Собствени стойности и собствени вектори

Червената стрелка сменя посоката си, но не и синята стрелка. Последната представлява собствен вектор и тъй като дължината ѝ също не се променя, то собствената ѝ стойност е 1.

В линейната алгебра собствен вектор на даден линеен оператор е ненулев вектор, чийто образ е колинеарен с първообраза. Коефициентът на пропорционалност се нарича собствена стойност

Формално определение

Нека Шаблон:Mvar е линеен оператор над векторното пространство Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math е ненулев вектор във Шаблон:Mvar. Векторът Шаблон:Math се нарича собствен вектор на Шаблон:Mvar тогава и само тогава, когато

$T(𝐯)=\lambda 𝐯$

за някой скалар Шаблон:Mvar. Скаларът Шаблон:Mvar се нарича собствена стойност на Шаблон:Mvar, съответстваща на вектора Шаблон:Math.

Съществува биекция между квадратните матрици от тип n × n и линейните оператори над n-мерно векторно пространство (при предварително избран произволен негов базис). В крайномерно векторно пространство Шаблон:Mvar определението по-горе може да се преформулира така:

$A𝐮=\lambda 𝐮,$

където Шаблон:Mvar е матричното представяне на линейния оператор Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math е векторът от координатите на Шаблон:Math.