Преглед на кода на Векторно произведение

{{без източници}}

'''Векторното произведение на два вектора''' <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> е [[вектор]], перпендикулярен на равнината, определена от векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>, образува [[правило на дясната ръка|дясна тройка]] с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и [[Синус (математика)|синуса]] на [[ъгъл]]а между тях.

Ъгълът между два [[вектор]]а приема стойности от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math>, следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):

<math>\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert=\Vert\mathbf{a}\Vert \Vert\mathbf{b}\Vert \sin\sphericalangle(\mathbf{a}; \ \mathbf{b})</math>

Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:

<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Vert\mathbf{a}\Vert \Vert\mathbf{b}\Vert \sin\sphericalangle(\mathbf{a}; \ \mathbf{b}) \ \mathbf{\hat{n}}</math>

като тук <math>\mathbf{\hat{n}}=\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert}</math>.

[[Файл:Cross product vector.svg|мини|дясно|Векторното произведение на <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> ]]

Ако са нанесени векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> с общо начало, то директрисата на вектора <math>(\mathbf{a} \times \mathbf{b})</math> минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>. Посоката на вектора се определя с правилото <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{a} \times \mathbf{b})</math> да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

== Аналитично представяне ==
Ако векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> са зададени с координатите си <math>\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)</math> и <math>\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)</math> в тримерното пространство и <math>\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}</math> са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right)</math>.

По-подробно горната формула изглежда така:
<math>\begin{align}\mathbf{a}\times\mathbf{b}& =\mathbf{i}\ \mathrm{det}\left(\begin{matrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3\end{matrix}\right)-
\mathbf{j}\ \mathrm{det}\left(\begin{matrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3\end{matrix}\right)+\mathbf{k}\ \mathrm{det}\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{matrix}\right)\\ & =\mathbf{i}(a_2 b_3-a_3 b_2)-\mathbf{j}(a_1 b_3-a_3 b_1)+\mathbf{k}(a_1 b_2-a_2 b_1)\end{align}</math>

== Свойства ==
* '''''Антикомутативност:''''' <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}</math>

Доказателство:

<math>\begin{align}\mathbf{a} \times \mathbf{b} & =\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right)\\ &=-\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix}\right)\\ & =-\mathbf{b}\times\mathbf{a}\end{align}</math>

* '''''Дистрибутивност:''''' <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}</math>

Доказателство:

Тъй като <math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1, \ a_2+b_2, \ a_3+b_3)</math>, то:

<math>\begin{align}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}& = \mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ {a_1+b_1} & {a_2+b_2} & {a_3+b_3} \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right)\\ & =\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right)+\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right)\\ &=\mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}\end{align}</math>

* '''''Линейност:''''' <math>(\lambda\mathbf{a})\times(\mu\mathbf{b})=\lambda\mu(\mathbf{a}\times\mathbf{b})</math> за произволни реални числа <math>\lambda</math> и <math>\mu</math>.

Доказателство:

Понеже <math>\lambda\mathbf{a}=(\lambda a_1, \ \lambda a_2, \ \lambda a_3)</math> и <math>\mu\mathbf{b}=(\mu b_1, \ \mu b_2, \ \mu b_3)</math>, то:

<math>\begin{align}(\lambda\mathbf{a})\times(\mu\mathbf{b})& =\mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \lambda a_1 & \lambda a_2 & \lambda a_3 \\ \mu b_1 & \mu
 b_2 & \mu b_3 \end{matrix}\right)\\ &=\lambda\mu\ \mathrm{det}\left(\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{matrix}\right)\\ & =\lambda\mu(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\end{align}</math>

* Ако <math>\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}</math>, то <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}</math>

Доказателство:

Щом <math>\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}</math>, то <math>\sphericalangle(\mathbf{a}, \ \mathbf{b})=0^\circ</math>, откъдето следва, че

<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Vert\mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert \sin 0^\circ \ \mathbf{\hat{n}}=\mathbf{0}</math>

== Пресмятане на векторното произведение ==
[[Файл:3D Vector.svg|300px|мини|дясно|]]
Нека <math>\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}</math> са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

<math>\begin{align}\boldsymbol{\mathrm{i}}\times\boldsymbol{\mathrm{j}}=\boldsymbol{\mathrm{k}} \\ \boldsymbol{\mathrm{j}}\times\boldsymbol{\mathrm{k}}=\boldsymbol{\mathrm{i}} \\ \boldsymbol{\mathrm{k}}\times\boldsymbol{\mathrm{i}}=\boldsymbol{\mathrm{j}}\end{align}</math>.

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

<math>\begin{align}\boldsymbol{\mathrm{j}}\times\boldsymbol{\mathrm{i}}=-\boldsymbol{\mathrm{k}} \\ \boldsymbol{\mathrm{k}}\times\boldsymbol{\mathrm{j}}=-\boldsymbol{\mathrm{i}} \\ \boldsymbol{\mathrm{i}}\times\boldsymbol{\mathrm{k}}=-\boldsymbol{\mathrm{j}}\end{align}</math>.

Освен това лесно може да се покаже, че <math>\mathbf{i}\times\mathbf{i} = \mathbf{j}\times\mathbf{j} = \mathbf{k}\times\mathbf{k} = \mathbf{0}</math> (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).

С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>.

Понеже
:<math>\begin{alignat}{3}
  \mathbf{a} &= a_1\mathbf{i} &&+ a_2\mathbf{j} &&+ a_3\mathbf{k} \\
  \mathbf{b} &= b_1\mathbf{i} &&+ b_2\mathbf{j} &&+ b_3\mathbf{k}
\end{alignat}</math>

то векторното произведение <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math> ще бъде равно на:
:<math> \begin{align}
 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = {} &(a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times (b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k})\\
                            = {} &a_1b_1(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + a_1b_2(\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + a_1b_3(\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + {}\\
                                 &a_2b_1(\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + a_2b_2(\mathbf{j} \times \mathbf{j}) + a_2b_3(\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + {}\\
                                 &a_3b_1(\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + a_3b_2(\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + a_3b_3(\mathbf{k} \times \mathbf{k})\\

= {}
 &\ a_1b_1\mathbf{0} + a_1b_2\mathbf{k} - a_1b_3\mathbf{j}\ -\\
                                 &a_2b_1\mathbf{k} + a_2b_2\mathbf{0} + a_2b_3\mathbf{i}\ +\\
                                 &a_3b_1\mathbf{j}\ - a_3b_2\mathbf{i}\ + a_3b_3\mathbf{0} \\
                            = {} &(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}\\
\end{align}</math>

== Геометрично тълкуване ==
[[Файл:Cross product parallelogram.svg|мини|дясно]]

Нека с <math>S</math> бележим лицето на успоредника и нека <math>\theta</math> е ъгълът, заключен между <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math>. Тогава:

<math>S=\Vert\mathbf{a}\Vert \Vert\mathbf{b}\Vert \sin\theta=\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert</math>

== Приложение ==
* В [[Аналитична геометрия|аналитичната геометрия]]: Пресмятане на лице на [[успоредник]] и лице на триъгълник;
* В [[механика]]та: пресмятане на момент на сила, [[Момент на сила|въртящ момент]];
* В [[Механика на непрекъснатите среди|механиката на непрекъснатите среди]] (електро -, аеро – и хидродинамика): пресмятане на ротацията на [[векторно поле]].

[[Категория:Линейна алгебра]]
[[Категория:Аналитична геометрия]]
[[Категория:Векторен анализ]]