Формули на Виет

Шаблон:Без източници Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени. Формулите са наречени на името на Франсоа Виет (François Viète).

Нека е даден полином $P(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$ с коефициенти $a_0,a_1,\dots ,a_n$ от някакво поле $F$

и корени $x_1,x_2,\dots ,x_n$ от $F$ или от някое разширение $E$ на $F$.

$P(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n).$ Като приравним коефициентите пред съответните степени на $x$, получаваме:

$x_1+x_2+\dots +x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n};$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+\dots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n};$

$\dots \dots \dots \dots$

$x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_n}{a_0}$

Ако квадратно уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ има корени $x_1$ и $x_2$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a};$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Ако кубично уравнение $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ има корени $x_1$, $x_2$ и $x_3$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a};$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a};$

$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.$

Формулите на Виет важат както за реални, така и за комплексни корени и коефициенти. В случай че коефициентите и корените са реални числа, формулите на Виет дават възможност да се правят някои заключения за корените, без да се решава уравнението. Например при квадратно уравнение с реални коефициенти и корени, ако произведението на двата корена е отрицателно, то те имат различни знаци; а ако е положително, то те са с еднакви знаци (при това, ако коефициентите са реални числа и c/a < 0, то корените също са реални числа).

Съществува теорема, обратна на теоремата на Виет: ако две числа $x_1$ и $x_2$ изпълняват условията $x_1+x_2=-p$ и $x_1{x}_2=q$, то тези числа са корени на уравнението $x^2+px+q=0$.