Преглед на кода на Ъгъл

[[Файл:Angle Symbol.svg|мини|∠ - символът за ъгъл]]

'''Ъгъл''' (или '''равнинен ъгъл''') е [[Геометрия|геометричен]] обект, съставен от два [[лъч]]а с обща начална точка, наричана [[връх (геометрия)|връх]] на ъгъла.<ref>{{cite | фамилия-част = Sidorov | име-част = L.A. | заглавие-част = Angle | url-част = http://eom.springer.de/A/a012500.htm | фамилия = Hazewinkel | име = Michiel | заглавие = Encyclopaedia of Mathematics | издател = Springer | дата = 2001 | isbn = 978-1556080104 | език = en | достъп-дата = 9 юни | достъп-година = 2011}}</ref> Често под ъгъл се разбира и големината на ъгъла – числена величина, отразяваща степента на завъртане на единия лъч около върха, така че той да съвпадне с другия.

[[Евклид]] определя равнинния ъгъл като [[Наклон (математика)|наклон]], който образуват две пресичащи се прави в равнината една спрямо друга. Според [[Прокъл (философ)|Прокъл]] един ъгъл трябва да бъде или качество, или количество, или отношение. Първата концепция е използвана от [[Евдем]], който разглежда ъгъла като отклонение от правата линия. Втората е използвана от [[Карп Антиохийски]], който го разглеждал като пространството между две пресичащи се прави. Самият Евклид възприема третата концепция, въпреки че дефинициите му за прав, остър и тъп ъгъл определено са количествени.{{hrf|Heiberg|1908|177-178}}

== Измерване ==
[[Файл:Angle measure.svg|мини|Ъгълът <var>θ</var> е частното на <var>s</var> и <var>r</var>]]

За да бъде измерен даден ъгъл <var>[[theta|θ]]</var> се построява [[кръгова дъга]] с център върха на ъгъла и радиус <var>r</var>. Големината на ъгъла е равна на дължината на дъгата <var>s</var>, разделена на радиуса <var>r</var> и умножена с константа <var>k</var>, зависеща от избраните единици (при <var>k</var> = 1 резултатът би бил в [[радиан]]и, при <var>k</var> = 180/π – в градуси и т.н.):

:<math> \theta = k \frac{s}{r}</math>

Получената по този начин стойност на <var>θ</var> не зависи от избора на радиус на дъгата, тъй като дължината на дъгата се изменя пропорционално на радиуса и тяхното съотношение остава постоянно.

Обикновено големината на ъгъла се измерва чрез най-малкото завъртане, което води до съвпадане на двата лъча. При този подход големината на ъгъла е между 0 и [[Пи|π]]. В много случаи, например в [[тригонометрия]]та, се използват и ъгли между 0 и 2π (пълна окръжност). В повечето случаи ъглите, отличаващи се с цял брой пълни окръжности, могат да се разглеждат като практически еквивалентни. Все пак в някои случаи това не е така. Например, при построяването на крива като [[спирала]]та в [[полярни координати]] едно допълнително пълно завъртане съответства на напълно различна точка от кривата.

=== Положителни и отрицателни ъгли ===
[[Файл:45, -315, and 405 co-terminal angles.svg|мини|Ъглите 45°, -315° и 405° в [[Декартова координатна система]]]]

В математиката и повечето останали области за положителна посока на ъглите се приема тази от първата към втората координатна ос. Така в дясна координатна система положителните ъгли се измерват срещу [[посока на часовниковата стрелка|посоката на часовниковата стрелка]], а левите – по посока на часовниковата стрелка. Измерването става от предварително зададена права или, ако няма такава, от първата координатна ос.

В много случаи отрицателният ъгъл −''θ'' е еквивалентен на положителен ъгъл, равен на 2π−''θ''. Например, завъртане по часовниковата стрелка на 45° (ъгъл -45°) обикновено е практически еквивалентно на завъртане срещу часовниковата стрелка на 360° − 45° (ъгъл 315°).

В триизмерното пространство посоката на часовниковата стрелка няма абсолютен смисъл, поради което посоката на положителните и отрицателни ъгли трябва да бъде дефинирана по друг начин, най-често чрез вектор, преминаващ през върха на ъгъла и перпендикулярен на общата равнина на лъчите, образуващи ъгъла.

В навигацията и геодезията посоките се мерят от север, като се увеличават по часовниковата стрелка, така че например 45 е североизток. Отрицателни стойности не се използват, така че северозапад е 315 (вижте [[азимут]]).

=== Единици ===
[[Файл:Angle radian.svg|мини|Ъгъл от 1 радиан]]
[[Файл:Degree diagram.svg|мини|1 градус (в червено) и 90 градуса (в синьо)]]

От гледна точна на [[анализ на размерността|анализа на размерността]] ъгълът е [[безразмерна величина]]. Съществуват различни единици за измерване на ъгли, в зависимост от избора на константата <var>k</var> в горната формула. Най-често използваните сред тях са градусът и радианът.

С изключение на радиана, повечето единици са дефинирани така, че пълната окръжност да се равнява на цял брой единици ''n''. Например, при градусите този брой е {{nowrap|1= ''n'' = 360}}. Това означава, че константата в горната формула има стойност {{nowrap|1= ''k'' = ''n''/(2π)}}.

; [[Радиан]]
Радианът е дължината на дъгата, отрязана от ъгъла, разделена на нейния радиус – пълната окръжност е 2π радиана. Това е единицата за измерване на ъгли в [[Международна система единици|Международната система единици]] (''SI''), в рамките на която се определя като допълнителна единица. Символът за радиан е ''rad'', но той често се пропуска, особено в математиката, където тази единица е най-често използвана. Поради връзката си с дължината на дъгата, радианите имат някои особени свойства. Например, [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] могат да се развият в сравнително прости [[Ред на Тейлър|редове на Тейлър]], ако аргументите им са в радиани.

; [[Градус (ъгъл)|Градус]]
Градусът е 1/360 от пълната окръжност и се означава с „°“. Градусите могат да се записват като [[Десетична дроб|десетични дроби]] или като се разделят на ъглови минути и ъглови секунди, които са съответно 1/60 и 1/3600 от градуса. Те се използват по традиция, водеща началото си от астрономията в древен [[Вавилон]], където се използва [[шейсетична бройна система]]. Предимство на градусите е, че много ъгли, често използвани в елементарната геометрия, имат цели стойности в градуси.

Минутите обикновено се използват в областта на [[външна балистика|външната балистика]], особено когато се работи с [[Имперска единица|имперски единици]], тъй като една ъглова минута покрива почти точно 1 [[инч]] на 100 [[ярд]]а (или 1 [[метър]] на 1200 m). Всички попадения на [[пушка]], която може да стреля 1 ъглова минута, са в рамките на 1 инч на 100 ярда, 2 инча на 200 ярда и т.н. Ъгловите минути са използвани и в [[навигация]]та, като една морска [[миля]] се определя грубо, като една ъглова минута на земната повърхност.

; [[Оборот]]
Оборотът е ъгъл, равен на пълна окръжност. За означаването му се използват различни символи, като <math>\tau</math>, ''rev'' или ''rot''. Използва се главно в [[машиностроене]]то.

; [[Град (ъгъл)|Град]]
Градите, понякога наричани градиани или гони, са ъгли с големина 1/400 от пълната окръжност. Единица, сравнително близка до градуса, но по-близка до десетичната система (1 град е 1/100 от правия ъгъл), градът е използван предимно в [[геодезия]]та за опростяване на тежките изчисления в [[триангулация]]та, извършвани в миналото на ръка.

; [[Мил (ъгъл)|Мил]]
Ъгловият мил се равнява приблизително на 1/1000 от радиана, като има няколко различни дефиниции. Тази единица се използва също главно в балистиката.

; [[Румб]]
Румбът (в морската терминология) се равнява на 1/32 от окръжността, респ. от скалата на [[компас]]а (11,25°). Главните посоки на света се наричат главни румбове (съответно N-0 или 360, Е-90, S-180, W-270). Румбовата системата се е използвала във ветроходния флот, но е неточна и е изоставена.

; [[Квадрант]]
Квадрантът е 1/4 от пълната окръжност (прав ъгъл). Това е единицата, използвана в класическия труд по геометрия на [[Евклид]] „[[Елементи]]“.

В някои области на техниката, например при описване на [[наклон]]и на пътища, покриви или тръбопроводи, се използва [[тангенс]]а от ъгъла на наклона, най-често изразен в [[процент]]и. При малки стойности тази величина съвпада с ъгъла в радиани. Например при наклон 5% (0,05) ъгълът е 0,04996 радиана. При по-големи стойности зависимостта между ъгъла и тангенса става силно нелинейна. Този начин на измерване може да се използва само за ъгли до 90 градуса.

=== Съотношение между единиците ===
{| class="wikitable" style="text-align: right;"
! 
! rad
! °
! grad
! rot
|-
! 1 rad =
| 1,00000 || 57,2958 || 63,6620 || 0,159155
|-
! 1 ° =
| 0,0174533 || 1,00000 || 1,11111 || 0,00277778
|-
! 1 grad =
| 0,0157080 || 0,9000000 || 1,00000 || 0,00250000
|-
! 1 rot =
| 6,28319 || 360,000 || 400,000 || 1,00000
|}

== Видове ъгли ==
=== Според градусната мярка ===
Според големината им, могат да се отличат следните ъгли:
* Нулев ъгъл – този, на който лъчите му съвпадат, т.е. има градусна мярка 0.
* Остър ъгъл – ъгъл, по-малък от [[прав ъгъл|правия]], т.е. с мярка, по-малка от 90 [[Градус (ъгъл)|градуса]].
* [[Прав ъгъл]] — ъгъл с градусна мярка от 90 градуса, т.е. ъгъл, чиито рамене са взаимно [[перпендикулярност|перпендикулярни]].
* Тъп ъгъл – ъгъл с градусна мярка повече от 90 градуса.
* Изправен ъгъл – ъгъл с мярка на 180°. Ако един ъгъл е изправен, то лъчите, които го съставят, лежат на една [[Права (геометрия)|права]] и са противоположни.
* Съседни ъгли – два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи.

=== Според взаимното разположение ===
* [[Връхни ъгли]]
* [[Кръстни ъгли]]
* [[Съответни ъгли]]
* [[Прилежащи ъгли]]
* [[Външен ъгъл]]

== Друго значение ==
'''Ъгъл''' се нарича и мястото, където се пресичат две страни на даден предмет.<ref>[https://rechnik.chitanka.info/w/ъгъл ъгъл, rechnik.chitanka.info]</ref>

== Бележки ==
<references/>

; Цитирани източници
{{дребно|
* {{cite book | last = Heiberg | first = Johan Ludvig | year = 1908 | title = Euclid | publisher = Cambridge University press | url = http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ | lang = en }}
}}

[[Категория:Ъгли| ]]