Транспозиционна матрица

Транспозиционната матрица Tr(X) е квадратна матрица с размер n, равен на цяла степен на 2, всеки елемент Tr(X)ij от която съдържа един от елементите {x} на даден вектор X с размер n, чийто индекс е равен на единица плюс побитовото умножение (XOR) на номера на реда i минус единица по номера на колоната j минус единица на елемента Tr(X)ij.

Формула

Така формулата, по която се изчисляват елементите на матрицата Tr(x), е както следва:

$Tr(X{)}_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}$

където $i,j\in [1,n]$ и със символът $\oplus$ е обозначена операцията побитово умножение (XOR).

Редовете и стълбовете на транспозиционната матрица съдържат пермутации на елементите на вектора $X$, като между елементите на всеки два реда или стълба от матрицата съществуват $n/2$ транспозиции.

Примери

Транспозиционната матрица $Tr(X)$ , получена от вектора $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\end{array}\right)$ има вида

$Tr(X)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4& |& x_5& x_6& x_7& x_8\\ x_2& x_1& x_4& x_3& |& x_6& x_5& x_8& x_7\\ x_3& x_4& x_1& x_2& |& x_7& x_8& x_5& x_6\\ x_4& x_3& x_2& x_1& |& x_8& x_7& x_6& x_5\\ -& -& -& -& |& -& -& -& -\\ x_5& x_6& x_7& x_8& |& x_1& x_2& x_3& x_4\\ x_6& x_5& x_8& x_7& |& x_2& x_1& x_4& x_3\\ x_7& x_8& x_5& x_6& |& x_3& x_4& x_1& x_2\\ x_8& x_7& x_6& x_5& |& x_4& x_3& x_2& x_1\end{array}\right)$

Свойства

• $Tr$ матрицата е симетрична матрица, което означава, че елементите и са свързани със съотношенията $T{r}_{i,j}=T{r}_{j,i}$.

• $Tr$ матрицата е персиметрична матрица, т.е. тя е симетрична и спрямо вторият си диагонал, което означава, че елементите и са свързани със съотношенията $T{r}_{i,j}=T{r}_{n-j+1,n-i+1}$.

• Всеки ред и колона на $Tr$ матрицата съдържа всички елементи на зададеният вектор $X$ без повторения.

• Всеки два реда от $Tr$ матрица съдържат $n/2$ четворки от елементи с еднакви стойности на диагоналните елементи. Например ако $T{r}_{p,q}$ и $T{r}_{u,q}$ са два произволно избрани елемента от една и съща колона $q$ на $Tr$ матрицата, то от това свойство следва, че в $Tr$ матрицата се съдържа четворка елементи $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$, за която са изпълнени равенствата $T{r}_{p,q}=T{r}_{u,v}$ и $T{r}_{u,q}=T{r}_{p,v}$. Това свойство, което по-нататък ще наричаме "свойство на четворките" е специфично за $Tr$ матриците

Четворки от елементи в Tr матрица

На фигурата вдясно са показани примери за четворки от елементи в $Tr$ матрица с еднакви стойности на диагоналните елементи.

Транспозиционна матрица с взаимно ортогонални редове (Trs матрица)

Свойството на четворките дава възможност за получаване от $Tr$ матрица на матрица с взаимно ортогонални редове и колони ($Trs$ матрица) чрез променяне на знаците на нечетен брой елементи във всяка четворка $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$, $p,q,u,v\in [1,n]$. В [4] се предлага алгoритъм за получаване на $Trs$ матрица чрез поелементно умножение (произведение на Адамар) на $Tr$ матрицата с матрица на Адамар $H=(h_{ij})$ с подреждане на редовете, при което се получава променяне на знаците на нечетен брой елементи във всички четворки. Така получените двумерни вектори в четворките $(h_{p,q}T{r}_{p,q},h_{p,v}T{r}_{p,v})$ и $(h_{u,q}T{r}_{u,q},h_{u,v}T{r}_{u,v})$ сa ортогонални и тъй като всички елементи на редовете p и q се съдържат без повторения в n/2 четворки елементи, сa ортогонални и целите редове p и u. Получени са [4] матрици на Адамар $H$ за n=2, 4 и 8, чрез които се получават матрици $Trs(X)$ чрез поелементно умножение на матриците $H$ и $Tr$. Ако $\Vert X\Vert =1$ то $Trs(X)$ матрицата е ортогонална матрица на отражение [4], т.е. $det$ $Trs(X)=-1$.

Пример за получаване на Trs(X) матрица

Транспозиционната матрица с взаимно ортогонални редове $Trs(X)$ за n=4 , се получава от вектора $X={\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4\end{array}\right)}^T$ по формулата:

$Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ x_2& x_1& x_4& x_3\\ x_3& x_4& x_1& x_2\\ x_4& x_3& x_2& x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ x_2& -x_1& x_4& -x_3\\ x_3& -x_4& -x_1& x_2\\ x_4& x_3& -x_2& -x_1\end{array}\right)$

където $Tr(X)$ е $Tr$ матрица, получена от вектора $X$, $H(R)$ е матрица на Адамар със зададено подреждане на редовете $R$, за което редовете на получаваната $Trs(X)$ матрица са взаимно ортогонални, а с "$\circ$" е обозначена операцията "поелементно умножение" (произведение на Адамар). Както може да се види от формулата, първият ред на получената $Trs$ матрица съдържа елементите на вектора $X$ без транспозиции и промяна на знака. Като се вземе предвид че редовете на матрицата са взаимно ортогонални, при умножаване на $Trs$ матрицата по вектора, от който е създадена получаваме

$Trs(X).X=\parallel X{\parallel }^2.[1,0,0,0{]}^T$

което означава, че $Trs$ матрицата завърта вектора $X$, от който е получена, по направление на координатната ос $x_1$. Важно е да се отбележи, че матрицата $H$ не зависи от вектора $X$. В [4] е даден код на Matlab функция за получаване на $Trs$ матрица за n=2,4 и 8.

Вижте още

• Симетрична матрица

Външни препратки

http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

Източници

1. Шаблон:Cite book
2. Шаблон:Cite book
3. Шаблон:Cite book
4. Шаблон:Cite book