Хилбертово пространство

Положението на вибрираща струна може да бъде моделирано като точка в Хилбертово пространство. Разлагането на вибриращата струна в отделни обертонове е дадено от проекцията на точката върху координатни оси в пространството.

Хилбертово пространство (ХП) е понятие в математиката обобщаващо Евклидовото пространство. Наречено е на Давид Хилберт, който пръв въвежда концепцията за безкрайномерно Евклидово пространство през 1909 г.

Хилбертовото пространство разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства.

Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно пространство, в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.

В общия случай ХП е безкрайномерно, линейно, векторно пространство над полето на комплексните числа $ℂ$ със скаларно произведение, относно което то е пълно.

Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и във физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ.

Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с декартовите координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.

Дефиниция и примери

Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и в което нормата се определя от скаларното произведение $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ посредством формулата:

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$.

Събиране

Две Хилбертови пространства H₁ и H₂ могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:

$H_1\oplus H_2$,

състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x₁, x₂) където x_i ∈ H_i, i = 1,2, и скаларното произведение

$⟨(x_1,x_2),(y_1,y_2){⟩}_{H_1\oplus H_2}=⟨x_1,y_1{⟩}_{H_1}+⟨x_2,y_2{⟩}_{H_2}$.

Най-общо ако H_i е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от H_i се означава като:

$\underset{i\in I}{⨁}{H}_i$

състояща се от множеството от всички индексирани фамилии

$x=(x_i\in H_i|i\in I)\in \prod _{i\in I}{H}_i$

от Декартови произведения от H_i, такива че

$\sum _{i\in I}\Vert x_i{\Vert }^2<\mathrm{\infty }$.

Скаларно произведение се нарича

$⟨x,y⟩=\sum _{i\in I}⟨x_i,y_i{⟩}_{H_i}$.

Всяко от пространствата H_i е включено като затворено подпространство в директните суми на всички H_i.

Нещо повече, пространствата H_i са взаимно ортогонални.