Непрекъснатост

Казваме че функцията $f(x)$ е непрекъсната в точка $a$, ако границата:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

Графика на непрекъсната функция в интервала [-5,9]

Интуитивно, една функция е непрекъсната в даден интервал, ако можем да нарисуваме графиката ѝ без да вдигаме молива от листа.

Ако функцията не е непрекъсната в точка а, казваме че точката а е точка на прекъсване.

Забелязваме, че условието за непрекъснатост налага следните изисквания:

1. Функцията $f(x)$ е дефинирана в областта около точка а.
2. Границата $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ съществува.
3. Границата $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$
4. Лявата и дясната граница са равни:

$\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=f(a)$

Непрекъснатостта на една функция е необходимо, но недостатъчно условие за диференцируемостта на функцията. Обратно, диференцируемостта на дадена функция не е необходимо, но е достатъчно условие за непрекъснатостта на функцията.

Вижте също

• Диференцируемост
• Функция на Вайерщрас – непрекъсната за всяко реално $x$, но недиференцируема за всяко реално $x$