Преглед на кода на Конволюция

{{без източници}}
'''Конволюция''' (от лат. ''convolutus'', pp. от ''convolvere'' – оплитам, усуквам) между две функции се нарича интегралът

:<math>s(t) = f(t)*g(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau){\rm d}\tau</math>,

където <math>f\,</math> и <math>g\,</math> са функции, интегрируеми в интервала <math>\{+\infty,-\infty\}</math>, а знакът <math>*\,</math> бележи конволюция.

Конволюцията се среща често, когато се използва [[преобразование на Фурие]], тъй като при преобразование на Фурие произведението на две функции се трансформира в конволюция на индивидуалните трансформации на двете функции. С други думи ако <math>\hat f\,</math> и <math>\hat g\,</math> образите на функциите <math>f\,</math> и <math>g\,</math>, то за трансформацията на тяхното произведение е в сила следното равенство

:<math>\widehat{f\cdot g}=\hat f * \hat g.</math>

Конволюцията може да бъде както между функции на една променлива, така и между функции на няколко променливи. Тогава за всяка променлива <math>\tau_i\,</math> се въвежда съответно отместване <math>t_i\,</math> и се интегрира по всяка променлива <math>{\rm d}\tau_i\,</math>. Например за функции на две променливи пълната конволюция е

:<math>f(x,y)*g(x,y) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-\xi,y-\zeta)g(\xi,\zeta){\rm d}\xi{\rm d}\zeta</math>

== Интерпретация ==
[[Файл:Convolucion_Funcion_Pi.gif|дясно|Конволюция на две правоъгълни функции]]

За интуитивно разбиране на същността на конволюцията помага следната интерпретация. Едната функция, например <math>f\,</math> се инвертира (<math>f(x) \rightarrow f(-x)</math>) и се отмества спрямо другата на отстояние <math>t\,</math> и се изчислява определения [[интеграл]] от произведението между отместената и неотместената функция. Резултатът е стойността на конволюцията за даденото отместване между двете функции. За различна стойност на отместването <math>t\,</math> конволюцията има различна стойност, т.е. конволюцията е функция на отместването.

На графиката е дадена за пример конволюцията между две правоъгълни функции, зададени чрез

:<math>f(t)=g(t)=\begin{cases}1\quad t\in[-0,5;0,5]\\0\quad t\notin[-0,5;0,5]\end{cases}.</math>

Когато отместването между двете функции е под -1 интервалите, в които те са с ненулева стойност, не се застъпват, следователно произведението им е равно на 0 и интегралът също има стойност 0. Когато отместването стане -1 интервалите, в които функциите имат ненулева стойност се застъпват и стойността на конволюцията започва да расте. В жълто е оцветено застъпването между двете функции. Стойността на конволюцията е равна на площта на оцветената в жълто област. Когато отместването стане равно на [[нула]] интегралът придобива максималната стойност, равна на 1. От там насетне стойността му намалява до нула за отместване 1. За по-големи отмествания стойността на конволюцията е 0.

== Свойства на конволюцията ==
;[[Комутативност]]
:<math>f * g = g * f \,</math>
;[[Асоциативност]]
:<math>f*(g*h)=(f*g)*h \,</math>
;[[Дистрибутивност]]
:<math>f*(g+h)=f*g+f*h \,</math>
; Асоциативност със скаларен параметър
:<math>a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,</math>

Ако <math>\delta\,</math> импулсната функция на Дирак, която се дефинира като

:<math>\delta(t)=\begin{cases}\infty\ &t=0\\0&t\neq0\end{cases}\quad;\quad
\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(t){\rm d}t=1,</math>

в сила е следното равенство

:<math>f*\delta = f\,</math>

== Приложения ==
Конволюцията намира приложение в много математически, инженерни и физични задачи.

* В теорията на линейните системи изходният сигнал на линейна инвариантна система може да бъде описан като конволюция между входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Импулсна характеристика се нарича изходният сигнал на системата, ако входният сигнал е безкрайно кратък импулс.
* В оптиката ако предмет хвърля сянка върху екран, формата на сянката може да се представи като конволюция между формата на източника на светлина и формата на предмета. В този случай конволюцията се дефинира в две измерения.
* При цифрова обработката на изображения конволюцията се използва в [[Алгоритъм|алгоритми]] за намиране на контурите на обекти.

[[Категория:Математически анализ]]
[[Категория:Обработка на изображения]]