Осемдесетоъгълник

Осемдесетоъгълникът (също и октаконтагон, Шаблон:Lang^[1]) е многоъгълник с 80 страни и ъгли.^[2]^[3] Сборът на всички вътрешни ъгли е 14040° (78π). Има 3080 диагонала.

Правилен осемдесетоъгълник

При правилния осемдесетоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 175,5°, а външният и централният – 4,5°.

Формули

$\begin{matrix} A = 20 t^{2} \cot \frac{π}{80} = \cot \frac{π}{40} + \sqrt{\cot^{2} \frac{π}{40} + 1} = & 20 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}})}^{2} + 1}) t^{2} \\ = & 20 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{{((1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) + (\sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}))}^{2} + 1}) t^{2} \\ = & 20 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{({(1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}})}^{2} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) (\sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}) + {(\sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}})}^{2}) + 1}) t^{2} \\ = & 20 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{((11 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) (\sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}) + (12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}})) + 1}) t^{2} \\ = & 20 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{(23 + 8 \sqrt{5} + 2 \cdot (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) (\sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}})) + 1}) t^{2} \\ = & 20 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{24 + 8 \sqrt{5} + 2 \cdot (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) (\sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}})}) t^{2} \end{matrix}$

$r = \frac{1}{2} t \cot \frac{π}{80}$

$\begin{matrix} R = \frac{1}{2} t \csc \frac{π}{80} = \frac{\sqrt{{(\cot \frac{π}{80})}^{2} + 1}}{2} t \end{matrix}$

$\sin \frac{π}{80} = \sin 2.2 5^{\circ} = \frac{1}{8} (1 + \sqrt{5}) (- \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}})})$

+ \frac{1}{4} \sqrt{\frac{1}{2} (5 - \sqrt{5})} (\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}})} - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}})

\cos \frac{π}{80} = \cos 2.2 5^{\circ} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{1}{2} (4 + \sqrt{2 (4 + \sqrt{2 (5 + \sqrt{5})})})}}

Построение

Тъй като 80 = 2⁴ × 5, т.е. произведение от степен на двойката и просто число на Ферма, правилен осемдесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел.^[4]