Преглед на кода на Граница (математика)

{{към пояснение|Граница|Граница}}

'''Граница''' в [[математика]]та е стойността, до която дадена [[функция]] или [[числова редица]] се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност.<ref>Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.</ref> Границите са важна част от [[Математически анализ|математическия анализ]] и се използват за определяне на [[непрекъснатост]], [[Производна|производни]] и [[интеграл]]и.

Формулата за граница на функция обикновено се записва по следния начин:
:<math> \lim_{x \to c} f(x) = L </math>,
и се чете: границата на {{math|''f''}} от {{math|''x''}}, когато {{math|''x''}} се доближава до {{math|''c''}}, е равна на {{math|''L''}}. Фактът, че функцията {{math|''f''}} се доближава до лимита {{math|''L''}}, когато {{math|''x''}} се доближава до {{math|''c''}}, понякога се записва със стрелка, например:
:<math>f(x) \to L \text{ as } x \to c.</math>

== Граница на функция ==
{{Основна|Граница на функция}}
{{Double image|right|Límite 01.svg|{{#expr: (200 * (800 / 800)) round 0}}|Limit-at-infinity-graph.png|{{#expr: (200 * (619 / 405)) round 0}}|Винаги, когато точка {{math|''x''}} е в {{math|δ}} от {{math|''c''}}, {{math|''f''(''x'')}} е в {{math|ε}} единици от {{math|''L''}}.|За всяко {{math|''x'' > ''S''}}, {{math|''f''(''x'')}} е в {{math|ε}} на {{math|''L''}}.}}

Нека <math>f</math> да е реална функция, а <math>c</math> – [[реално число]]. Интуитивно, записът

<math>\lim_{x \to c}f(x) = L </math>

означава, че <math>f(x)</math> може да бъде много близо до <math>L</math>, като доближим <math>x</math> достатъчно близо до <math>c</math>. В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „границата на <math>f</math>от <math>x</math>, когато <math>x</math> клони към <math>c</math>, е <math>L</math>“.

През 1821 г. [[Огюстен Луи Коши]], следван от [[Карл Вайерщрас]], формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като [[(ε, δ)-дефиниция на граница]]. Дефиницията използва [[Епсилон|ε]] (малка буква ''епсилон'' в [[Гръцка азбука|гръцката азбука]]), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „<math>f(x)</math>да се доближи до <math>L</math>“ да означава, че <math>f(x)</math>лежи в интервала <math>(L-\epsilon, L+\epsilon)</math>, което може да се запише и със знака за [[абсолютна стойност]] – <math>|f(x)-L| < \epsilon</math><ref>Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.</ref>. Тогава изказът „когато <math>x</math> клони към <math>c</math>“ индикира, че се отнасяме към стойностите на <math>x</math>, чието разстояние от <math>c</math> е по-малко от някое положително число [[Делта|δ]] (малка буква ''делта'' от гръцката азбука), т.е. стойностите на <math>x</math> при <math>(c-\delta, c)</math> или <math>(c,c + \delta)</math>, може да се изрази с <math>0 < |x-c| < \delta</math>. Първото неравенство означава, че разстоянието между <math>x</math> и <math>c</math> е по-голямо от <math>0</math> и, че <math>x \neq c</math>, а следващото неравенство показва, че <math>x</math> е на разстояние <math>\delta</math> от <math>c</math>.

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако <math>f(c) \neq L</math>. Функцията <math>f</math> не е необходимо да бъде дефинирана при <math>c</math>.

Например, ако

<math>f(x) = {x^2-1\over x-1}</math>

то тогава <math>f(1)</math> не е дефинирана (виж [[делене на нула]]), но когато <math>x</math> се доближава до 1, <math>f(x)</math> се доближава до 2:
{| class="wikitable"
|''f''(0.9)||''f''(0.99)||''f''(0.999)|| ''f''(1.0) ||''f''(1.001)||''f''(1.01)||''f''(1.1)
|-
| 1.900 || 1.990 || 1.999 || ⇒ недефинирана ⇐ || 2.001 || 2.010 || 2.100
|}

:

[[Файл:Sinc_function.png|мини|Функцията sin''x''/''x'']]

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

<math>\frac{\sin x}{x}</math>

за <math>x = 0</math> води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на <math>x</math>, близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x) = 1</math>.

[[Файл:Tan.svg|мини|Функцията tg ''x'']]

=== Лява и дясна граница на функция ===
В много случаи независимата променлива ''х'' клони към ''х''<sub>0</sub> чрез растящи редици от стойности, т.е. ''отляво'', или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. ''отдясно''. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък, или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

<math>\lim_{ x \rightarrow x_0-}f(x)</math> за лява граница и

<math>\lim_{ x \rightarrow x_0+}f(x)</math> за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията <math>tgx</math> при <math>x</math>, клонящо към <math>90^\circ</math>, са съответно <math>+\infty; -\infty</math>.

=== Неистинска граница на функция ===
Казва се, че функцията <math>f(x)</math> има неистинска граница <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>, ако за всяко произволно голямо число <math>C>0</math> съществува такова число <math>\delta (''C'') > 0</math>, че за всички <math>x</math>, за които <math>0 < |x - a| < \delta</math>, е изпълнено неравенството <math>f(x)>C</math>, съответно ''f''(''x'') < -''C''<math>f(x) < -C</math>. Означава се:

:<math>\lim_{ x \rightarrow a} f(x) = + \infty; </math>, <math>\lim_{ x \rightarrow a} f(x) = -\infty</math>.

=== Поведение на функциите в безкрайността ===
Поведението на дадена функция <math>f(x)</math>за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента <math>x</math> се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

:<math>\lim_{ x \rightarrow \infty} f(x) = A,</math> и съответно <math>\lim_{ x \rightarrow -\infty} f(x) = A,</math>

ако за произволно отнапред дадено <math>\epsilon > 0</math>съществува такова достатъчно голямо <math>x_0 > 0</math>, че <math>|f(x)-A| < \epsilon</math> за всички <math>x > x_0</math> или съответно за всички <math>x < -x_0</math>.

=== Основни теореми ===
Границите на съставни функции могат да се изчисляват въз основа на няколко теореми, свързващи границите на съставната функция с границите на съставляващите я функции. Така ако функциите <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имат граница при <math>x\to a</math>, то:
: Теорема 1: <math>\lim_{x\to a}\left [ f(x)\pm g(x)\right ] =\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x)</math>
: Теорема 2: <math>\lim_{x\to a}\left [f(x)\ .g(x)\right ] =\lim_{x\to a} f(x)\ .\lim_{x\to a}g(x)</math>
: Теорема 3: <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}</math> където <math>g(x)\neq 0</math>.
: Следствие 1: <math>\lim_{x\to a}\left [k\ .f(x)\right ]=k\ .\lim_{x\to a}f(x)</math>, където <math>k</math> е [[константа]].
: Следствие 2: <math>\lim_{x\to a}{\left [ f(x)\right ]}^n={\left [ \lim_{x\to a}f(x)\right ]}^n</math>, където <math>n</math> е цяло положително число

При тези изчисления границите на съставната функция могат да бъдат неопределени, при което са възможни няколко вида неопределеност (недефинирано аритметично действие):
* Неопределеност от вида <math>\ \frac{0}{0}\ </math>: Тя се получава от Теорема 3, ако <math>\lim_{x\to a}f(x)=0</math> и <math>\lim_{x\to a}g(x)=0</math>.
* Неопределеност от вида <math>\ \frac{\infty}{\infty}\ </math>: Тя се получава от Теорема 3, ако <math>\lim_{x\to a}f(x)=\infty</math> и <math>\lim_{x\to a}g(x)=\infty</math>.
* Неопределеност от вида <math>\ \infty-\infty\ </math>: Тя се получава от Теорема 1, ако <math>\lim_{x\to a}f(x)=+\infty</math> и <math>\lim_{x\to a}g(x)=+\infty</math>, то: <math>\lim_{x\to a}\left [ f(x)+g(x)\right ]=+\infty</math>, но <math>\lim_{x\to a}\left[ f(x)-g(x)\right]</math> може както да съществува, така и да не съществува.
* Неопределеност от вида <math>0\ . \infty</math>: Тя се получава от Теорема 2, ако <math>\lim_{x\to a}f(x)=0</math> и <math>\lim_{x\to a}g(x)=\infty</math>

== Граница на числова редица ==
'''Граница''' на дадена [[числова редица]] <math>(a_n)</math> е число <math>l</math> точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число <math>\epsilon > 0</math> може да се намери такова число ''N''(ε), че всички членове ''а''<sub>''n''</sub> на редицата с номера ''n'' > ''N''(ε) да попадат в интервала (''l'' – ε, ''l'' + ε), т.е. да е изпълнено |''a''<sub>''n''</sub> – ''l''| < ε за всички ''n'' > ''N''(ε).

:<math> \lim_{n \to \infty} a_n = l.</math>

С формализма на [[Математическа логика|математическата логика]] това се записва по следния начин:

:<math>\forall \epsilon > 0, \exists N (\epsilon) \in \mathbb{N}\, : \, \forall n > N (\epsilon), \|a_n -l\| < \epsilon. </math>

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число <math>l</math> е граница на числовата редица <math>(a_n)</math>, ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът <math>(l-\epsilon, l+\epsilon)</math> за произволно <math>\epsilon > 0</math>) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича '''сходяща'''. В противен случай тя е '''разходяща'''. Понякога сходяща числова редица с граница [[нула]] се нарича нулева или '''безкрайно малка редица'''.

Например границата на редицата

:<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...</math>

при ''n'', клонящо към [[безкрайност]] (бележи се ''n'' → ∞), е 0, тъй като колкото повече
''n'' расте, толкова повече <math> \frac{1}{n}</math> намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата <math>1,-1,1,...,(-1)^{n-1},...</math> няма граница, понеже има две [[точка на сгъстяване|точки на сгъстяване]]: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието „Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой“, понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно [[Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)|теоремата на Болцано – Вайерщрас]] съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

=== Свойства на границите на редици ===
* Ако редиците (''a''<sub>''n''</sub>), (''b''<sub>''n''</sub>) и (''c''<sub>''n''</sub>) са сходящи и клонят съответно към ''a, b, c'', то

:<math>\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n.</math>

:<math>\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n.</math>

:<math>\lim_{n \to \infty} (a_n . b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n . \lim_{n \to \infty} b_n.</math>

:<math>\lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n} = \frac {\lim_{n \to \infty} a_n } { \lim_{n \to \infty} b_n}.</math>

за b<sub>n</sub> ≠ 0 и <math>\lim_{n \to \infty} b_n</math> ≠ 0.

:<math>\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n </math> за ''c'' = const.

:<math>\lim_{n \to \infty} (c_1a_n + c_2b_n) = c_1 \lim_{n \to \infty} a_n + c_2 \lim_{n \to \infty} b_n</math>

при ''с''<sub>1</sub> = const, ''c''<sub>2</sub> = const.

:<math>\lim_{n \to \infty} \log_b a_n = log_b a</math> при ''b'' > 0, ''a'' > 0, ''b'' ≠ 1.

:<math>\lim_{n \to \infty} {a_n}^p = a^p</math> при ''а'' > 0 и произволно ''р''.

=== Основни теореми за граници на редици ===
* Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
* Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
* Ако за всички членове на сходящата редица (''а''<sub>''n''</sub>) при <math>n \ge n_0</math> са изпълнени неравенствата <math>A \le a_n \le B,</math> то тези неравенства са изпълнени и за границата ''а'' на редицата: <math>A \le a \le B.</math>
* Ако <math> a_n, b_n, c_n</math> са три сходящи редици, такива че <math> \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} c_n=d</math> и <math>a_h\le b_h\le c_h</math><math>\forall h</math>, то <math>\lim_{n\to \infty} b_n=d</math>.

== Вижте също ==
* [[Функция]]
* [[Математически анализ]]
* [[Сходимост]]
* [[Редица на Коши]]
* [[Граница на функция]]

== Източници ==
<references />
{{Превод от|en|Limit (mathematics)|880048750}}

[[Категория:Математически анализ]]