Триъгълно число

Първите шест триъгълни числа

Триъгълно число е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата вдясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …

Формула

Точната формула за триъгълно число е:

$T_n=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})$,

където $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})$ е биномен коефициент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство. За всяко триъгълно число $T_n$ си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери $T_n$. Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Например $T_4$ се илюстрира по следния начин:

$2T_4=4(4+1)=20$ (зелени плюс жълти) означава, че $T_4=\frac{4(4+1)}{2}=10$ (зелени).

За доказателство се използва и математическата индукция.

Връзка към други фигурни числа

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

• Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.

$P_n=n(n+1)=n^2+n=T_n\times 2$

Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.

• Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:

$T_n+T_{n-1}=(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+(\frac{{(n-1)}^2}{2}+\frac{n-1}{2})=(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2})=n^2=(T_n-T_{n-1}{)}^2$

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

$S_{n+1}=4S_n(8S_n+1)$ с $S_1=1.$

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:

$S_n=34S_{n-1}-S_{n-2}+2$ с $S_0=0$ и $S_1=1$

• Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:

1, 10, 120, 1540 и 7140.

Триъгълни репдиджит числа

Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.

Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:

0, 1, 3, 6, 55, 66, 666

В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.

Вижте също

• Правоъгълно число
• Квадратно число
• Тетраедрално число