Преглед на кода на Аналитична функция

В [[математика]]та под '''аналитична функция''' се разбира [[функция]], която е зададена локално със сходящ [[степенен ред]]. Аналитичните функции представляват своеобразно обобщение на полиномите. Прави се разлика между '''аналитична функция на реална променлива''' и '''аналитична функция на комплексна променлива''' ([[холоморфна функция]]). Макар че и двата вида имат някои общи свойства (например диференцируемост), холоморфните функции притежават допълнителни свойства, които липсват при аналитичните функции на реална променлива.

== Определение ==
Една функция е '''реална аналитична''' в отвореното множество ''D'' от реалната права, ако за всяка точка <math>x_0\in D</math> е възможно представяне по следния начин:

:<math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots{,}
</math>

където коефициентите ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ... са реални числа и [[степенен ред|степенният ред]] е сходящ за всяко ''x'' в [[околност]] на ''x''<sub>0</sub>.

Казано по друг начин, аналитична функция е [[безкрайно диференцируема функция]] в ''D'', чиито [[ред на Тейлър|тейлъров ред]] във всяка точка ''x''<sub>0</sub> в ''D''
:<math>
T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}
</math>
е сходящ за всяко ''x'' в околност на ''x''<sub>0</sub> и е равен на ''f''(''x'').

Определението за ''комплексна аналитична функция'' се получава като заменим ''реална права'' с ''комплексна равнина'' в горните редове.

== Примери ==
* Всеки комплексен полином (от степен ''n'') е аналитичен. Това се дължи на факта, че коефициентите пред членовете от степен по-висока от ''n'' са нули и полиномът съвпада с тейлоровия си ред.

* [[Показателна функция|Показателната функция]] е аналитична, защото нейният тейлоров ред е сходящ навсякъде в дефиниционната ѝ област.

* [[тригонометрични функции|Тригонометричните функции]], [[логаритъм]]ът, и [[степенна функция|степенната функция]] са аналитични във всяко отворено подмножество на дефиниционната си област.

* Функцията [[абсолютна стойност]] върху реалната права или комплексната равнина не е аналитична, понеже не е диференцируема в 0.

* Функцията [[комплексно спрягане]] <math>z\rightarrow\overline{z}</math> не е аналитична в <math>\mathbb{C}</math>, макар че е в <math>\mathbb{R}</math>.

== Свойства на аналитичните функции ==
* Сбор, произведение и композиция на аналитични функции е аналитична функция.
* Реципрочната функция на аналитична функция, която не се анулира, е аналитична.
* Ако функцията ''f'' е аналитична в точката <math>x\in D</math>, то тя притежава производни от произволен ред в <math>x\in D</math>. Обратното твърдение не е вярно.
* За всяко [[отворено множество]] Ω ⊆ '''C''', множеството ''A''(Ω), съдържащо всички [[ограничена функция|ограничени]] аналитични функции ''u'' : Ω → '''C''' е [[банахово пространство]] спрямо [[супремум-норма]]та. Че границата на равномерно сходяща редица от аналитични функции е аналитична функция, се доказва в (при поставените условия) чрез [[теорема на Морера|теоремата на Морера]].

== Вижте също ==
* [[Холоморфна функция]]

== Литература ==
* ''Теория на аналитичните функции'', Татяна Аргирова, Университетско изд. „Св. Климент Охридски“, 1992

[[Категория:Комплексен анализ]]
[[Категория:Математически анализ]]