Преглед на кода на Уравнения на Коши-Риман

{{без източници}}
'''Уравненията на Коши-Риман''' представляват система от две частни [[Диференциално уравнение|диференциални уравнения]], които гарантират, че една функция дефинирана в [[комплексно число|комплексната равнина]] '''C''' със стойности в '''C''' притежава производна (в смисъла на [[комплексен анализ|комплексния анализ]]).

== Производна на комплексна функция ==
Нека ''U'' е [[отворено множество|отворено]] подмножество на '''C''' и ''f'' : ''U'' → '''C''' е комплекснозначна функция дефинирана върху ''U''. Казваме, че ''f'' е ''комплексно-диференцируема'' в точка ''z''<sub>0</sub> от ''U'' ако [[граница (математика)|границата]]

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math> съществува.

Границата тук се взима по всички [[редица|редици]] от комплексни числа клонящи към ''z''<sub>0</sub>, и за всички тях горният израз трябва да клони към едно и също число, което се означава с ''f'' '(''z''<sub>0</sub>). Това число се нарича производна на функцията ''f'' в точката ''z''<sub>0</sub>.

== Формулировка на уравненията на Коши-Риман ==
Нека ''f''(''x'' + ''iy'') = ''u'' + ''iv'' е комплекснозначна функция от [[отворено множество|отворено]] подмножество на '''C''' в '''C''', където ''x'', ''y'', ''u'', и ''v'' са [[реално число|реални]], като ''u'' и ''v'' са функции с [[реално число|реални]] стойности дефинирани върху отворено подмножество на '''R'''<sup>2</sup>, които са диференцируеми в него. Тогава ''f'' е диференцируема в точка ''z''<sub>0</sub> тогава и само тогава, когато са изпълнени уравненията на Коши-Риман, които гласят:

:<math>{ \partial u \over \partial x } (z_0) = { \partial v \over \partial y } (z_0) </math> и <math>{ \partial u \over \partial y } (z_0) = -{ \partial v \over \partial x } (z_0) </math>

== Извеждане на уравненията ==
Разглеждаме функция ''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'', ''y'') със стойности в '''C'''. Искаме тази функция да притежава производна в точка ''z''<sub>0</sub> (тогава функцията е диференцируема в ''z''<sub>0</sub>). Както споменахме, за да съществува производната в дадена точка е необходимо границата
:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math>
да съществува и да една и съща по всички редици комплексни числа, клонящи към ''z''<sub>0</sub>. Тогава да разгледаме два случая: когато ''z'' клони към ''z''<sub>0</sub> по направление успоредно на оста ''x'', и когато клони по направление успоредно на оста ''y''.

В първия случай имаме:
:{|
|-
|<math>f'(z)\,</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]}.</math>
|}
Тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на ''u'' и ''v'':

:<math>f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.</math>

Във втория случай имаме:

:{|
|-
|<math>f'(z)\,</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.</math>
|}
Отново, тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на ''u'' и ''v'':

:<math>f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.</math>

Приравнявайки двете стойности за производната получаваме:

:<math>{\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.</math>

Приравняваме реалните и имагинерните части:

:<math>{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}</math>

:<math>{\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}.</math>

== Холоморфни функции ==
Уравненията на Коши-Риман често се използват за проверка дали една функция е [[холоморфна функция|холоморфна]]. За да бъде холоморфна една функция в дадена точка ''z''<sub>0</sub> е необходимо тя да притежава производна както в ''z''<sub>0</sub>, така и в някаква околност на ''z''<sub>0</sub>. Тогава, ако имаме отворено подмножество ''U'' на комплексната равнина '''C''' и функцията ''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'', ''y''), дефинирана в ''U'', то ''f'' е холоморфна в ''U'' тогава и само тогава, когато ''u'' и ''v'' са непрекъснато диференцируеми в ''U'' и за всяка точка от ''U'' ''u'' и ''v'' удовлетворяват уравненията

:<math>{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }</math> и <math>{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x }</math>

[[Категория:Математически анализ]]
[[Категория:Функционални уравнения]]