Преглед на кода на Генерация на втора хармонична

{{без източници}}
[[Файл:SHG.png|мини]] '''Генерация на втора хармонична''' (ГВХ) или наричана още '''удвояване на честотата''' е [[нелинейна оптика|нелинейно оптичен процес]], при който [[фотон]]ите взаимодействащи с нелинейната среда се преобразуват във фотони с два пъти по-голяма енергия. На честотен език това означава, че електромагнитно лъчение с честота <math>\omega</math> се преобразува в лъчение с честота 2<math>\omega</math>. Ако предпочитаме да ползваме [[дължина на вълната]] за описание на този процес то следва, че при генерацията на втора хармонична, лъчение с дължина на вълната <math>\lambda</math> се преобразува в лъчение с двойно по-малка дължина на вълната <math>\lambda</math>/2. Английският термин за този нелинейно оптичен процесс е Second harmonic generation (SHG).

== Описание на генерацията на втора хармонична ==
Да разгледаме процеса на генерация на втора хармонична, при който част от основното лъчение се преобразува в лъчение с втора хармонична честота. Общото поле '''''E''''' в нелинейната среда е сума от двете полета: полето на основната (входна) честота <math>\omega_1</math>

:<math> E_1(t,z) = \frac{1}{2}[A_1 e^{i (\omega_1 t-k_1 z)} + A_1^* e^{-i (\omega_1 t-k_1 z)}]</math>,

и полето на втората хармонична с честота <math>\omega_2</math>=2<math>\omega_1</math>

:<math> E_2(t,z) = \frac{1}{2}[A_2 e^{i (\omega_2 t-k_2 z)} + A_2^* e^{-i (\omega_2 t-k_2 z)}]</math>,

като в дадения случай сме пренебрегнали наличието на други полета в средата смятайки ги за слаби.

[[Поляризация (диелектрици)|поляризацията]] на средата '''''P''''' трепти на много честоти <math>\omega_1</math>, 2<math>\omega_1</math>, 3<math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math>, 2<math>\omega_2</math>, <math>\omega_1+\omega_2</math> и т.н., но ние ще търсим само тази компонента на поляризацията, която трепти на честотата на втората хармонична. Тя има вида:

:<math>
P_{NL} (2\omega_1)= \varepsilon_0 \chi^{(2)} {(E_1+E_2)^2} = \frac{\varepsilon_0 }{4}\chi^{(2)} A_1^2 e^{i (2\omega_1 t-2k_1 z)}</math>,

където <math>{\chi^{(2)}}</math> e квадратичната нелинейна възприемчивост, която в най-общ вид е тензор от трети ранг. Видът на този тензор (ненулевите компоненти и съотношенията между тях) зависи от точковата група на симетрия на нелинейната среда.

[[Вълново уравнение|Вълновото уравнение]] на честотата 2<math>\omega_1</math> в приближение на бавно изменяща се амплитуда на плоски вълни и при пренебрегване на евентуални загуби е:

:<math>i k_2\frac{d A_2}{d z} e^{i (\omega_2 t-k_2 z)} =\frac{(2\omega_1)^2}{\varepsilon_0 c^2} P(2\omega_1)</math>.

Като заместим израза за поляризацията <math> P_{NL}(2\omega_1)</math> получаваме

:<math>\frac{d A_2}{d z} =-i \frac{\omega_1 d_{eff} }{ c n_2} A_1^2 e^{i \Delta k z}</math>,

където <math>\Delta k = k_2-2k_1 </math>, a

:<math>d_{eff}= \frac{1}{2} \left\langle e_2 \chi^{(2)} e_1 e_1 \right\rangle</math>

е [[конволюция]] на тензора <math>\chi^{(2)}</math> с поляризационните вектори на трите вълни (двете основни и втората хармонична). T. e. <math> d_{eff}</math> е константа зависеща, както от посоката на разпространение на основната вълна и вълната на втората хармонична, така и от вида на вълните – дали са обикновени или необикновени (за подробен извод вижте F. Zernike, J.E. Midvinter, Applied Nonlinear Optics, 1973).

При метода на [[фазов синхронизъм|квазифазов синхронизъм]] (QPM) често и двете вълни основната и втората хармонична са поляризирани по оста Z (т.е те са необикновени) и тогава

:<math>d_{eff}= \frac{2}{\pi m} d_{zzz}= \frac{2}{\pi m} d_{33}</math>,

където <math> m </math> е порядъкът на квазифазов синхронизъм. За предпочитане е да се работи с <math> m =1 </math>, когато ефективността на преобразуване във втора хармонична ще е най-голяма.

При ниски коефициенти на преобразуване, <math>A_2(z)<<A_1(z)</math>, амплитидата на основната вълна <math>A_1(z)</math> e практически константа по цялата дължина на взаимодействие, <math>L</math>. Тогава при начални условия <math>A_2(z=0)=0</math> се получава:

<math>A_2(L)=-\frac{i\omega_1 d_{eff}}{n_{2\omega}c}A_1^2\int_0^L{e^{i\Delta k z}}=-\frac{i\omega_1 d_{eff} }{n_{2\omega}c}A_1^2L\frac{\sin{\Delta k L/2}}{\Delta k L/2}e^{i\Delta k L/2}</math>.

Или изразено чрез интензитетите на двете вълни, <math>I=\frac{n\epsilon_0 c}{2}|A|^2</math> стигаме до

<math>I(2\omega,L)=\frac{2\omega^2d^2_{eff}}{n_{2\omega}n_{\omega}^2c^3\epsilon_0}\left(\frac{\sin{(\Delta k L/2)}}{\Delta k L/2}\right)^2I^2(\omega)L^2</math>.

Интензитетът на втората хармонична става максимален, когато имаме [[фазов синхронизъм]] (ФС), а именно когато <math>\Delta k=0</math>. Ако процесът не е синхронен (без фазов синхронизъм) поляризацията на удвоената честота <math>2\omega_1</math> е ту във [[фаза (вълни)|фаза]], ту в противофаза спрямо генерираната втора хармонична <math> A_2(z)</math> и ефективността осцилира като <math>\sin{(\Delta k L/2)}^2</math>. Кохерентната дължина на тези осцилации се дефинира по този начин <math>L_{coh}=\pi/\Delta k</math>. Ако не се вземат специални мерки да се получи фазов синхронизъм, <math>L_{coh}</math> e от порядъка на няколко микрометра, ефективността е много ниска и дължината на кристала не играе никакво значение в този случай. За добра ефективност на процеса на ГВХ е необходимо постигането на фазов синхронизъм. Известните методи за получаване на фазов синхронизъм са [[фазов синхронизъм|методът на двулъчепречупването за ФС]] и [[фазов синхронизъм|методът на квазифазов синхронизъм]].

== За по задълбочено запознаване ==
''Книги'':

* Robert W. Boyd, Nonlinear optics, Chapter 2, Second edition, Academic press, (2003).

* F. Zernike, J.E. Midvinter, Applied Nonlinear Optics, New-York, John Wiley, (1973).

* ''Генерация на втора хармонична на лазерно лъчение'' в „Практикум по квантова електроника и лазерна техника“. Автори: Г. Георгиев, С. Салтиел, 3-то издание. Издател: ИК „Св. Климент Охридски“, 2004 г. ISBN 954-07-1971-2

''Други източници'':

* {{cite web |url=http://www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/UltrafastOptics/lectures/UFO08Second-ordereffects.ppt |title=UFO08Second-ordereffects |work=Лекция от курса по Нелинейна оптика (R. Trebino) |4= }}{{Dead link|date=февруари 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

* {{cite web|url=http://www.rp-photonics.com/frequency_doubling.html |title=Frequency doubling|work= Encyclopedia of laser physics and technology |}}

[[Категория:Нелинейна оптика]]