Равнина (математика)

Две пресичащи се равнини в триизмерното пространство.

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлетворяват равенството:

$ax+by+cz+d=0$,

където a, b, c и d са реални числа, и поне едно от a,b и c е различно от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

• три точки, нележащи на една права
• права и точка, нележаща на правата
• точка и права, перпендикулярна на равнината
• две пресичащи се или успоредни прави, също определят една равнина.

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Равнина, определена от точка и нормален вектор

За точката $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ и вектора $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$, уравнението на равнината изглежда така:

$ax+by+cz=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$

за равнината, минаваща през т. $P_0$ и перпендикулярна на вектора $\overrightarrow{n}$.

Равнина, определена от 3 точки

Уравнението на равнина, минаваща през 3 точки $P_1=(x_1,y_1,z_1)$, $P_2=(x_2,y_2,z_2)$ и $P_3=(x_3,y_3,z_3)$ може да бъде представено по следния начин:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$

Разстояние от точка до равнина

За точката $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ и равнината $ax+by+cz+d=0$, разстоянието от $P_1$ до равнината е:

$D=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Ъгъл между две равнини

Ъгълът между равнините $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$ и $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$ е

$\cos (\alpha )=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.