Преглед на кода на Хилбертови проблеми

'''Хилбертовите проблеми''' ca 23 нерешени от математиците проблема, представeни от [[Давид Хилберт]] по време на втория математически конгрес, проведен в [[Париж]] през 1900 г. Според него те ще определят целите на математиците през ХХ век.

Първият Хилбертов проблем се отнася до хипотезата за континуума на Кантор. През 1940 г. [[Курт Гьодел]] доказва, че хипотезата не може да бъде опровергана в рамките на теорията на множествата на Цермело-Френкел, дори ако се приеме [[Аксиома за избор|аксиомата за избора]]. През 1963 г. Пол Коен доказва, че хипотезата не може и да бъде доказана на базата на същата аксиоматика. И двамата предполагат, че аксиоматиката на Цермело-Френкел е вътрешно непротиворечива.

В таблицата са представени проблемите и тяхното състояние за момента – решеност, нерешеност, полу- или частична решеност.

== Таблица на 23-те проблема ==
23-те проблема на Хилберт са:

{| class="wikitable"
! Проблем
! Кратко обяснение
! Състояние
|-
| [[Първи проблем на Хилберт|1-ви]]
| [[Хипотеза за континуума|Хипотезата за континуума]] (тоест няма [[множество]], по-мощно от множеството на [[Цяло число|целите]] числа и по-малко мощно от множеството на [[реални числа|реалните числа]])
| style="background:#FFEE99;" | Гьодел доказва (1939), че ако аксиоматичната система на Цермело – Френкел е непротиворечива, то тя не може да опровергае хипотезата за континуума. Коен доказва (1969), че при същите предположения хипотезата не може да бъде доказана, т.е. че в най-широко използваната теория на множествата проблемът е нерешим. През последните две десетилетия се води дискусия за това дали хипотезата може да бъде доказана, или опровергана в рамките на друга теория на множествата. Водещият специалист в тази област Уилиам Удин работи върху формулирането на по-съвършена аксиоматична система от тази на Цермело – Френкел, която ще може да опровергае хипотезата за континуума. Неговият колега Джон Стийлс смята, че начинанието е безсмислено и обречено на неуспех.<ref>виж. Schindler R., [http://wwwmath1.uni-muenster.de/logik/Personen/rds/Grosse_Kardinalzahlen.ps ''Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen?'' (ps)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070807130225/http://wwwmath1.uni-muenster.de/logik/Personen/rds/Grosse_Kardinalzahlen.ps |date=2007-08-07 }}, Mathematische Semesterberichte, 53, 2006 и Schindler R., [http://wwwmath1.uni-muenster.de/logik/Personen/rds/Antrittsvorlesung.ps ''Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen?''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070807130719/http://wwwmath1.uni-muenster.de/logik/Personen/rds/Antrittsvorlesung.ps |date=2007-08-07 }}, встъпителна лекция, 2004</ref><ref>Cohen P., ''Set Theory and the Continuum Hypothesis.'' W. A. Benjamin Inc., New York 1966, ISBN 978-0-8053-2327-6</ref>
|-
| [[Втори проблем на Хилберт|2-ри]]
| Да се докаже непротоворечивостта на [[Пеанова аритметика|Пеановата аритметика]].
| style="background:#FFFF99;" | Проблемът е нерешим така, както е поставен от Хилберт, т.е. в рамките на Хилбертовата програма, която допуска използването на трансфинитна индукция само до <math>\omega</math> (първото безкрайно ординално число). Нерешимостта е следствие от [[Теорема за непълнотата|теоремата на Гьодел за непълнотата]]. Генцен успява обаче да покаже (1936) непротиворечивостта на Пеановата аритметика в по-малко строга метаматическа програма с височина на индукционните изводи до <math>\epsilon_0</math> (най-малкото ординално число, непредставимо като аритметичен израз от по-малки ординални числа). Доказано е, че този резултат не може да бъде подобрен.<ref>Барвайс Дж. (ред.), ''Справочная книга по математической логике. Теория доказательств и конструктивная математика'', Москва, „Наука“, 1983</ref><ref>Schütte K., ''Proof Theory'', Springer, 1977, ISBN 0-387-07911-4</ref><ref>Menzler-Trott E., ''Gentzens Problem'', Birkhäuser, 2001, ISBN 3-7643-6574-9</ref><ref>Deutsch M., ''Einführung in die Grundlagen der Mathematik'', Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8</ref> Тъй като използването на ординални числа, по-малки от <math>\epsilon_0</math>, е незначително отклонение от Хилбертовата програма, което не крие рискове, доказателството на Генцен се счита за решение на проблема.<ref>Макар че чрез трансфинитна индукция до <math>\epsilon_0</math> може да се докаже непротиворечивостта на аритметиката до <math>\omega</math>, за непротиворечивостта на използваните методи остава винаги някакво съмнение. Всеобщо приетото схващане е, че тези съмнения са пренебрежими и че евентуални парадокси в изложението на Генцен не могат и никога няма да бъдат намерени. Тази вяра се гради най-вече върху очевидната интуитивна близост между Генценовата и Хилбертовата програма.</ref>
|-
| [[Трети проблем на Хилберт|3-ти]]
| Може ли да се докаже, че два тетраедъра имат един и същ обем? (при определени допускания)
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: не, виж [[Инварианта на Ден]]
|-
| [[Четвърти проблем на Хилберт|4-ти]]
| Да се построят всички [[метрично пространство|метрики]], където правите линии са геодезични криви.
| style="background:#FFEE99;" | Неясно формулиран<ref>Според Rowe & Gray по-голямата част от проблемите са решени. Някои не са пълно/достатъчно добре дефинирани, но по тях има достатъчен напредък, за да могат да бъдат считани за „решени“.</ref> Според Rowe & Gray четвъртият проблем не е твърде добре дефиниран, за да бъде определено дали е решен или не.
|-
| [[Пети проблем на Хилберт|5-и]]
| Дали всички непрекъснати [[група (математика)|групи]] автоматично са [[групи на Ли]]?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен (1950, отговор положителен).
|-
| [[Шести проблем на Хилберт|6-и]]
| Пълна [[аксиоматизация]] на [[физика]]та.
| style="background:#FFEE99;" | Нерешен. Нематематически
|-
| [[Седми проблем на Хилберт|7-и]]
| Дали ''a''<sup>'' b''</sup> е [[Трансцендентни числа|трансцендентно]], за всяко [[алгебрично число]] ''a'' ≠ 0,1 и [[ирационални числа|ирационално]] алгебрично ''b'' ?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: да, виж [[Теорема на Гелфонд-Шнайдер]]
|-
| [[Осми проблем на Хилберт|8-и]]
| [[Римановата хипотеза]] („Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.) и [[Хипотеза на Голдбах|Хипотезата на Голдбах]] (всяко [[четност|четно]], по-голямо от 2, може да бъде записано като сбор от [[просто число|прости числа]]).
| style="background:#FFCCCC;" | Открит<ref>Осмият проблем се състои от два известни проблема, които все още не са решени. Първият от двата – [[Римановата хипотеза]], е един от седемте [[Проблеми на хилядолетието на института Клей|проблема на хилядолетието]], които се оказват „Хилбертовите проблеми“ на [[XXI век]].</ref>
|-
| [[Девети проблем на Хилберт|9-и]]
| Да се докаже най-общият [[закон за взаимност]] във всяко алгебрично [[числово поле]].
| style="background:#FFFF99;" | Частично решен<ref>Деветият проблем е решен в Абеловия случай с развитието на класическата теория на полето; неабеловият случай остава нерешен, ако се интерпретира с помощта на неабеловата класическа теория на полето.</ref>
|-
| [[Десети проблем на Хилберт|10-и]]
| Определяне решимостта на [[диофантово уравнение|диофантовите уравнения]].
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: не. От теоремата на Матиясевич следва, че това е невъзможно.
|-
| [[Единадесети проблем на Хилберт|11-и]]
| Решаване на [[квадратична форма|квадратични форми]] с алгебрични числови коефициенти.
| style="background:#FFFF99;" | Частично решен
|-
| [[Дванадесети проблем на Хилберт|12-и]]
| Разширяване на теоремата на Кронекер за абелови полета за [[рационално число|рационални числа]] над произволно [[числово поле]].
| style="background:#FFCCCC;" | Открит
|-
| [[Тринедесети проблем на Хилберт|13-и]]
| Решаване на всички уравнения от седма степен с помощта на функции на две променливи.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен
|-
| [[Четиринадесети проблем на Хилберт|14-и]]
| Доказателство за [[крайно множество|крайност]] за напълно определена система от функции.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: не, най-общо с контрапримери
|-
| [[Петнадесети проблем на Хилберт|15-и]]
| Строго обосноваване на изчислителното смятане на Шуберт.
| style="background:#FFFF99;" | Частично решен
|-
| [[Шестнадесети проблем на Хилберт|16-и]]
| [[Топология]] на реалните алгебрични криви и гранични цикли на полиномиални диференциални уравнения в равнината.
| style="background:#FFCCCC;" | Открит
|-
| [[Седемнадесети проблем на Хилберт|17-и]]
| Представяне на дефинитни рационални функции като частно на суми от квадрати.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: An upper limit was established for the number of square terms necessary
|-
| [[Осемнадесети проблем на Хилберт|18-и]]
| Нерегулярно запълване на пространството с конгруентни многостени. Кое е най-плътното опаковане на кълбото?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен<ref>Rowe & Gray also list the 18th problem as „открит“ in their 2000 book, because the sphere-packing problem (also known as the [[Kepler conjecture]]) was unsolved, but a solution to it has now been claimed (see reference below).</ref>
|-
| [[Деветнадесети проблем на Хилберт|19-и]]
| Решенията на регулярната задача на Лагранж винаги ли са [[аналитични]]?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: да
|-
| [[Двадесети проблем на Хилберт|20-и]]
| Общата задача за граничните условия винаги ли има решения?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Успешните изследвания през 20 век достигат кулминация при решаването на нелинейния случай.
|-
| [[Двадесет и първи проблем на Хилберт|21-ви]]
| Доказателство за съществуване на [[линейно диференциално уравнение|линейни диференциални уравнения]] с дадена монодромна група.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: Да или не, зависи от по-точните формулировки на проблема
|-
| [[Двадесет и втори проблем на Хилберт|22-ри]]
| Униформизиране на аналитичните зависимости с помощта на автоморфни функции.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен
|-
| [[Двадесет и трети проблем на Хилберт|23-ти]]
| Развитие на методите на вариационното смятане.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен
|}

=== Литература ===
* Александров П.С. (ред.), ''Проблемы Гильберта'', ИСФАРА, 2000, 5-1236-0064-7
* Bieberbach L., ''Über den Einfluß von Hilberts Pariser Vortrag über „Mathematische Probleme“ auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreißig Jahren'' в ''Naturwissenschaften'', '''18''', 51., 1930, ISSN 0028 – 1042
* Thiele R., Wos L., ''Hilbert's Twenty-Fourth Problem'' в ''Journal of Automated Reasoning'', '''29''', 1., 2002, ISSN 0168 – 7433
* Фельдман Н. И., ''Седьмая проблема Гильберта'', Издательство Московского университета, 1982
* Матиясевич Ю.В., ''Десятая проблема Гильберта'', Физматлит, 1993, ISBN 0-502-01432-6-Х
* Болтянский В. Г., ''Третья проблема Гильберта'', „Наука“, Москва, 1977

=== Бележки ===
<references />

[[Категория:Математика]]