Преглед на кода на 4-вектор

В [[Специална теория на относителността|специалната теория на относителността]], '''4-вектор''' (също '''четири-вектор''' или '''квадривектор''') е обект с четири съставящи, които се трансформират по определен начин под [[Лоренцови трансформации|Лоренцова трансформация]]. Различава се от Еквлидовия [[вектор]] по това как се намира големината му. Трансформациите, които запазват тази големина са Лоренцовите трансформации, които включват пространствени ротации и тласъци (промяна с постоянната скорост в друга [[инерционна отправна система]]).<ref name="BaskalKim2015">{{cite book|author1=Sibel Baskal|author2=Young S Kim|author3=Marilyn E Noz|title=Physics of the Lorentz Group|date=1 ноември 2015|publisher=Morgan & Claypool Publishers|isbn=978-1-68174-062-1}}</ref>

4-векторите описват, например, положение {{math|''x''<sup>''μ''</sup>}} в [[пространство на Минковски]], [[4-импулс]] на частица {{math|''p''<sup>''μ''</sup>}}, амплитудата на [[електромагнитен 4-потенциал]] {{math|''A''<sup>''μ''</sup> (''x'')}} в точка {{mvar|x}} от пространство-времето и други.

Лоренцовата група може да бъде представена от 4×4 матрици {{math|Λ}}. Действието на Лоренцова трансформация върху общ [[контравариантен вектор|контравариантен]] 4-вектор {{mvar|X}}, разглеждан като колонен вектор с [[Декартови координати]] по отношение на инерционна система, се извежда от

:<math>X^\prime = \Lambda X,</math>

(умножение на матрици) където съставящите на прим обекта се отнасят за новата система. Свързани с примерите на контравариантни вектори по-горе, могат да се дадат съответните ковариантни вектори {{math|''x''<sub>''μ''</sub>}}, {{math|''p''<sub>''μ''</sub>}} и {{math|''A''<sub>''μ''</sub>(''x'')}}. Тези се трансформират според правилото

:<math>X^\prime = {(\Lambda^{-1})}^\mathrm T X,</math>

където {{math|<sup>T</sup>}} обозначава [[транспонирана матрица]]. Това правило е различно от горното правило. То съответства на двойното представяне на стандартното представяне. Обаче, за Лоренцовата група двойното представяне е еквивалентно на първоначалното представяне. Следователно, обектите с ковариантни показатели също са 4-вектори.

== Обозначение ==
Обозначенията в тази статия са: малки букви в получер за [[Триизмерно пространство|триизмерни]] вектори, шапки за триизмерни [[Единичен вектор|единични вектори]], главни букви в получер за [[Пространство-време|четириизмерни]] вектори (с изключение на 4-градиент) и тензорна нотация.

== 4-векторна алгебра ==
4-вектор ''A'' е вектор с една времеподобна съставяща и три пространствоподобни съставящи и може да бъде записана с различни еквивалентни означения:<ref>Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (BSA), 2006, ISBN 0-07-145545-0</ref>

:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = (A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3) \\
& = A^0\mathbf{E}_0 + A^1 \mathbf{E}_1 + A^2 \mathbf{E}_2 + A^3 \mathbf{E}_3 \\
& = A^0\mathbf{E}_0 + A^i \mathbf{E}_i \\
& = A^\alpha\mathbf{E}_\alpha\\
& = A^\mu
\end{align}</math>

където в последната форма съставящата за сила и [[базис]]ният вектор са комбинирани в един елемент.

Горните показатели демонстрират контравариантните съставящи. Тук стандартната конвенция е, че латинските показатели приемат стойности за пространствени съставящи, така че ''i'' = 1, 2, 3, а гръцките показатели приемат стойности за пространствени ''и времеви'' съставящи, така че ''α'' = 0, 1, 2, 3. Разделянето между времева съставяща и пространствени съставящи е полезно, когато се определят свиванията на един 4-вектор с други тензорни величини.

В специалната относителност, пространствоподобният базис '''E'''<sub>1</sub>, '''E'''<sub>2</sub>, '''E'''<sub>3</sub> и съставящите ''A''<sup>1</sup>, ''A''<sup>2</sup>, ''A''<sup>3</sup> са често декартови базиси и съставящи:

:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = (A_t, \, A_x, \, A_y, \, A_z) \\
& = A_t \mathbf{E}_t + A_x \mathbf{E}_x + A_y \mathbf{E}_y + A_z \mathbf{E}_z \\
\end{align}</math>

въпреки че каквито и да е други базиси и съставящи могат да бъдат използвани, като например [[сферични полярни координати]]

:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_\phi) \\
& = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_\phi \mathbf{E}_\phi \\
\end{align}</math>

или [[цилиндрични полярни координати]],

:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_z) \\
& = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_z \mathbf{E}_z \\
\end{align}</math>

или всякакви други [[ортогонални координати|ортогонални]] или общи [[криволинейни координати|криволинейни]] координати. Трябва да се отбележи, че координатните надписи са винаги в индекс и никога не приемат числена стойност. Геометрично погледнато, 4-векторът може да бъде интерпретиран като лъч, но в пространство-времето, а не просто в пространството. В относителността, лъчите се чертаят като част от [[диаграма на Минковски]] (също наричана ''пространство-времева диаграма''). В тази статия 4-векторите ще бъдат наричани просто вектори.

Също така, е обичайно основите да се представят чрез колонни вектори:

:<math> \mathbf{E}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,\quad \mathbf{E}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,\quad \mathbf{E}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,\quad \mathbf{E}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>

така че:

:<math> \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}</math>

Отношението между ковариантните и контравариантните координати е през [[метричен тензор]] (метрика) на Минковски, ''η'', който повдига и сваля показателите както следва:

:<math>A_{\mu} = \eta_{\mu \nu} A^{\nu} \, </math>

и в различни еквивалентни обозначения ковариантните съставящи са:

:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\
& = A_0\mathbf{E}^0 + A_1 \mathbf{E}^1 + A_2 \mathbf{E}^2 + A_3 \mathbf{E}^3 \\
& = A_0\mathbf{E}^0 + A_i \mathbf{E}^i \\
& = A_\alpha\mathbf{E}^\alpha\\
\end{align}</math>

където сваленият показател показва, че е ковариантен. Често метриката е диагонална, какъвто е случаят за ортогонални координати, но не и при общите криволинейни координати.

Основите могат да бъдат представени чрез векторите:

:<math> \mathbf{E}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,\quad \mathbf{E}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,\quad \mathbf{E}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,\quad \mathbf{E}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

така че:

:<math> \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix}</math>

Мотивацията за горните конвенции е, че вътрешният продукт е скалар.

=== Лоренцови трансформации ===
{{основна|Лоренцови трансформации}}

Имайки две инерционни или ротационни [[Отправна система|отправни системи]], 4-вектор се определя като количество, което се трансформира според матрицата '''Λ''':

:<math>\mathbf{A}'=\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{A}</math>

В индекса, контравариантната и ковариантната съставящи се трансформират така:

:<math>{A'}^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu A^\nu \,\quad {A'}_\mu = \Lambda_\mu {}^\nu A_\nu</math>

където матрицата '''Λ''' има съставящи Λ''<sup>μ</sup><sub>ν</sub>'' в ред ''ν'' и колона ''ν''.

Всички 4-вектори се трансформират по един и същ начин и това може да бъде обобщено за четириизмерни релативистични тензори.

=== Свойства ===
==== Линейност ====
4-векторите имат същите [[Линейна алгебра|линейни]] свойства като Евклидовите вектори в триизмерното пространство. Могат да бъдат добавяни по обичайния начин:

:<math>\mathbf{A}+\mathbf{B} = (A^0, A^1, A^2,A^3) + (B^0, B^1, B^2,B^3) = (A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3) </math>

и по подобен начин скаларното умножение по [[скалар]] ''λ'' се определя така:

:<math>\lambda\mathbf{A} = \lambda(A^0, A^1, A^2,A^3) = (\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3) </math>

Тогава изваждането се определя от:

:<math>\mathbf{A}+(-1)\mathbf{B} = (A^0, A^1, A^2,A^3) + (-1)(B^0, B^1, B^2,B^3) = (A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3) </math>

==== Тензор на Минковски ====
Прилагайки [[тензор на Минковски|тензора на Минковски]] ''η<sub>μν</sub>'' към два 4-вектора '''A''' и '''B''', записвайки резултата под формата на [[скаларно произведение]], се получава

:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu}</math>

Удобно е това определение да се пренапише в [[Матрица (математика)|матрична]] форма:

:<math>\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\ \eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\ \eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\ \eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix}</math>

в който случай ''η<sub>μν</sub>'' е елемент от ред ''μ'' и колона ''ν'' на метриката на Минковски като квадратна матрица. Метриката на Минковски не е [[Евклидова метрика]], защото е неопределена. Може да бъде използвано число от други изрази, защото метричният тензор може да повдига или сваля съставящите на '''A''' или '''B'''. За контра/ко-вариантни съставящи на '''A''' и ко/контра-вариантни съставящи на '''B''', се получава:

:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} = A_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B_{\mu}</math>

така че в матрична форма:

:<math>\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_0 & B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}</math>

докато за '''A''' и '''B''' всяка в ковариантни съставящи:

:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\mu} \eta^{\mu \nu} B_{\nu}</math>

с подобен матричен израз като по-горе.

Прилагайки тензор на Минковски към 4-вектор '''A''', се получава:

:<math>\mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu </math>

което, в зависимост от случая, може да се счита за квадрата или за отрицателния квадрат на дължината на вектора.

== 4-векторна висша математика ==
=== Производни и диференциали ===
В специалната относителност (но не и в общата относителност), [[производна]]та на 4-вектор по отношение на скалар ''λ'' (инвариантен) е също 4-вектор. Също така, е полезно да се вземе [[Диференциал (математика)|диференциала]] на 4-вектора, ''d'''''A''' и да се раздели на диференциала на скалара, ''dλ'':

:<math>\underset{\text{differential}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivative}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{differential}}{d\lambda}</math>

където контравариантните съставящи са:

:<math> d\mathbf{A} = (dA^0, dA^1, dA^2, dA^3) </math>

докато ковариантните съставящи са:

:<math> d\mathbf{A} = (dA_0, dA_1, dA_2, dA_3) </math>.

== Основни 4-вектори ==
=== 4-положение ===
Точка в пространството на Минковски е положение във времето и пространството, наричана „събитие“ или понякога 4-положение, описвано в някои отправни системи като набор от 4 координати:

:<math> \mathbf{R}= \left(ct, \mathbf{r}\right) </math>

където '''r''' е [[радиус-вектор]]ът в триизмерно пространство. Ако '''r''' е функция на времето ''t'' в същата система, т.е. '''r''' = '''r'''(''t''), то това съответства на поредица от събития, докато ''t'' се променя. Определението ''R''<sup>0</sup> = ''ct'' осигурява, че всички координати имат едни и същи единици (за разстояние).<ref>Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, ''Quantum Field Theory'', с. 5, ISBN 0-07-032071-3</ref><ref>Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler, ''Gravitation'', с. 51, ISBN 0-7167-0344-0</ref><ref>George Sterman, ''An Introduction to Quantum Field Theory'', с. 4, ISBN 0-521-31132-2</ref> Тези координати са съставящите на 4-вектора за положение за събитието. 4-векторът за преместване се определя като права между две събития:

:<math> \Delta \mathbf{R} = \left(c\Delta t, \Delta \mathbf{r} \right) </math>

За диференциалното 4-положение върху линия от света имаме:

:<math>\|d\mathbf{R}\|^2 = \mathbf{dR \cdot dR} = dR^\mu dR_\mu=c^2d\tau^2=ds^2 \,</math>

определяйки диференциалният линеен елемент d''s'' и диференциалното увеличаване на собственото време d''τ'', но тази норма е също

:<math>\|d\mathbf{R}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,</math>

така че:

:<math> (c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,.</math>

Когато се имат предвид физични феномени, диференциалните уравнения изникват естествено. Обаче, когато се взимат предвид пространството и производните на времето на функции, не е ясно за коя отправна система са взети въпросните производни. Обикновено производните на времето се взимат по отношение на собственото време <math>\tau</math>. Тъй като собственото време е инвариантно, това гарантира, че производната на собственото време за всеки 4-вектор също е 4-вектор. Тогава е важно да се намери връзка между тази производна на собственото време и друга времева производна (използвайки координатното време ''t'' на инерционна отправна система). Тази връзка се намира, като се вземе по-горния диференциален инвариантен пространство-времеви интервал и разделяйки го на (''cdt'')<sup>2</sup>, за да се получи:

:<math> \left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right) = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,</math>

където '''u''' = ''d'''''r'''/''dt'' е координатната 3-скорост на обект, измерван в същата система като координатите ''x'', ''y'', ''z'' и координатното време ''t'' и

:<math> \gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}</math>

е [[Лоренц-фактор]]ът. Това предоставя полезна връзка между диференциалите в координатно и собствено време:

:<math> dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,.</math>

Тази връзка, също така, може да бъде намерена от трансформацията на времето в Лоренцовите трансформации.

Важните 4-вектори в теорията на относителността могат да бъдат определени чрез прилагането на диференциала <math>\frac{d}{d\tau}</math>.

=== 4-градиент ===
Имайки предвид, че [[Частна производна|частните производни]] са линейни оператори, може да се сформира [[4-градиент]] от частната производна на времето {{math|∂}}/{{math|∂}}''t'' и пространствения [[градиент]] ∇. Използвайки стандартната основа, контравариантните съставящи са:

:<math> \begin{align}
\boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x_3} \right) \\
& = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) \\
& = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_1\partial^1 - \mathbf{E}_2\partial^2 - \mathbf{E}_3\partial^3 \\
& = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_i\partial^i \\
& = \mathbf{E}_\alpha \partial^\alpha \\
& = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, - \nabla \right) \\
& = \left(\frac{\partial_t}{c},- \nabla \right) \\
& = \mathbf{E}_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla \\
\end{align}</math>

Трябва да се отбележи, че основните вектори са сложени пред съставящите, за да се избегне объркване между това да се вземе производна от основния вектор или това просто да се означи частната производна като съставяща на 4-вектора. Ковариантните съставящи са:

:<math> \begin{align}
\boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) \\
& = (\partial_0, \, \partial_1, \, \partial_2, \, \partial_3) \\
& = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^1\partial_1 + \mathbf{E}^2\partial_2 + \mathbf{E}^3\partial_3 \\
& = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^i\partial_i \\
& = \mathbf{E}^\alpha \partial_\alpha \\
& = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, \nabla \right) \\
& = \left(\frac{\partial_t}{c}, \nabla \right) \\
& = \mathbf{E}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \\
\end{align}</math>

Тъй като това е оператор, той няма дължина, но изчислявайки вътрешното произведение на оператора дава друг оператор:

:<math>\partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{{\partial_t}^2}{c^2} - \nabla^2</math>

наречен оператор на д'Аламбер.

== Кинематика ==
=== 4-скорост ===
[[4-скорост]]та на частица се определя от:

:<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}= \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u} \right),</math>

В геометрично отношение, '''U''' е нормализиран вектор, допирателен на [[мирова линия|мировата линия]] на частица. Използвайки диференциала на 4-положението, големината на 4-скоростта може да се намери така:

:<math> \|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U_\mu = \frac{dX^\mu }{d\tau} \frac{dX_\mu }{d\tau}= \frac{dX^\mu dX_\mu }{d\tau^2} = c^2 \,</math>

или за по-кратко, големината на 4-скоростта за всеки обект е винаги константа:

:<math> \| \mathbf{U} \|^2 = c^2 \,</math>

Нормата е също:

:<math> \|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left(c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,</math>

така че:

:<math> c^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left(c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,</math>.

=== 4-ускорение ===
[[4-ускорение]]то се дава от:

:<math>\mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).</math>

където '''a''' = ''d'''''u'''/''dt'' е координатно 3-ускорение. Тъй като големината на '''U''' е константа, 4-ускорението е ортогонално на 4-скоростта, т.е. вътрешното произведени на Минковски за 4-ускорение и 4-скорост е нула:

:<math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu U_\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} U_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} (U^\mu U_\mu) = 0 \,</math>

което е вярно за всички световни линии.

== Динамика ==
=== 4-импулс ===
За масивна частица с маса в покой (инвариантна) ''m''<sub>0</sub>, 4-импулсът се дава от:

:<math>\mathbf{P} = m_0 \mathbf{U} = m_0\gamma(\mathbf{u})(c, \mathbf{u}) = (E/c, \mathbf{p}) </math>

където общата енергия на движещата се частица е:

:<math>E = \gamma(\mathbf{u}) m_0c^2 </math>

и общият релативистичен импулс е:

:<math>\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m_0 \mathbf{u}</math>

Вземайки вътрешния продукт на 4-импулса:

:<math> \|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P_\mu = m_0^2 U^\mu U_\mu = m_0^2 c^2</math>

и също:

:<math> \|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p}</math>

което води до зависимост между енергията и импулса:

:<math>E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + (m_0c^2)^2 \,.</math>

Последната връзка е полезна в релативистичната механика, изключително важна в релативистичната квантова механика и [[квантова теория на полето]] и с приложения във [[Физика на елементарните частици|физиката на елементарните частици]].

=== 4-сила ===
[[4-сила]]та действаща върху частица се определя аналогично на 3-силата като времева производна на 3-импулса във [[Закони на Нютон|Втория закон на Нютон]]:

:<math> \mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt},\frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})(P/c,\mathbf{f}) </math>

където ''P'' е [[мощност]]та, предадена за да се придвижи частицата, а '''f''' е 3-силата, действаща върху частицата. За частица с постоянна инвариантна маса ''m''<sub>0</sub>, това е еквивалентно на

:<math> \mathbf{F} = m_0 \mathbf{A} = m_0\gamma(\mathbf{u})\left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right) </math>

== Термодинамика ==
=== 4-топлинен поток ===
Векторното поле на 4-топлинния поток е подобно на векторното поле на 3-[[топлинен поток|топлинния поток]] '''q''', в местната система на флуида:<ref>{{Cite journal |first=Y. M. |last=Ali |first2=L. C. |last2=Zhang |title=Relativistic heat conduction |journal=Int. J. Heat Mass Trans. |volume=48 |year=2005 |issue=12 |doi=10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.02.003}}</ref>

:<math>\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = - k\left(\frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right) </math>

където ''T'' е [[абсолютна температура]], а ''k'' е [[Топлинна проводимост|топлинната проводимост]].

=== 4-ентропия ===
4-[[ентропия]]та се определя чрез:<ref>{{Cite book|title=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|author1=J.A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K.S. Thorne |publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|page=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/567 567]|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>

:<math>\mathbf{s}= s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}</math>

където ''s'' е ентропията на [[барион]], а ''T'' е абсолютната температура в местната неподвижна система на флуида.<ref>{{Cite book|title=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|author1=J.A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K.S. Thorne |publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|page=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/558 558]|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>

== Електромагнетизъм ==
Следните са примери за 4-вектори в [[Електромагнетизъм|електромагнетизма]].

=== 4-ток ===
Електромагнитният [[4-ток]] (или по-точно плътността на 4-тока)<ref>{{cite book|title=Introduction to Special Relativity |edition=2nd |first1=Wolfgang |last1=Rindler |publisher=Oxford Science Publications |year=1991 |isbn=0-19-853952-5 |pages=103 – 107 |url=https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ}}</ref> се определя чрез:

:<math> \mathbf{J} = \left(\rho c, \mathbf{j} \right) </math>

образувано от [[Плътност на тока|плътността на тока]] '''j''' и [[Плътност на заряда|плътността на заряда]] ''ρ''.

=== 4-потенциал ===
[[Електромагнитен 4-потенциал|Електромагнитният 4-потенциал]] се определя чрез:

:<math> \mathbf{A} = \left(\frac{\phi}{c}, \mathbf{a} \right) </math>

образувано от [[векторен потенциал|векторния потенциал]] '''a''' и скаларния потенциал ''ϕ''.

4-потенциалът не е еднозначно определен, защото зависи от избора на калибровка на векторния потенциал.

В [[уравнение на вълната|уравнението на вълната]] за електромагнитно поле:

:<math> (\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{\partial}) \mathbf{A} = 0 </math>{във вакуум}
:<math>(\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{\partial}) \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J}</math>{с източник на 4-ток и използвайки условието на Лоренц за калибровка на векторния потенциал <math>(\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{A}) = 0</math>}

== Вълни ==
=== 4-честота ===
Фотонна [[плоска вълна]] може да бъде описана от [[4-честота]] така:

:<math>\mathbf{N} = \nu\left(1, \hat{\mathbf{n}} \right)</math>

където ''ν'' е честотата на вълната, а <math>\hat{\mathbf{n}}</math> е единичен вектор по посока на разпространение на вълната. Сега:

:<math> \|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0 </math>

така че 4-честотата на фотон е винаги нулев вектор.

== Квантова теория ==
=== 4-спин ===
4-спинът на частица се определя в неподвижна система

:<math>\mathbf{S} = (0,\mathbf{s}) </math>

където '''s''' е псевдовекторът на [[спин]]а. В квантовата механика, не всички три съставящи на вектора са едновременно измерими – само една е. Времеподобната съставяща е нула в неподвижната система на частицата, но не и в коя да е друга система. Тази съставяща може да бъде намерена от съответната Лоренцова трансформация.

Нормата на квадрат е големината на квадрат на спина и според квантовата механика се получава:

:<math>\|\mathbf{S}\|^2 = - |\mathbf{s}|^2 = -\hbar^2s(s+1)</math>

Тази стойност може да бъде наблюдавана и квантувана, като ''s'' е число на квантовия спин (не големината на вектора на спина).

== Източници ==
<references/>

{{превод от|en|Four-vector|792683915}}

[[Категория:Релативистична механика]]
[[Категория:Основни физични концепции]]
[[Категория:Обща теория на относителността]]
[[Категория:Специална теория на относителността]]
[[Категория:Вектори]]