Преглед на кода на Ковектор

Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.
== Трансформация между координатни системи ==
От информацията за вектори знаем че [[вектор]]ът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното [[Евклидово пространство]].

:'''А'''(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).
:<math>\vec A=a1. \vec e1+ a2. \vec e2 + a3. \vec e3</math>
:Можем да запишем горното равенство за по-просто:
:<math>A= a1 e_1+ a2 e_2 + a3 e_3</math>
:(е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.

:Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3'), то координатите на вектора ще се променят съответно в '''А' '''(а1', а2', а3').

Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.

Нека да е зададена тримерна координатна система '''K''' с [[Линейна независимост|линейно независими]] вектори <math>(e_1, e_2, e_3)</math>
търсим ново представяне спрямо различна координатна система '''K'''' представена с линейно независими вектори <math> (\bar e_1, \bar e_2, \bar e_3) </math>.
Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.

Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:

:<math> A(a^1, a^2, a^3)</math> – Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре – за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.
:<math>A  = a^1 e_1 + a^2 e_2 + a^3 e_3 = \sum_{i=1}^3 a^i e_i</math>

:В системата К'
:<math>\bar A  = \bar a^1 \bar e_1 + \bar a^2 \bar e_2 + \bar a^3 \bar e_3 = \sum_{i=1}^3 \bar a^i \bar e_i</math>

Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:

:<math>\bar e_1=S_1^1 e_1 + S_1^2 e_2 + S_1^3 e_3</math>
:<math>\bar e_2=S_2^1 e_1 + S_2^2 e_2 + S_2^3 e_3</math>
:<math>\bar e_3=S_3^1 e_1 + S_3^2 e_2 + S_3^3 e_3</math>

Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'.
Скаларната матрица <math>S_i^j</math> определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включително базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.

По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:

:<math>e_1=T_1^1 \bar e_1 + T_1^2 \bar e_2 + T_1^3 \bar e_3</math>
:<math>e_2=T_2^1 \bar e_1 + T_2^2 \bar e_2 + T_2^3 \bar e_3</math>
:<math>e_3=T_3^1 \bar e_1 + T_3^2 \bar e_2 + T_3^3 \bar e_3</math>

Матрицата <math>T_i^j</math> ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.

Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:

<math>\bar e_i =  S_i^1 e_1 + S_i^2 e_2 + S_i^3 e_3 = \sum_{j=1}^3 S_i^j e_j</math>

<math>e_i =  T_i^1 \bar e_1 + T_i^2 \bar e_2 + T_i^3 \bar e_3 =\sum_{j=1}^j T_i^j \bar e_j </math>

[[(2.1)]]
 <math>\bar e_i = \sum_{j=1}^3    S_i^j e_j </math>
 <math>e_i =      \sum_{j=1}^3       T_i^j \bar e_j </math>

Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3)
<math>
\vec A= a1 e_1 + a2 e_2 + a3 e_3  = \sum_{i=1}^3 ai e_i </math>

<math>e_i = T_i^1 \bar e_1 + T_i^2 \bar e_2 + T_i^3 \bar e_3</math>

<math>\vec A = \sum_{i=1}^3 ai e_i= \sum_{i=1}^3 ai   (T_i^1 \bar e_1 + T_i^2 \bar e_2 + T_i^3 \bar e_3) \bar e_j = \sum_{i=1}^3 ai \sum_{j=1}^3 T_i^j \bar e_j</math>

<math>= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 ai T_i^j \bar e_j = \sum_{j=1}^3 \sum_{i=1}^3 T_i^j ai \bar e_j = \sum_{j=1}^3 (\sum_{i=1}^3 T_i^j ai) \bar e_j </math>

Полагаме:
<math>\bar aj = \sum_{i=1}^3 T_i^j ai \bar e_j </math>

И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:

<math> A= \sum_{i=1}^3 ai e_i = \sum_{j=1}^3 \bar aj \bar e_j </math>

Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:

<math> A= \sum_{i=1}^3 a^i e_i = \sum_{j=1}^3 \bar a^j \bar e_j </math>

Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.

В сила са следните трансформационни правила:

[[(2.2)]]
 <math>\bar a^j = \sum_{i=1}^3 T_i^j a^i \bar e_j </math>

 <math>a^i = \sum_{j=1}^3 S_j^i a^j \bar e_j </math>
-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.

== Матрици ==
<math>\begin{Vmatrix}\bar a^1 \\ \bar a^2\\ \bar a^3 \end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} T_1^1 & T_1^2& T_1^3 \\ T_2^1& T_2^2 &T_2^3 \\ T_3^1 &T_3^2 & T_3^3 &\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} a^1 \\ a^2 \\ a^3 \end{Vmatrix}</math>

<math>\begin{Vmatrix} a^1 \\ a^2 \\ a^3 \end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} S_1^1 & S_1^2& S_1^3 \\ S_2^1& S_2^2 &S_2^3 \\ S_3^1 &S_3^2 & S_3^3 &\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix}\bar a^1 \\ \bar a^2\\ \bar a^3 \end{Vmatrix}</math>

Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:

:<math> \bar A = T A </math>
:<math>A= S \bar A</math>

:<math>S = T^{-1}</math>

За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:
:<math>\begin{Vmatrix}\bar e_1 \\ \bar e_2\\ \bar e_3 \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} S_1^1 & S_1^2& S_1^3 \\ S_2^1& S_2^2 &S_2^3 \\ S_3^1 &S_3^2 & S_3^3 &\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} e_1 \\ e_2\\ e_3 \end{Vmatrix}</math>

: В съкратена матрична форма:
:<math>\bar E =\begin{Vmatrix}\bar e_1 \\ \bar e_2\\ \bar e_3 \end{Vmatrix} \qquad</math><math>E=\begin{Vmatrix} e_1 \\ e_2\\ e_3 \end{Vmatrix} \qquad</math><math>S= \begin{Vmatrix} S_1^1 & S_1^2& S_1^3 \\ S_2^1& S_2^2 &S_2^3 \\ S_3^1 &S_3^2 & S_3^3 &\end{Vmatrix}</math>

:<math>\bar E = S E</math>
:<math>E=T \bar E</math>

Сега вече можем да дадем дефиниция:

== Дефиниция ==
Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3), за който са сила трансформационните правила:
:<math>\bar a^j = \sum_{i=1}^3 T_i^j a^i \bar e_j </math>
:<math>a^i = \sum_{j=1}^3 S_j^i a^j \bar e_j </math>

Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите.
Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното:
Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна [[конверсия]].

== Вижте също ==
* [[Метричен тензор]]
* [[Обща теория на относителността]]

== Източници ==
* Английската и руската версии на Уикипедия
* „Теоретическа физика“ – Л.Д.Ландау, Лифшиц

* [http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100626102357/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf |date=2010-06-26 }}, released by [[NASA]]
* [http://arxiv.org/abs/math.HO/0403252 A Quick Introduction to Tensor Analysis] by R. A. Sharipov.

[[Категория:Алгебра]]