Преглед на кода на Число

{{към пояснение}}

'''Числото''' представлява абстрактно математическо понятие за означаване на [[количество]], броене и измерване. Като математически обект числото изразява идеите за [[Кардиналност|брой]] и [[Теория на наредбите|ред]] в зависимост от контекста му на употреба. С числата може да се извършват различни операции, като [[събиране]], [[изваждане]], [[умножение]], [[деление]], [[степенуване]] и др. Тези операции се изучават в [[аритметика]]та и [[алгебра]]та.

Числата обикновено се изписват със [[символ]]и, предназначени за тази цел и наричани [[Цифра|цифри]].

== Означения ==
В езика числата се обозначават със специални [[Част на речта|части на речта]], наречени [[Числително име|числителни имена]]. В писмена форма за означаване на числата обикновено се използват знаци, наричани цифри, които могат да бъдат специално предназначени за тази цел (например [[Арабски цифри|арабските цифри]] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) или да имат и друго предназначение (например [[Римски цифри|римските цифри]] I, V, X, L, C, D, M, които са букви и се използват също за записване на думи).

Системата от правила, по които цифрите съставят числови записи, се нарича [[бройна система]]. При римските цифри и подобните системи, основани на [[гръцка азбука|гръцката азбука]] и [[кирилица]]та, стойността, означавана от дадена цифра, зависи не само от нейното положение, но и от съседните цифри. За разлика от тези системи, при позиционните числената стойност на отделната цифра се определя само от нейното положение, като в общ вид числата се означават така:

<math>
(a_na_{n-1}...a_1a_0,a_{-1}a_{-2}...a_{-(m-1)}a_{-m})_b = \sum_{k=-m}^n a_kQ^k,
</math>

където ''b'' е основата на бройната система, ''a<sub>k</sub>'' е ''k''-тата цифра на числото.

В наши дни най-широко разпространение има позиционната бройна система с основа 10, използваща десетте арабски цифри. При изписването на естествени числа в десетична система най-дясната цифра има тежест 1, а всяка друга цифра има десет пъти по-голяма тежест от разположената вдясно от нея. Отрицателните числа се обозначават с добавяне на знака [[минус]] (−) вляво от поредицата цифри.

Други основи, които се използват в особени случаи, например в изчислителната техника, са 16, 8, 2. При шестнадесетичната система обикновено се използват арабските цифри, като към тях се добавят шест цифри, съвпадащи с първите букви на [[латиница]]та: A, B, C, D, E, F.

== Класификация ==
[[Файл:Venn Diagram of Numbers-bg.svg|мини|дясно|Подмножества на числата|300x300пкс]]
{| class="wikitable"
|+ Основни числови множества
|-
! style="text-align:left;" | Естествени числа
| 1, 2, 3, 4, ...
|-
! style="text-align:left;" | Цели числа
| ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
! style="text-align:left;" | Рационални числа
| ''a''/''b'', където ''a'' и ''b'' са цели числа и ''b'' е различно от нула
|-
! style="text-align:left;" | Реални числа
| Крайните и безкрайните десетични дроби.
|-
! style="text-align:left;" | Комплексни числа
| ''a'' + ''bi'', където ''a'' и ''b'' са реални числа, а ''i'' е квадратен корен от −1
|}

=== Естествени числа ===
{{основна|Естествено число}}

Най-добре познатите числа са [[Естествено число|естествените]], използвани при броене: едно, две, три и така нататък. Традиционно редицата на естествените числа започва с 1, но през 19 век в [[теория на множествата|теорията на множествата]], а и в други области на математиката, [[нула]], [[Мощност на множество|мощността]] на [[Празно множество|празното множество]], също започва да се включва в множеството на естествените числа. В наши дни различни източници използват две различни дефиниции на това множество – със или без нула. Множеството на естествените числа се обозначава с <math>\mathbb{N}</math>.

В теорията на множествата, която може да служи за аксиоматична основа на съвременната математика,<ref>{{Cite book | last = Suppes | first = Patrick | title = Axiomatic Set Theory | url = https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_615 | publisher = Courier Dover Publications | year = 1972 | pages = [https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_615/page/n13 1] | isbn = 0486616304 | lang = en }}</ref> естествените числа могат да се разглеждат като класове от еквивалентни множества. Например, числото три може да се разглежда като класът от всички множества, които имат точно три елемента. От друга страна, в [[аритметика на Пеано|аритметиката на Пеано]] числото три се представя като sss0, трети наследник на 0. Възможни са и много други представяния.

=== Цели числа ===
{{основна|Цяло число}}
Множеството на целите числа включва естествените числа (включително нула) и целите [[Знак (математика)|отрицателни числа]] – целите числа, сборът на които с естествено число е нула (например, за отрицателното число −7 сборът 7 + (−7) = 0). Множеството на целите цисла се обозначава със <math>\mathbb{Z}</math> ({{lang|de|на=от|Zahl}}, „число“).

Множеството на целите числа образува [[пръстен (алгебра)|пръстен]] с операциите събиране и умножение.<ref>{{cite web | last = Weisstein | first = Eric W. | year = 2011 | url = http://mathworld.wolfram.com/Integer.html | title = Integer | work = MathWorld | publisher = Wolfram Research | accessdate = 29 юни 2011 | lang = en }}</ref>

=== Рационални числа ===
{{основна|Рационално число}}
Рационално число се нарича такова число, което може да бъде изписано като деление на две цели числа. Те могат да бъдат изразени като [[Деление|частно]] на целочислено делимо и ненулев целочислен делител. Рационалните числа обикновено се представят като обикновени дроби:

:<math>m \over n \, </math>

където ''m'' представлява брой еднакви части, а ''n'' – броят такива части, които образуват единица.

Множеството на рационалните числа се означава с <math>\mathbb{Q}</math>. То включва всички цели числа, тъй като всяко цяло число може да бъде записано като дроб със знаменател 1. Q е [[изброимо множество]] – на всеки елемент на Q може да се съпостави естествено число. Равномощността на множеството на рационалните числа Q с множеството на естествените числа N е доказана от [[Георг Кантор]] (1845 – 1918) с помощта на неговия ''диагонален метод''.

=== Реални числа ===
{{основна|Реално число}}
Множеството на реалните числа включва всички рационални числа, както и дробите, които не могат да бъдат представени като частно на цели числа и които се наричат [[Ирационално число|ирационални числа]]. Всяко реално число съответства на точка от [[Числова ос|числовата ос]]. Множеството им се бележи с <math>\mathbb{R}</math>.

Реалните числа обикновено се представят като десетични дроби, като рационалните числа са или крайни (например, 1/2 = 0,5), или безкрайни, но периодични дроби (например, 1/3 = 0,33333... = 0,(3)). От друга страна, ирационалните числа са безкрайни дроби, при които няма периодичност (например, π = 3.14159265358979). По тази причина те не могат да бъдат записани като десетична дроб, освен със закръгление.

В [[абстрактна алгебра|абстрактната алгебра]] всяко пълно [[наредено поле]] е изоморфно с множеството на реалните числа, но реалните числа не представляват [[алгебрически затворено поле]].

=== Комплексни числа ===
{{основна|Комплексно число}}
Множеството на реалните числа може да се разшири до <math>\mathbb{C}{}</math> — множеството на [[Комплексно число|комплексните числа]].

Комплексните числа се делят на две множества – [[Алгебрично число|алгебрични]] и [[Трансцендентно число|трансцендентни]] числа. Алгебричните числа, за разлика от трансцендентните, са корени на ненулеви [[полином]]и с целочислени коефициенти. Например <math>\sqrt{2}</math> е алгебрично число, тъй като е корен на полинома <math>x^2-2</math>. Числа като [[пи]] и [[Неперово число|неперовото число]] са трансцендентни.

Комплексното число е израз от вида ''a+bi'', където ''a'' и ''b'' са [[реално число|реални числа]], а ''i'' е имагинерната единица, за която е вярно че ''i''<sup>2</sup> = −1. ''a'' и ''b'' се наричат реална и имагинерна част на числото. Например числото 3 + 2''i'' има реална част 3 и имагинерна част 2. Реалните числа могат да се представят като комплексни с имагинерна част 0, например 2 = 2 + 0''i''. Комплексните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят също като реалните.

=== Хиперкомплексни числа ===
{{основна|Хиперкомплексно число}}
{{раздел-мъниче}}

Комплексните числа също могат да бъдат разширени до [[кватернион]]и, чието умножение обаче не е [[Комутативност|комутативно]]. Кватернионите могат да се разширят до [[октонион]]и, но при тях се губи и [[асоциативност]]та.

=== Изчислими числа ===
{{основна|Изчислимо число}}
{{раздел-мъниче}}

=== Други множества ===
{{основна|Изчислимо число}}
{{раздел-мъниче}}

== Бележки ==
<references/>

== Външни препратки ==
* [http://eom.springer.de/n/n067900.htm Число]
* [http://gramota.ru/biblio/magazines/nauka_i_zhizn/28_666 Понятие за число и цифра]
* [http://ilib.mccme.ru/djvu/chislo.htm Какво е това число]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211016154339/http://ilib.mccme.ru/djvu/chislo.htm |date=2021-10-16 }}
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml Видове числа]

== Вижте също ==
{{колони|3|
* [[Бройна система|Бройни системи]]
* [[Римски цифри]]
* [[Четност|Четни и нечетни числа]]
* [[Малко число|Малки числа]]
* [[Голямо число|Големи числа]]
* [[Прости числа]]
* [[Трансцендентни числа]]
* [[Числа на Фибоначи]]
* [[Числа на маите]]
* [[Квантово число]]
* [[Масово число]]
* [[Цяло число]]
* [[Алгебрично число]]
* [[Съвършено число]]
* [[Съставно число]]
* [[Неперово число]]
* [[Реални числа]]
* [[Рационални числа]]
* [[Ирационални числа]]
* [[Комплексно число]]
* [[Естествено число]]
* [[Зенитно часово число]]
* [[Главно квантово число]]
* [[Координационно число]]
* [[Вълново число]]
* [[Галилеево число]]
* [[Правоъгълно число]]
* [[Безквадратно число]]
* [[Мерсеново просто число]]
* [[Имагинерно число]]
* [[Хиперкомплексно число]]
* [[Архимедово число]]
* [[Десетично число|Десетични числа]]
* [[Двоично число|Двоични числа]]
* [[Шестнадесетично число|Шестнадесетични числа]]
* [[Атомно число]]
* [[Взаимнопросто число]]
* [[Число на Мах]]
* [[Число на Рейнолдс]]
* [[Число на Девора]]
* [[Число на Греъм]]
* [[Число на Авогадро]]
}}

[[Категория:Числа| ]]