцията ''[[логит]]''. Те са обратните функции съответно на [[двойна експоненциална функция|двойната експоненциална функция]], [[тетрация]]та, {{math|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}}{{hrf|Corless|1996|329 – 359}} и [[логистична функция|логистичната функция]].{{hrf|Cherkassky|2007|357}}

=== Свързани концепции ===
От гледна точка на [[теория на групите|теорията на групите]] равенството {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} изразява [[изоморфизъм на групи]] между положителните реални числа, подложени на умножение, и реалните числа, подложени на събиране. Логаритмичните функции са единствените непрекъснати изоморфизми между тези групи.{{hrf|Bourbaki|1998|}} Чрез този изоморфизъм [[мярка на Хаар|мярката на Хаар]] ([[мярка на Льобег]]) {{math|''dx''}} върху реалните числа съответства на мярката на Хаар {{math|''dx''/''x''}} върху положителните реални числа.{{hrf|Ambartzumian|1990|}} Неотрицателните реални числа имат не само умножение, но и събиране, и образуват [[полупръстен]], наричан вероятностен полупръстен, който е и полуполе. Така логаритъмът отнася умножението към събирането и събирането към умножението, създавайки изоморфизъм на полупръстени между вероятностния полупръстен и логаритмичния полупръстен.

Логаритмичната форма {{math|''df''/''f''}}, използвана в [[комплексен анализ|комплексния анализ]] и [[алгебрична геометрия|алгебричната геометрия]], е [[диференциална форма]] с логаритмични [[полюс (комплексен анализ)|полюси]].{{hrf|Esnault|1992|}}

[[Полилогаритъм]]ът е функция, дефинирана като
<math display="block">
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math>
Тя е свързана с естествения логаритъм чрез зависимостта {{math|1=Li<sub>1</sub>&thinsp;(''z'') = −ln(1 − ''z'')}}. В допълнение {{math|Li<sub>''s''</sub>&thinsp;(1)}} е равен на [[Дзета-функция на Риман|дзета-функцията на Риман]] {{math|ζ(''s'')}}.{{hrf|Apostol|2010|}}

== Вижте също ==
* [[Степенуване (математика)|Степенуване]]
* [[Десетичен логаритъм]]
* [[Натурален логаритъм]]
* [[Дискретен логаритъм]]

== Бележки ==
{{колони|3|<references/>}}

; Цитирани източници
{{дребно|
* {{Cite book | last       = Abramowitz | first = Milton | coauthors = Irene A. Stegun | title = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 978-0486612720 | edition = 10th | year = 1972 | title-link = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | lang = en }}
* {{cite journal | last    = Ahrendt | first = Timm | title = Stacs 99 | publisher = Springer | location = Berlin, New York | series = Lecture notes in computer science | doi = 10.1007/3-540-49116-3_28 | volume = 1564 | year = 1999 | pages = 302 – 312 | isbn = 978-3-540-65691-3 | chapter = Fast Computations of the Exponential Function | lang = en}}
* {{cite book | last       = Aitchison | first = J. | coauthors = J.A.C. Brown | title = The lognormal distribution | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-04011-2 | oclc = 301100935 | year = 1969 | lang = en}}
* {{Cite book | last       = Allen | first = Elizabeth | coauthors = Sophie Triantaphillidou | title = The Manual of Photography | publisher = Taylor & Francis | year = 2011 | isbn = 978-0240520377| url = https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Ambartzumian | first = R. V. | author-link = Рубен Амбарцумян | title = Factorization calculus and geometric probability | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-34535-4 | year = 1990 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/factorizationcal0000amba | lang = en}}
* {{cite | фамилия-част    = Apostol | име-част = T. M | заглавие-част = Logarithm | фамилия = Olver | име = Frank W. J. | съавтори = Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark (eds.) | заглавие = NIST Handbook of Mathematical Functions | издател = Cambridge University Press | дата = 2010 | isbn = 978-0-521-19225-5 | език = en}}
* {{cite book | last       = Baker | first = Alan | title = Transcendental number theory | url       = https://archive.org/details/transcendentalnu0000bake | publisher = Cambridge University Press | isbn = 978-0-521-20461-3 | year = 1975 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Bakshi | first = U. A | year = 2009 | title = Telecommunication Engineering | publisher = Technical Publications | location = Pune | isbn = 978-81-8431-725-1 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Banerjee | first = J.C | title = Encyclopaedic dictionary of psychological terms | publisher = M.D. Publications | location = New Delhi | isbn = 978-81-85880-28-0 | oclc = 33860167 | year = 1994 | url = https://books.google.com/books?id=Pwl5U2q5hfcC&pg=PA306 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Bateman | first = P. T. | coauthors = Harold G. Diamond | title = Analytic number theory: an introductory course | publisher = World Scientific | location = New Jersey | isbn = 978-981-256-080-3 | oclc = 492669517 | year = 2004 | lang = en}}
* {{Cite book | last       = Bernstein | first = Stephen | coauthors = Ruth Bernstein | title = Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | url       = https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern | publisher = McGraw-Hill | location = New York | series = Schaum's outline series | isbn = 978-0070050235 | year = 1999 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Bird | first = J.O | title = Newnes engineering mathematics pocket book | publisher = Newnes | location = Oxford | edition = 3rd | isbn = 978-0-7506-4992-6 | year = 2001 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Bourbaki | first = Nicolas | author-link = Никола Бурбаки | title = General topology. Chapters 5 – 10 | url       = https://archive.org/details/generaltopology20000bour | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | series = Elements of Mathematics | isbn = 978-3-540-64563-4 | mr = 1726872 | year = 1998 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Bradt | first = Hale | title = Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations | url       = https://archive.org/details/astronomymethods0000brad | publisher = Cambridge University Press | series = Cambridge Planetary Science | isbn = 978-0-521-53551-9 | year = 2004 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Breiman | first = Leo | title = Probability | publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics | location = Philadelphia | series = Classics in applied mathematics | isbn = 978-0-89871-296-4 | year = 1992 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Bryant | first = Walter W | title = A History of Astronomy | url = https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up | publisher = Methuen & Co | location = London | year = 1907 | lang = en }}
* {{cite | фамилия-част    = Bukhshtab | име-част = A.A. | съавтори-част = V.I. Pechaev | заглавие-част = Arithmetic | url = http://eom.springer.de/A/a013260.htm | фамилия = Hazewinkel | име = Michiel | заглавие = Encyclopaedia of Mathematics | издател = Springer | дата = 2001 | isbn = 978-1556080104 | език = en}}
* {{cite book | last       = Campbell-Kelly | first = Martin | title = The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher = Oxford University Press | series = Oxford scholarship online | isbn = 978-0198508410 | year = 2003 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Cherkassky | first = Vladimir | coauthors = Vladimir S. Cherkassky, Filip Mulier | title = Learning from data: concepts, theory, and methods | url       = https://archive.org/details/learningfromdata0000cher | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | series = Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control | isbn = 978-0-471-68182-3 | year = 2007 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Chui | first = C. K | title = Wavelets: a mathematical tool for signal processing | publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics | location = Philadelphia | series = SIAM monographs on mathematical modeling and computation | isbn = 978-0-89871-384-8 | year = 1997 | url = https://books.google.com/books?id=N06Gu433PawC&pg=PA180 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Corless | first = R. | coauthors = G. Gonnet, D. Hare, D. Jeffrey, Donald Knuth | title = On the Lambert ''W'' function | url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | year = 1996 | journal = Advances in Computational Mathematics | issn = 1019 – 7168 | volume = 5 | doi = 10.1007/BF02124750 | s2cid = 29028411 | access-date = 2011-02-13 | archive-url = https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf | archive-date = 2010-0-12-14 | url-status = dead | lang = en}}
* {{cite book | last       = Courant | first = Richard | title = Differential and integral calculus. Vol. I | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | series = Wiley Classics Library | isbn = 978-0-471-60842-4 | mr = 1009558 | year = 1988 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Crauder | first = Bruce | coauthors = Benny Evans, Alan Noell | title = Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra | publisher = Cengage Learning | location = Boston | edition = 4th | isbn = 978-0-547-15669-9 | year = 2008 | lang = en}}
* {{Cite journal | last    = Dehaene | first = Stanislas | coauthors = Véronique Izard, Elizabeth Spelke, Pierre Pica | title = Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures | volume = 320 | issue = 5880 | pages = 1217 – 1220 | doi = 10.1126/science.1156540 | pmc = 2610411 | pmid = 18511690 | year = 2008 | journal = Science | bibcode = 2008Sci...320.1217D | citeseerx = 10.1.1.362.2390 | lang = en}}
* {{Cite book | last       = Devlin | first = Keith | title = Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher = Chapman & Hall/CRC | location = Boca Raton, Fla | edition = 3rd | series = Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn = 978-1-58488-449-1 | year = 2004 | url = https://books.google.com/books?id=uQHF7bcm4k4C | lang = en }}
* {{cite book | last       = Dieudonné | first = Jean | title = Foundations of Modern Analysis | volume = 1 | year = 1969 | publisher = Academic Press | lang = en }}
* {{cite book | last       = Downing | first = Douglas | title = Algebra the Easy Way | url       = https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0 | series = Barron's Educational Series | location = Hauppauge, NY | publisher = Barron's | isbn = 978-0764119729 | year = 2003 | lang = en }}
* {{cite journal | last    = Durtschi | first = Cindy | coauthors = William Hillison, Carl Pacini | title = The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data | url = http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf | volume = V | pages = 17 – 34 | year = 2004 | journal = Journal of Forensic Accounting | archive-url = https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf | archive-date = 2017-08-29 | accessdate = 2018-05-28 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Eco | first = Umberto | authorlink = Умберто Еко | year = 1989 | title = The open work | url       = https://archive.org/details/openwork0000ecou | publisher = Harvard University Press | isbn = 978-0-674-63976-8 | lang = en}}
* {{cite web | last        = Embacher | first = Franz | coauthors = Petra Oberhuemer | year = 2011 | url = http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html | title = Mathematisches Lexikon | publisher = mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium | work = mathe-online.at | accessdate = 22 март 2011 | lang = de }}
* {{cite web | last        = Esnault | first = Hélène | coauthors = Eckart Viehweg | title = Lectures on vanishing theorems | location = Basel, Boston | publisher = Birkhäuser Verlag | series = DMV Seminar | isbn = 978-3-7643-2822-1 | mr = 1193913 | year = 1992 | volume = 20 | doi = 10.1007/978-3-0348-8600-0 | citeseerx = 10.1.1.178.3227 | lang = en}}
* {{cite journal | last    = Fitts | first = Paul M | year = 1954 | date = June 1954 | title = The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement | journal = Journal of Experimental Psychology | volume = 47 | issue = 6 | pages = 381 – 391 | pmid = 13174710 | doi = 10.1037/h0055392 | s2cid = 501599 | url = https://semanticscholar.org/paper/3087289229146fc344560478aac366e4977749c0 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Frey | first = Bruce | title = Statistics hacks | publisher = O'Reilly | location = Sebastopol, CA | series = Hacks Series | url = https://books.google.bg/books?id=HOPyiNb9UqwC&pg=PA275&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false | isbn = 978-0-596-10164-0 | year = 2006 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Ganguly | location = Kolkata | first = S | title = Elements of Complex Analysis | publisher = Academic Publishers | isbn = 978-81-87504-86-3 | year = 2005 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Goldstein | first = E. Bruce | title = Encyclopedia of Perception | url = https://books.google.com/books?id=Y4TOEN4f5ZMC | publisher = Sage | location = Thousand Oaks, CA | isbn = 978-1-4129-4081-8 | year = 2009 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Goodrich | first = Michael T. | coauthors = Roberto Tamassia | title = Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples | publisher = John Wiley & Sons | year = 2002 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Groza | first = Vivian Shaw | coauthors = Susanne M. Shelley | year = 1972 | title = Precalculus mathematics | publisher = Holt, Rinehart and Winston | location = New York | pages = 182 | isbn = 978-0-03-077670-0 | url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel| lang = en }}
* {{cite book | last       = Gullberg | first = Jan | title = Mathematics: from the birth of numbers | url       = https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull | location = New York | publisher = W. W. Norton & Co | year = 1997 | isbn = 978-0393040029 | lang = en }}
* {{cite | фамилия-част    = Gupta | име-част = R. C | заглавие-част = History of Mathematics in India | url-част = http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false | фамилия = Hoiberg | име = Dale | съавтори = Indu Ramchandani | заглавие = Students' Britannica India: Select essays | място = New Delhi | издател = Popular Prakashan | дата = 2000 | isbn = 9780852297629 | език = en}}
* {{cite book | last       = Hancock | first = Edwin R. | coauthors = Ralph R. Martin, Malcolm A. Sabin | title = Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7 – 9, 2009 Proceedings | url = https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379 | publisher = Springer | year = 2009 | page = 379 | isbn = 978-3-642-03595-1 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Harel | first = David | coauthord = Yishai A. Feldman | title = Algorithmics: the spirit of computing | location = New York | publisher = Addison-Wesley | isbn = 978-0-321-11784-7 | year = 2004 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Hart | coauthors = Cheney, Lawson | year = 1968 | publisher = John Wiley | location = New York | title = Computer Approximations | series = SIAM Series in Applied Mathematics | lang = en}}
* {{cite book | last       = Havil | first = Julian | title = Gamma: Exploring Euler's Constant | url       = https://archive.org/details/gammaexploringeu0000havi | publisher = Princeton University Press | isbn = 978-0-691-09983-5 | year = 2003 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Helmberg | first = Gilbert | title = Getting acquainted with fractals | url       = https://archive.org/details/gettingacquainte0000helm | publisher = Walter de Gruyter | series = De Gruyter Textbook | location = Berlin, New York | isbn = 978-3-11-019092-2 | year = 2007 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Higham | first = Nicholas | authorlink = Никълас Хайъм | title = Functions of Matrices. Theory and Computation | location = Philadelphia, PA | publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics | isbn  = 978-0-89871-646-7 | year = 2008 | lang = en}}
* {{cite journal | last    = Hillis | first = Danny | authorlink = Дани Хилис | title = Richard Feynman and The Connection Machine | journal = Physics Today | volume = 42 | issue = 2 | page = 78 | year = 1989 | date = 15 January 1989 | doi = 10.1063/1.881196 | bibcode = 1989PhT....42b..78H | lang = en}}
* {{cite book | author     = IUPAC | title = Compendium of Chemical Terminology („Gold Book“) | edition = 2nd | editor = A. D. McNaught, A. Wilkinson | publisher = Blackwell Scientific Publications | location = Oxford | year = 1997 | url = http://goldbook.iupac.org/P04524.html | isbn = 978-0-9678550-9-7 | doi = 10.1351/goldbook | lang = en}}
* {{cite web | last = Jain | first = Hiralal | year = 1996 | url = http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm | title = The Shatkhandagama of Pushpadanta and Bhootabal | work = jainworld.com | publisher = Jain Samskriti Samrakshaka Sangha | accessdate = 7 юни 2011 | lang = en | архив_дата = 2011-05-11 | архив_уеб_адрес = https://web.archive.org/web/20110511032215/http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm }}
* {{cite book | last = Kate | first = S.K. | coauthors = H.R. Bhapkar | title = Basics Of Mathematics | location = Pune | publisher = Technical Publications | isbn = 978-8184317558 | year = 2009 | url = https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PA1 | lang = en | archive-url = http://web.archive.org/web/20200805084927/https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PA1 | archive-date = 2020-08-05 }}{{Dead link|date=октомври 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{cite book | last       = Kline | first =Morris | title = Calculus: an intuitive and physical approach | url       = https://archive.org/details/calculusintuitiv0000klin_o9z9 | publisher = Dover Publications | location = New York | series = Dover books on mathematics | isbn = 978-0-486-40453-0 | year = 1998 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Knuth | first = Donald | authorlink = Доналд Кнут | year = 1998 | title = The Art of Computer Programming | publisher = Addison-Wesley | location = Reading, MA | isbn = 978-0-201-89685-5 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Lang | first = Serge | title = Undergraduate analysis | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | edition = 2nd | series = Undergraduate Texts in Mathematics | isbn = 978-0-387-94841-6 | mr = 1476913 | year = 1997 | doi = 10.1007/978-1-4757-2698-5 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Maling | first = George C | editor1-last = Rossing | editor1-first = Thomas D. | title = Springer handbook of acoustics | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | isbn = 978-0-387-30446-5 | year = 2007| c hapter = Noise | lang = en}}
* {{cite book | last       = Maor | first = Eli | title = E: The Story of a Number | publisher = Princeton University Press | isbn = 978-0-691-14134-3 | year = 2009 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Mathieu | first = Jean | coauthors = Julian Scott | title = An introduction to turbulent flow | publisher = Cambridge University Press | year = 2000 | isbn = 978-0-521-77538-0 | url = https://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Matthews | first = Gerald | title = Human performance: cognition, stress, and individual differences | url = https://books.google.com/books?id=0XrpulSM1HUC | publisher = Psychology Press | location = Hove | isbn = 978-0-415-04406-6 | year = 2000 | lang = en}}
* {{cite journal | last    = Meggitt | first = J. E | year = 1962 | url = https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513 | title = Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes | journal = IBM Journal of Research and Development | date = April 1962 | doi = 10.1147/rd.62.0210 | volume = 6 | issue = 2 | pages = 210 – 226 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Mohr | first = Hans | coauthors = Peter Schopfer | year = 1995 | title = Plant physiology | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | isbn = 978-3-540-58016-4 | url = https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr | lang = en}}
* {{cite book | last       = Moore | first = Theral Orvis | coauthors = Edwin H. Hadlock | title = Complex analysis | url       = https://archive.org/details/complexanalysis0000moor | publisher = World Scientific | location = Singapore | isbn = 978-981-02-0246-0 | year = 1991 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Muller | first = Jean-Michel | title = Elementary functions | url       = https://archive.org/details/elementaryfuncti0000mull | publisher = Birkhäuser Boston | location = Boston, MA | edition = 2nd | isbn = 978-0-8176-4372-0 | year = 2006 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Nadel | first = Lynn | title = Encyclopedia of cognitive science | url       = https://archive.org/details/encyclopediaofco0004unse_u4z8 | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | isbn = 978-0-470-01619-0 | year = 2005}}
* {{Cite book | last       = Neukirch | first = Jürgen | authorlink = Юрген Нойкирх | title = Algebraische Zahlentheorie | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | series      = Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | isbn        = 978-3-540-65399-8 | mr = 1697859 | zbl = 0956.11021 | year = 1999 | volume = 322 | lang = de}}
* {{cite book | last       = Nevanlinna | first = Rolf Herman | author-link = Ролфа Неванлина | coauthors = Veikko Paatero | title = Introduction to complex analysis | location = Providence, RI | publisher = AMS Bookstore | isbn = 978-0-8218-4399-4 | year = 2007 | bibcode = 1974aitc.book.....W} | lang = en}}
* {{cite book | last       = Nomizu | first = Katsumi | title = Selected papers on number theory and algebraic geometry | volume = 172 | location = Providence, RI | publisher = AMS Bookstore | year = 1996 | isbn = 978-0-8218-0445-2 | url = https://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Parkhurst | first = David F | title = Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science | edition = illustrated | publisher = Springer Science & Business Media | year = 2007 | isbn = 978-0387342283 | url = https://books.google.com/books?id=h6yq_lOr8Z4C&pg=PA288 | lang = en }}
* {{cite journal | last    = Perl | first = Yehoshua | coauthors = Edward M. Reingold | year = 1977 | title = Understanding the complexity of interpolation search | journal = Information Processing Letters | date = December 1977 | volume = 6 | issue = 6 | pages = 219 – 222 | doi = 10.1016/0020 – 0190(77)90072 – 2 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Ricciardi | first = Luigi M | title = Lectures in applied mathematics and informatics | url = https://books.google.bg/books?id=Cw4NAQAAIAAJ&redir_esc=y | publisher = Manchester University Press | location = Manchester | isbn=978-0-7190-2671-3 | year = 1990 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Rose | first = Colin | coauthors = Murray D. Smith | title = Mathematical statistics with Mathematica | url       = https://archive.org/details/mathematicalstat0000rose | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | series = Springer texts in statistics | isbn = 978-0-387-95234-5 | year = 2002 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Rudin | first = Walter | title = Principles of mathematical analysis | year = 1984 | publisher = McGraw-Hill International | location = Auckland | isbn = 978-0070856134 | edition = 3rd ed., International student | lang = en }}
* {{cite journal | last    = Sasaki | first = T. | coauthors = Y. Kanada | title = Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) | journal = Journal of Information Processing | volume = 5 | issue = 4 | pages = 247 – 250 | year = 1982 | url = http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 | accessdate = 2011-03-30 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Shirali | first = Shailesh | title = A Primer on Logarithms | publisher = Universities Press | isbn = 978-8173714146 | year = 2002 | location = Hyderabad | url = https://books.google.com/books?id=0b0igbb3WaQC | lang = en }}
* {{Cite journal | last    = Siegler | first = Robert S. | coauthors = John E. Opfer | year = 2003 | doi = 10.1111/1467 – 9280.02438 | title = The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity | volume = 14 | issue = 3 | pages = 237 – 243 | journal = Psychological Science | url = http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf | pmid = 12741747 | citeseerx = 10.1.1.727.3696 | s2cid = 9583202 | accessdate = 2011-01-07 | archive-url = https://web.archive.org/web/20110517002232/http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf | archive-date = 2011-05-17 | url-status = dead | lang = en}}
* {{cite book | last       = Slomson | first = Alan B | title = An introduction to combinatorics | publisher = CRC Press | location = London | isbn = 978-0-412-35370-3 | year = 1991 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Spiegel | first = Murray R. | coauthors = R.E. Moyer | title = Schaum's outline of college algebra | url       = https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000spie_x1i8 | publisher = McGraw-Hill | location = New York | series = Schaum's outline series | isbn = 978-0071452274 | year = 2006 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Sprott | first = Julien Clinton (ed.) | year = 2010 | title = Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows | publisher = World Scientific Publishing | location = New Jersey | isbn = 978-981-283-881-0 | url = https://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C | lang = en}}
* {{cite book | last       = Stewart | first = James | title = Single Variable Calculus: Early Transcendentals | url       = https://archive.org/details/singlevariableca0000stew_w8h1 | publisher = Thomson Brooks/Cole | location = Belmont | isbn = 978-0-495-01169-9 | year = 2007 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Stifelio | first = Michaele | year = 1544 | title = Arithmetica Integra | url       = https://archive.org/details/bub_gb_ywkW9hDd7IIC | publisher = Iohan Petreium | location = London | pages = [https://archive.org/details/bub_gb_ywkW9hDd7IIC/page/n37 13] | lang = la }}
* {{cite book | last       = Stinson | first = Douglas Robert | title = Cryptography: Theory and Practice | url       = https://archive.org/details/cryptographytheo0000stin_k3r1 | publisher = CRC Press | location = London | edition = 3rd | isbn = 978-1-58488-508-5 | year = 2006 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Tabachnikov | first = Serge | title = Geometry and Billiards | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, RI | isbn = 978-0-8218-3919-5 | year = 2005 | pages = 36 – 40 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Tashev | first = Ivan Jelev | title = Sound Capture and Processing: Practical Approaches | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | isbn = 978-0-470-31983-3 | year = 2009 | url = https://books.google.com/books?id=plll9smnbOIC&pg=PA48 | lang = en}}
* {{cite web | last        = Taylor | first = B. N | title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) | publisher = US Department of Commerce | year = 1995 | url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Van der Lubbe | first = Jan C. A | title = Information Theory | publisher = Cambridge University Press | year = 1997 | isbn = 978-0521467605 | url = https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Wegener | first = Ingo | title = Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin, New York | isbn = 978-3540210450 | year = 2005 | lang = en }}
* {{cite book | last       = Welford | first = A. T | title = Fundamentals of skill | url       = https://archive.org/details/isbn_9780416030006 | publisher = Methuen | location = London | isbn = 978-0-416-03000-6 | oclc = 219156 | year = 1968 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Wilde | first = Ivan Francis | title = Lecture notes on complex analysis | publisher = Imperial College Press | location = London | isbn = 978-1-86094-642-4 | year = 2006 | url = https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97 | lang = en}}
* {{cite web | publisher   = Wolfram Alpha | year = 2019a | url = https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx(Log(b,x)) | title = d/dx(Log(b,x)) | work = wolframalpha.com | accessdate = 2019-05-14 | lang = en}}
* {{cite web | publisher   = Wolfram Alpha | year = 2019b | url = https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) | title = Integrate(ln(x)) | work = wolframalpha.com | accessdate = 2019-05-14 | lang = en}}
* {{cite book | last       = Wright | first = David | title = Mathematics and music | url       = https://archive.org/details/mathematicsmusic0000wrig | location = Providence, RI | publisher = AMS Bookstore | isbn = 978-0-8218-4873-9 | year = 2009 | lang = en}}
* {{cite journal | last    = Zhang | first = M | coauthors = J.G. Delgado-Frias, S. Vassiliadis | title = Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation | doi = 10.1049/ip-cdt:19941268 | journal = IEE Proceedings – Computers and Digital Techniques | issn = 1350 – 2387 | volume = 141 | year = 1994 | issue = 5 | pages = 281 – 292 | lang = en}}
}}

{{нормативен контрол}}
{{Избрана статия|12388655|22 октомври 2024}}

[[Категория:Логаритми| ]]