Преглед на кода на Умножение на матрици

{{обработка|превеждане английски термини на български}}
{{експерт}}
В [[математика]]та, '''умножение на матрици''' е [[бинарна операция]], при която от две [[матрица (математика)|матрици]] се изчислява нова матрица.
[[Число]] от [[реалните]] или [[комплексни числа]] може да бъде [[умножение|умножено]] според [[елементарната аритметика]]. От друга страна, матриците са ''масиви от числа'', така че не съществува един-единствен начин да се дефинира „умножението“ на матрици. Затова терминът „умножение на матрици“ се отнася до различни начини за умножение на матрици. Основните особености на което и да е умножение на матрици включва: броят на редовете и колоните на изходните матрици (наричат се [[Матрица (математика)#Размер|„размер“, „ред“ или „измерение“]]), и упоменават как клетките на матрицата генерират новата матрица.

Както [[вектори (математика и физика)|векторите]], матрици с какъвто и да е размер могат да бъдат умножени по [[скалар (математика)|скалари]], което се свежда до умножаване на всяка една от клетките по едно и също число. Подобно на определението за [[добавяне|добавяне или изваждане на матрици]], се прави и умножението на две матрици с еднакъв размер на съответните клетки и резултатът се нарича [[произведение (матрици)|произведение на Адамар]]. Другият начин е да се получи [[произведение на Крокенер]] от две матрици, за да се получи [[матрица с блочна форма]].

Могат да бъдат изведени още много определения. Най-полезната дефиниция може да бъде продиктувана от [[линейно уравнение#Матрична форма|линейно уравнение]] и [[линейна трансформация]] на вектори, които имат приложение в [[математиката]], [[физиката]], и [[инженерството]]. Това определение често се нарича '''матрично произведение'''.<ref name="Physics 1991">{{cite book|title=Encyclopaedia of Physics|url=https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern|edition=2nd|first1=R. G. |last1=Lerner | first2= G.

L. |last2 = Trigg|publisher=VHC publishers|date=1991|isbn=3-527-26954-1}}</ref><ref>{{cite book|title=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics|edition=2nd|first = C. B. |

last = Parker|date=1994|isbn=0-07-051400-3}}</ref> С други думи, ако {{math|'''A'''}} е {{math|''n'' × ''m''}} матрица и {{math|'''B'''}} е {{math|''m'' × ''p''}} матрица, тяхното матрично произведение {{math|'''AB'''}} е{{math|''n'' × ''p''}} матрица, в която {{math|''m''}} клетките по редовете {{math|'''A'''}} се умножават с {{math|''m''}} клетките по колоните {{math|'''B'''}}.

Тази дефиниция не е [[комутативна]], въпреки че запазва своята [[асоциативност]] и [[дистрибутивност]] при събирането на матричните клетки. [[Единичният елемент]] на матричното произведение (аналогично на умножаване на числа по едно), и квадратна матрица могат да имат [[обратима матрица]] (аналогично на [[реципрочна стойност]] на число). Последствие от матричното произведение е
[[Детерминанта#Мултипликативност и матрични групи|детерминантна мултипликативност]]. Получаването на матрично произведение е важна операция в [[линейните трансформации]], [[матрична група]] и теорията за [[групова репрезентация]] и [[редуцибилната репрезентация]].

Изчисляването на матрични произведения е основна операция в много [[числови алгоритми]]и има вероятност да е времеотнемаща, което я прави един от най-изучаваните проблеми в [[цифровите изчисления]]. Измислени са различни алгоритми за изчисляване на {{math|'''C''' {{=}} '''AB'''}}, особено за големи матрици.

Тази статия спазва следните конвенции: матриците са представени от главни букви с удебелен шрифт, например {{math|'''A'''}}, [[евклидов вектор|вектори]] с малки букви с удебелен шрифт, например {{math|'''a'''}}, а клетките на векторите и матриците са с наклонен шрифт (тъй като са [[скалар (математика)|скалари]]), например {{math|''A''}} и {{math|''a''}}. [[Индексната нотация]] често е най-ясният начин да се изразят определенията, и е приета като стандарт в литературата. Клетката {{math|''i, j''}} на матрица {{math|'''A'''}} се обозначава от{{math|('''A''')<sub>''ij''</sub>}} или {{math|''A''<sub>''ij''</sub>}}, докато a цифрово обозначение (не матрична клетка) в колекция от матрици само е подчертано, например: {{math|'''A'''<sub>1</sub>, '''A'''<sub>2</sub>}}, и т.н.

== Скаларно умножение ==
{{Основна|Скаларно умножение}}

Най-простата форма на умножение на матрици е скаларното умножение, което е частен случай на [[произведението на Кронекер]].

'''Лявото скаларно умножение''' на матрица {{math|'''A'''}} със скаларен множител {{math|''λ''}} дава друга матрица {{math|''λ'''''A'''}} със същия размер като {{math|'''A'''}}. се определя с уравнението {{math|''λ'''''A'''}}:

:<math> (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,</math>

подробно:

:<math> \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.</math>

По подобен начин, '''дясното скаларно умножение''' на матрица {{math|'''A'''}} със скаларен множител {{math|''λ''}} е

:<math> (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,, </math>

подробно:

:<math> \mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda \\
 A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \\
\end{pmatrix}\,.</math>

Когато подстоящият [[пръстен (mathematics)|пръстен]] е [[комутативен]], например, [[реалните числа|реално]] или [[комплексното число]] [[Поле (mathematics)|поле]], тези две умножения са еквивалентни, и се наричат ''скаларно умножение''. За матрици в по-общ [[пръстен (mathematics)|пръстен]] които ''не'' са комутативни, каквито са [[кватернион]]ите, те може да не са равни.

При реален скаларен множител и матрица:

:<math> \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}</math>

:<math> 2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.</math>

При скаларен множител кватернион и матрици:

:<math> \lambda = i, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
 i & 0 \\
 0 & j \\
 \end{pmatrix}</math>

:<math>
 i\begin{pmatrix}
 i & 0 \\
 0 & j \\
 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 i^2 & 0 \\
 0 & ij \\
 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 -1 & 0 \\
 0 & k \\
 \end{pmatrix}
\ne \begin{pmatrix}
 -1 & 0 \\
 0 & -k \\
 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 i^2 & 0 \\
 0 & ji \\
 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 i & 0 \\
 0 & j \\
 \end{pmatrix}i\,,
</math>

където {{math|''i'', ''j'', ''k''}} са кватернионите. Некомутативността на умножението на кватерниони не позволява прехода на {{math|''ij'' {{=}} +''k''}} към {{math|''ji'' {{=}} −''k''}}.

== Произведение на матрици (две матрици) ==
Да допуснем че две матрици ще бъдат умножени (по-долу се разглежда случай, сведен до каквото и да е число).

=== Обща дефиниция на матрично произведение ===
[[Файл:Matrix multiplication row column correspondance.svg|дясно|300px|мини|Arithmetic process of multiplying numbers (solid lines) in <span style="color:blue;">row {{math|''i''}} in matrix {{math|'''A'''}}</span> and <span style="color:#FF7E00;">column {{math|''j''}} in matrix {{math|'''B'''}}</span>, ''then'' adding the terms (dashed lines) to obtain entry {{math|''ij''}} in the final matrix.]]

Ако {{math|'''A'''}} е {{math|''n'' × ''m''}} матрица и {{math|'''B'''}} е {{math|''m'' × ''p''}} матрица,

:<math>\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
 A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
 A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}
 B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\
 B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mp} \\
\end{pmatrix}</math>

'''матричното произведение''' {{math|'''AB'''}} (обозначено без знаци за умножение или точки) представлява {{math|''n'' × ''p''}} матрица<ref>{{cite book|title=Linear Algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3|edition=4th| first1 = S. | last1 = Lipschutz | first2 = M. | last2 = Lipson|series=Schaum's Outlines|publisher=McGraw Hill (USA)|date=2009|pages=30 – 31|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref><ref>{{cite book|title=Mathematical methods for physics and engineering| first1 = K. F. | last1 = Riley | first2 = M. P. | last2 = Hobson | first3 = S. J. | last3 = Bence|publisher=Cambridge University Press|date=2010|isbn=978-0-521-86153-3}}</ref><ref>{{cite book|title=Calculus, A Complete Course|edition=3rd| first = R. A. | last = Adams|publisher=Addison Wesley|date=1995|page=627|isbn=0 201 82823 5}}</ref><ref>{{cite book|title=Matrix Analysis| last = Horn | first = Johnson|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|date=2013|page=6|isbn=978 0 521 54823 6}}</ref>

:<math>\mathbf{A}\mathbf{B} =\begin{pmatrix}
 \left(\mathbf{AB}\right)_{11} & \left(\mathbf{AB}\right)_{12} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{1p} \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{21} & \left(\mathbf{AB}\right)_{22} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{n1} & \left(\mathbf{AB}\right)_{n2} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{np} \\
\end{pmatrix}</math>

където всяка {{math|''i, j''}} клетка се получава при умножаването на клетките {{math|''A<sub>ik</sub>''}} (хоризонтален ред {{math|''i''}} на {{math|'''A'''}}) по клетките {{math|''B<sub>kj</sub>''}} (вертикална колона {{math|''j''}} на {{math|'''B'''}}), за {{math|''k'' {{=}} 1, 2, ..., ''m''}}, и сумирането на резултатите в {{math|''k''}}:

:<math> (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\,. </math>

По този начин произведението {{math|'''AB'''}} се определя само ако броят на колоните в {{math|'''A'''}} е равен на броя на редовете в {{math|'''B'''}}, в този случай {{math|''m''}}. Клетките могат да бъдат изчислявани една по една. Понякога, [[конвенцията за сумиране на Айнщайн]] се използва, за да се разбере сумата на повтарящия се индекс {{math|''k''}}. За да се избегне двусмислие, конвенцията няма да бъде засегната в тази статия.

Обикновено клетките са цифри или [[Израз (mathematics)|изрази]], но могат самите те да бъдат матрици (виж [[блок матрици]]). И в този случай матричното произведение пак се изчислява по същия начин. Може да се види подробно [[#The inner and outer products|по-долу]] как матричното произведение може да бъде изчислено на базата на блокове, които приемат формата на редове и колони.

=== Илюстриране ===
[[Файл:Matrix multiplication diagram 2.svg|дясно]]

Фигурата отдясно илюстрира чрез диаграма произведението на две матрици {{math|'''A'''}} and {{math|'''B'''}}, и показва как всеки отрязък в матричното произведение отговаря на ред от {{math|'''A'''}} и колона от {{math|'''B'''}}.

:<math>
\overset{4\times 2 \text{ matrix}}{\begin{bmatrix}
{\color{Brown}{a_{11}}} & {\color{Brown}{a_{12}}} \\
\cdot & \cdot \\
{\color{Orange}{a_{31}}} & {\color{Orange}{a_{32}}} \\
\cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}

\overset{2\times 3\text{ matrix}}{\begin{bmatrix}
\cdot & {\color{Plum}{b_{12}}} & {\color{Violet}{b_{13}}} \\
\cdot & {\color{Plum}{b_{22}}} & {\color{Violet}{b_{23}}} \\
\end{bmatrix}}

= \overset{4\times 3\text{ matrix}}{\begin{bmatrix}
\cdot & x_{12} & x_{13} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & x_{32} & x_{33} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}
</math>

Стойностите на отрязъците обозначени с кръгове са:

:<math>\begin{align}
x_{12} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{13} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Violet}{b_{23}}} \\
x_{32} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{33} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Violet}{b_{23}}}
\end{align}</math>

=== Примери за произведение на матрици ===

==== [[Вектор ред]] и [[вектор колона]] ====
Ако

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,</math>

техните матрични произведения са:

:<math>\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = ax + by + cz \,,
</math>

и

:<math>\mathbf{BA} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
xa & xb & xc \\
ya & yb & yc \\
za & zb & zc
\end{pmatrix} \,.
</math>

Обърнете внимание, че {{math|'''AB'''}} и {{math|'''BA'''}} са две различни матрици: първата е {{math|1 × 1}} матрица докато втората е {{math|3 × 3}} матрица. Такива изрази се срещат при реални стойности в [[Евклидов вектор|Евклидови вектори]] в [[Декартова координатна система]]и, представени като матрици с редове и колони, при което {{math|'''AB'''}} е матричната форма на тяхното [[скаларно произведение]], докато {{math|'''BA'''}} е матричната форма на тяхното [[диадно тензорно|диадно]] или тензорно произведение.

==== [[Матрица (математика)|Квадратна матрица]] и вектор колона ====
Ако

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,</math>

матричното произведение е:

:<math>\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
ax + by + cz \\
px + qy + rz \\
ux + vy + wz
\end{pmatrix}\,,
</math>

при което {{math|'''BA'''}} не е определено.

До произведението на квадратна матрица умножена по матрица от колона се достига естествено в [[линейната алгебра]]; за решаване на [[линейни уравнения]] и представянето им като [[линейни трансформации]].

==== Квадратни матрици ====
Ако

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,</math>

техните матрични произведения са:

:<math>\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \\
p\alpha + q\lambda + r\rho & p\beta + q\mu + r\sigma & p\gamma + q\nu + r\tau \\
u\alpha + v\lambda + w\rho & u\beta + v\mu + w\sigma & u\gamma + v\nu + w\tau
\end{pmatrix}\,,
</math>

и

:<math>\mathbf{BA} = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\alpha a + \beta p + \gamma u & \alpha b + \beta q + \gamma v & \alpha c + \beta r + \gamma w \\
\lambda a + \mu p + \nu u & \lambda b + \mu q + \nu v & \lambda c + \mu r + \nu w \\
\rho a + \sigma p + \tau u & \rho b + \sigma q + \tau v & \rho c + \sigma r + \tau w
\end{pmatrix}\,.
</math>

В този случай, и двете произведения {{math|'''AB'''}} and {{math|'''BA'''}} са дефинирани, и клетките показват, че {{math|'''AB'''}} и {{math|'''BA'''}} по принцип не са равни.

Умножението на квадратни матрици, които представят линейни transformations отговаря на composite transformation (за детайли виж по-долу).

==== Вектор ред, квадратна матрица, и вектор колона ====
Ако

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,</math>

тяхното матрично произведение е:

:<math>\begin{align}
\mathbf{ABC} & = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha x + \beta y + \gamma z \\
\lambda x + \mu y + \nu z \\
\rho x + \sigma y + \tau z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\\
& = a\alpha x + b\lambda x + c\rho x + a\beta y + b\mu y + c\sigma y + a\gamma z + b\nu z + c\tau z \,,\end{align}
</math>

{{math|'''CBA'''}} не е дефинирано. Обърнете внимание, че {{math|'''A'''('''BC''') {{=}} ('''AB''')'''C'''}}, това е едно от мнгото общи свойства, които са описани по-долу. Изрази като {{math|'''ABC'''}} се срещат когато се изчислява вътрешното произведение на два вектора, представени като вектор ред и вектор колона в произволна [[координатна система]], и [[метричен тензор]] в тези координати обозначени като квадратна матрица.

==== Четириъгълни матрици ====
Ако

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,</math>

техните матрични произведения са:

:<math>\mathbf{A}\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a\alpha + b\beta + c \gamma & a\rho + b\sigma + c \tau \\
x\alpha + y\beta + z \gamma & x\rho + y\sigma + z \tau \\
\end{pmatrix}
\,,</math>

и

:<math>\mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha a + \rho x & \alpha b + \rho y & \alpha c + \rho z \\
\beta a + \sigma x & \beta b + \sigma y & \beta c + \sigma z \\
\gamma a + \tau x & \gamma b + \tau y & \gamma c + \tau z
\end{pmatrix}
\,.</math>

=== Свойства на матричното произведение (две матрици) ===
Подобно на [[число]]а (елементи на [[Поле (mathematics)|поле]]), матриците отговарят на следните общи свойства [[Field (mathematics)#Definition and illustration|general properties]], въпреки че съществува една особеност, която се дължи на природата на умножението на матрици.<ref>{{cite book|title=Linear Algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3|edition=4th| first1 = S. | last1 = Lipcshutz | first2 = M. | last2 = Lipson|series=Schaum's Outlines|publisher=McGraw Hill (USA)|chapter=2|date=2009|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref><ref>{{cite book|title=Matrix Analysis| last = Horn | first = Johnson|edition=2nd|chapter=0|publisher=Cambridge University Press|date=2013|isbn=978 0 521 54823 6}}</ref>

==== Всички матрици ====
{{ordered list
|1= '''Not [[commutative]]:'''

В общия случай:
:<math>\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}</math>
защото {{math|'''AB'''}} и {{math|'''BA'''}} може да не са дефинирани едновременно, и дори и да са, може пак да не са еквивалентни. Това е обратно на обикновеното [[умножение]] на числа. Нека изясним какво представлява подредбата: „Предварително умножение“ (или ляво умножение) {{math|'''A'''}} by {{math|'''B'''}}" означава {{math|'''BA'''}}, докато „пост умножение“ (или дясно умножение) {{math|'''A'''}} by {{math|'''C'''}}" означава {{math|'''AC'''}}. Докато клетките на матрицата идват от пръстен който е единичен, и {{math|''n'' > 1}} в границите на пръстена съществува двойка {{math|''n'' × ''n''}} некомутативни матрици. Изключение, което си струва да се отбележи е, че [[единична матрицата]] (или който и да е неин скаларен множител) комутира с всяка квадратна матрица.

В индексна нотация:
:<math>\sum_k A_{ik}B_{kj} \neq \sum_k B_{ik}A_{kj}</math>

|2= '''[[Дистрибутивно свойство|Дистрибутивно]] в matrix addition(допълването на матрицата):'''

<br>Лява дистрибутивност:
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}</math>

Дясна дистрибутивност:
:<math>(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}</math>

В индексна нотация, те са съответно:
:<math>\sum_k A_{ik}(B_{kj} + C_{kj}) = \sum_k A_{ik}B_{kj} + \sum_k A_{ik}C_{kj}</math>
:<math>\sum_k (A_{ik} + B_{ik}) C_{kj} = \sum_k A_{ik}C_{kj} + \sum_k B_{ik}C_{kj}</math>

|3= '''[[Скаларното умножение]] се съгласува с умножаването на матрици:'''
:<math> \lambda(\mathbf{AB}) = (\lambda \mathbf{A})\mathbf{B}</math> and <math> (\mathbf{A} \mathbf{B})\lambda=\mathbf{A}(\mathbf{B}\lambda)</math>
където {{math|''λ''}} е скаларен множител. Ако клетките а матрицата са реални или комплексни числа (или от друг[[комутативен пръстен]]), тогава всичките четири стойности за равни. По-общо казано, всичките четири са равни ако{{math|''λ''}} принадлежи на [[center (algebra)|center]] на пръстена от клетки на матрицата, защото в този случай {{math|''λ'''''X''' {{=}} '''X'''''λ''}} за всички матрици {{math|'''X'''}}. В индексна нотация, те са съответно:
:<math>\lambda \sum_k (A_{ik}B_{kj}) = \sum_k (\lambda A_{ik}) B_{kj} = \sum_k A_{ik} (\lambda B_{kj}) </math>
:<math>\sum_k (A_{ik}B_{kj}) \lambda = \sum_k (A_{ik} \lambda) B_{kj} = \sum_k A_{ik} (B_{kj} \lambda) </math>

|4= '''[[Транспонирана матрица]]:'''
:<math> (\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T}</math>
където 	{{math|T}} обозначава транспонираната матрица, обмяната в матрица на ред {{math|''i''}} с колона {{math|''i''}}. Тази универсалност важи за всякакви матрици в комутативен пръстен, но не общо за всички пръстени. Обърнете внимание, че {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} са обърнати.

В индексна нотация:
:<math>\begin{align}
\left[(\mathbf{AB})^\mathrm{T}\right]_{ij}&=\left(\mathbf{AB}\right)_{ji}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}\right)_{jk}\left(\mathbf{B}\right)_{ki}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)_{kj}\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)_{ik}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)_{ik}\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)_{kj}\\
&=\left[\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)\right]_{ij}
\end{align}</math>

|5= '''[[Матрица от комплексни числа]]:'''
Ако клетките на {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} са комплексни числа, тогава
:<math> (\mathbf{AB})^\star = \mathbf{A}^\star\mathbf{B}^\star </math>
където{{math|*}} обозначава [[матрица от комплексни числа]].

В индексна нотация:
:<math>\begin{align}
\left[(\mathbf{AB})^\star\right]_{ij}&=\left[\sum_k\left(\mathbf{A}\right)_{ik}\left(\mathbf{B}\right)_{kj}\right]^\star\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}\right)^\star_{ik}\left(\mathbf{B}\right)^\star_{kj}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\star\right)_{ik}\left(\mathbf{B}^\star\right)_{kj}\\
&=\left(\mathbf{A}^\star\mathbf{B}^\star\right)_{ij}
\end{align}</math>

|6= '''[[Транспонирана матрица от комплексни числа]]:'''

Ако клетките на{{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} са съставени от комплексни числа, тогава

:<math> (\mathbf{AB})^\dagger = \mathbf{B}^\dagger\mathbf{A}^\dagger </math>

където{{math|†}} обозначава транспонираната матрица от комплексни числа.

В индексна нотация:
:<math>\begin{align}
\left[(\mathbf{AB})^\dagger\right]_{ij} &=\left[\left(\mathbf{AB}\right)^\star\right]_{ji}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\star\right)_{jk}\left(\mathbf{B}^\star\right)_{ki}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\dagger\right)_{kj}\left(\mathbf{B}^\dagger\right)_{ik}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{B}^\dagger\right)_{ik}\left(\mathbf{A}^\dagger\right)_{kj}\\
&=\left[\left(\mathbf{B}^\dagger\right)\left(\mathbf{A}^\dagger\right)\right]_{ij}
\end{align}</math>

|7= '''[[Следа (линейна алгебра)|Следи]]:'''
Следата на произведение {{math|'''AB'''}} е независимо от реда на {{math|'''A'''}} и{{math|'''B'''}}:
:<math> \mathrm{tr}(\mathbf{AB}) = \mathrm{tr}(\mathbf{BA}) </math>

В индексна нотация
:<math>\begin{align}
\mathrm{tr}(\mathbf{AB}) &=\sum_i \sum_k A_{ik}B_{ki}\\
&=\sum_k\sum_i B_{ki}A_{ik}\\
&=\mathrm{tr}(\mathbf{BA})
\end{align}</math>

}}

{{for|extensive details on [[differential of a function|differentials]] and [[derivative]]s of products of [[matrix function]]s|matrix calculus}}

==== Само квадратни матрици ====
{{основна|квадратна матрица}}

{{ordered list
|1= '''[[Identity element]]:'''

Ако {{math|'''A'''}} е квадратна матрица, тогава

:<math> \mathbf{AI} = \mathbf{IA} = \mathbf{A}</math>

където{{math|'''I'''}} е единична матрица със същата подредба.

|2= '''[[Обратима матрица]]:'''

Ако {{math|'''A'''}} е квадртна матрица, ''може'' да е обратима матрица {{math|'''A'''<sup>−1</sup>}} of {{math|'''A'''}} such that

:<math> \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}</math>

Ако това свойсво е в сила, тогава {{math|'''A'''}} е обратима матрица]], ако не тогава {{math|'''A'''}} е [[необратима матрица]]. Също така,
:<math> (\mathbf{AB})^\mathrm{-1} = \mathbf{B}^\mathrm{-1}\mathbf{A}^\mathrm{-1}</math>

|3= '''[[Детерминанта]]и:'''

Когато детерминантата на матрица е дефинирана (т.е. когато подлежащият пръстен е комутативен), ако {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} са квадратни матрици със същата подредба, детерминантата на тяхното произведение {{math|'''AB'''}} е еквивалентна на произведението на техните детерминанти:

:<math> \det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B}) </math>

При положение че{{math|det('''A''')}} и {{math|det('''B''')}} са елементи от въпросния комутативен пръстен, {{math|det('''A''')det('''B''') {{=}} det('''B''')det('''A''')}}, тогава {{math|det('''AB''') {{=}} det('''BA''')}}, дори когато {{math|'''AB''' ≠ '''BA'''}}.
}}

== Произведение на матрици (произволен брой) ==
Умножението на матрици може да бъде разширено до случая, в който участват повече от две матрици, като всяка една двойка матрици трябва да удовлетворява предварителното условие за размерността.

Произведението на {{math|''n''}} матрици {{math|'''A'''<sub>1</sub>, '''A'''<sub>2</sub>, ..., '''A'''<sub>''n''</sub>}} с резмерности {{math|''s''<sub>0</sub> × ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>1</sub> × ''s''<sub>2</sub>, ..., ''s''<sub>''n'' × 1</sub> × ''s''<sub>''n''</sub>}} (където {{math|''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ..., ''s''<sub>''n''</sub>}} са положителни числа, като индексите съответстват на тези на матриците), матрицата с размерност {{math|''s''<sub>0</sub> × ''s''<sub>''n''</sub>}} :

:<math> \prod_{i=1}^n \mathbf{A}_i = \mathbf{A}_1\mathbf{A}_2\cdots\mathbf{A}_n \, </math>

Разписано с индекси:

:<math> \left(\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2\cdots\mathbf{A}_n\right)_{i_0 i_n} = \sum_{i_1=1}^{s_1}\sum_{i_2=1}^{s_2}\cdots\sum_{i_{n-1}=1}^{s_{n-1}} \left(\mathbf{A}_1\right)_{i_0 i_1}\left(\mathbf{A}_2\right)_{i_1 i_2}\left(\mathbf{A}_3\right)_{i_2 i_3} \cdots \left(\mathbf{A}_{n-1}\right)_{i_{n-2}i_{n-1}}\left(\mathbf{A}_n\right)_{i_{n-1}i_n}</math>

=== Свойства на матричното произведение (произволен брой) ===
Свойствата са в сила, докато редът на матриците не е променен. Някои от предишните свойства, валидни за две матрици, могат да бъдат обобщени както следва.

{{ordered list
|1= '''[[Associative property|Асоциативност]]:'''

<br />Умножението на матрици е асоциативно. Ако три матрици {{math|'''A''', '''B'''}}, и {{math|'''C'''}} са съответно с размерности {{math|''m'' × ''p''}}, {{math|''p'' × ''q''}}, и {{math|''q'' × ''r''}}, то тогава имаме два начина, по който бихме могли да ги групираме, без да променим техния ред, и

:<math>\mathbf{ABC} = \mathbf{A}(\mathbf{BC}) = (\mathbf{AB})\mathbf{C}</math>

е матрицата с размерност {{math|''m'' × ''r''}}

<br />Ако четири матрици {{math|'''A''', '''B''', '''C'''}}, и {{math|'''D'''}} са съответно с размерности {{math|''m'' × ''p''}}, {{math|''p'' × ''q''}}, {{math|''q'' × ''r''}}, и {{math|''r'' × ''s''}}, то тогава имаме пет начина, по който бихме могли да ги групираме, без да променим техния, и

:<math> \mathbf{ABCD} = ((\mathbf{AB})\mathbf{C})\mathbf{D}=(\mathbf{A}(\mathbf{BC}))\mathbf{D}=\mathbf{A}((\mathbf{BC})\mathbf{D})=\mathbf{A}(\mathbf{B}(\mathbf{CD}))=(\mathbf{AB})(\mathbf{CD}) </math>

матрица с размерност {{math|''m'' × ''s''}}

<br />Обобщено, броят на възможните начини на групиране на {{math|''n'' }} матрици при умножение е равен на {{math|(''n'' − 1)}}-вото число на Каталан.

|2= '''Следа:'''

Следата на произведението на {{math|''n''}} матрици {{math|'''A'''<sub>1</sub>, '''A'''<sub>2</sub>, ..., '''A'''<sub>''n''</sub>}} не се променя при [[cyclic permutation|циклични пермутации]] на матриците в произведението:

:<math> \mathrm{tr}(\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2\mathbf{A}_3\ldots\mathbf{A}_{n-2}\mathbf{A}_{n-1}\mathbf{A}_n) = \mathrm{tr}(\mathbf{A}_2\mathbf{A}_3\mathbf{A}_4\ldots\mathbf{A}_{n-1}\mathbf{A}_n\mathbf{A}_1) = \mathrm{tr}(\mathbf{A}_3\mathbf{A}_4\mathbf{A}_5\ldots\mathbf{A}_n\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2) = \ldots </math>

|3= '''[[Determinant|Детерминанта]]:'''

Единствено за квадратни матрици е в сила че, детерминантата на произведението на матрици е произведение от детерминантите на всяка отделна матрица:

:<math> \det\left(\prod_{i=1}^n \mathbf{A}_i \right) = \prod_{i=1}^n \det\left(\mathbf{A}_i\right)</math>
}}

== Операции, произлизащи от умножението на матрици ==
Повечето операции върху квадратни матрици могат да бъдат дефинирани посредством умножението на матрици. Например [[степенуване]]то и [[коренуване]]то на матрица могат да бъдат представени чрез многократно прилагане на умножението на матрици, [[матрична експонента|матричната експонента]] може да бъде дефинирана чрез [[степенен ред|степенни редове]], [[матричен логаритъм|матричния логаритъм]] е обратната операция на матричната експоненто и т.н.

=== Степенуване на матрица ===
Квадратните матрици могат да бъдат умножени една с друга многократно по подобие на числата, защото те винаги запазват своя брой на редове и колони. Това многократно умножение може да се представи като '''степенуване на матрица''', специален случай на умножението на матрици. От друга страна, ''правоъгълните'' матрици нямат същия брой на редове и колони и поради тази причина те ''никога'' не могат да бъдат повдигнати на степен. Матрица {{math|'''A'''}} с размерност {{math|''n'' × ''n''}}, повдигната на степен {{math|''k''}} цяло число, се дефинира по следния начин

:<math>\mathbf{A}^k = \underset{k \mathrm{\, times}}{\mathbf{A}\mathbf{A}\cdots\mathbf{A}}</math>

и следните свойства са в сила, където {{math|''λ''}} е скалар:

1. '''Нулева степен:'''

<math>\mathbf{A}^0 = \mathbf{I}</math>

където '''I''' е [[identity matrix|единичната матрица]]. Това е съпоставимо с [[Exponentiation#Arbitrary integer exponents|повдигането на степен нула]] на кое и да е число, което е равно на единица.

2. '''Умножение със скалар:'''

<math> (\lambda \mathbf{A})^k = \lambda^k\mathbf{A}^k</math>

3. '''Детерминанта:'''

<math> \det(\mathbf{A}^k) = \det(\mathbf{A})^k </math>

Наивният подход при степенуване на матрица е матрицата {{math|'''A'''}} да се умножи {{math|''k''}} пъти. Този метод б могъл да бъде оптимизиран чрез използване на алгоритъм за [[exponentiation by squaring|бързо пресмятане на степен]] – метод предимно използван за скалари. За матрици, които са [[diagonalizable matrices|подобни на диагоналните]], още по-добър вариант е да се използва [[Eigendecomposition of a matrix|спектралната декомпозиция]] на {{math|'''A'''}}. Друг метод, базиран на [[Cayley–Hamilton theorem|теоремата на Хамилтон-Кейли]] намира по-ефективно уравнение за {{math|'''A'''<sup>''k''</sup>}}, в което даден скалар се повдига на нужната степен отколкото цялата ''матрица''.

Специален случай е степенуването на [[diagonal matrix|диагонална матрица]]. Понеже умножаването на диагонални матрици се състои просто в умножение на съответните диагонални елементи, диагоналната матрица {{math|'''A'''}} на степен {{math|''k''}} ще се състои от елементи, повдигнати на степента. По-подробно;
:<math>
 \mathbf{A}^k = \begin{pmatrix}
 A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & A_{22} & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & \cdots & A_{nn}
 \end{pmatrix}^k =
\begin{pmatrix}
 A_{11}^k & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & A_{22}^k & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & \cdots & A_{nn}^k
 \end{pmatrix}
</math>

което означава, че степенуването на диагонална матрица е лесна операция. При степенуване на произволна матрица (не е нужно да бъде диагонална), в много случаи е полезно да се използва това свойство.

== Приложения на умножението на матрици ==
=== Линейни трансформации ===
{{main|Linear transformations}}

Матриците предоставят сбит начин на представяне на [[linear transformation|линейни изображения]] между [[vector space|векторни пространства]] и умножението на матрици съответства на [[Function composition|композицията]] на линейни изображения. Произведението на две матрици може да бъде дефинирано, когато елементите им принадлежат на същия пръстен [[ring (mathematics)|пръстен]] и следователно може да бъде добавян и умножаван.

Нека {{math|''U'', ''V''}}, и {{math|''W''}} са линейни пространства над едно и също [[Field (mathematics)|поле]] с дадени [[basis (linear algebra)|базиси]], {{math|''S'': ''V'' > ''W''}} и {{math|''T'': ''U'' > ''V''}} са [[linear transformation|линейни изображения]] и {{math|''ST'': ''U'' > ''W''}} е тяхната композиция.

Да предположим, че {{math|'''A''', '''B'''}}, и {{math|'''C'''}} са матриците, представящи изображенията {{math|''S'', ''T''}}, и {{math|''ST''}} спрямо дадените базиси.

Тогава матрицата {{math|'''AB''' {{=}} '''C'''}}, композицията (или произведението) на линейни изображения е произведението на техните матрици спрямо дадените базиси.

=== Система линейни уравнения ===
[[system of linear equations|Система линейни уравнения]] с еднакъв брой уравнения и неизвестни може да бъде решена чрез съставянето на матрица от коефициентите на уравненията.

Сходна процедура може да бъде използвана при решаването на [[linear differential equation|линейни диференциални уравнения]].

== Векторно и диадно произведение ==

При дадени два ''[[column vector|вектор стълба]]'' {{math|'''a'''}} и {{math|'''b'''}}, скаларното произведение и диадното произведение са най-простите случаи на матрично произведение.

=== Скаларно произведение ===
'''Скаларното произведение''' на два вектора в матричен вид е еквивалентно на вектор стълб, умножен от лявата си страна с вектор ред:
:<math>\begin{align}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} &=\mathbf{a}^\mathrm{T}\mathbf{b}\\
&=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\\
&=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\\
&=\sum_{i=1}^n a_ib_i,
\end{align}</math>
където {{math|'''a'''<sup>T</sup>}} е [[Matrix transpose|транспонираната матрица]] на '''a'''.

Матричното произведение може да се представи под форма на скаларно произведение. Да предположим, че матрицата '''A''' с размерност {{math|''n'' × ''m''}} е представена чрез [[row vector|вектор редовете]] {{math|'''a'''<sub>''i''</sub>}}, а матрицата {{math|'''B'''}} с размерност {{math|''m'' × ''p''}} е представена чрез [[column vector|вектор стълбовете]] {{math|'''b'''<sub>''i''</sub>}}:

:<math>\mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 m} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n m}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\mathbf{a}_1 \\ \mathbf{a}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n
\end{pmatrix},</math>

:<math>\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
B_{1 1} & B_{1 2} & \cdots & B_{1 p} \\
B_{2 1} & B_{2 2} & \cdots & B_{2 p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{m 1} & B_{m 2} & \cdots & B_{m p}
\end{pmatrix}

=
\begin{pmatrix}
\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_p
\end{pmatrix}
</math>

където

:<math>\mathbf{a}_i = \begin{pmatrix}A_{i1} & A_{i2} & \cdots & A_{im} \end{pmatrix}\,,\quad \mathbf{b}_i = \begin{pmatrix}B_{1i} \\ B_{2i} \\ \vdots \\ B_{mi}\end{pmatrix}</math>

Тогава:

:<math>
\mathbf{AB} =
\begin{pmatrix}
\mathbf{a}_1 \\
\mathbf{a}_2 \\
\vdots \\
\mathbf{a}_n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \dots & \mathbf{b}_p
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1) & (\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_2) & \dots & (\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_p) \\
(\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_1) & (\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2) & \dots & (\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_p) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(\mathbf{a}_n \cdot \mathbf{b}_1) & (\mathbf{a}_n \cdot \mathbf{b}_2) & \dots & (\mathbf{a}_n \cdot \mathbf{b}_p)
\end{pmatrix}
</math>

Също така е възможно дадено матрично произведение да се изрази под формата на произведение на матрици и вектор ред или стълб.:

:<math>
\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
\mathbf{A}\mathbf{b}_1 & \mathbf{A}\mathbf{b}_2 & \dots & \mathbf{A}\mathbf{b}_p
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\mathbf{a}_1\mathbf{B} \\
\mathbf{a}_2\mathbf{B}\\
\vdots\\
\mathbf{a}_n\mathbf{B}
\end{pmatrix}
</math>

Тези преобразувания са особено полезни за матрици, които са представени като [[concatenation (mathematics)|конкатенации]] на различни типове [[row vector|вектор редове]] или [[column|вектор колони]]. Например [[orthogonal matrices|ортогоналните матрици]] (чиито редове са ортогонални един на друг) и [[Markov matrices|матриците на Марков]] (при които сумата от редовете или колоните е равна на единица).

=== Диадно произведение ===
'''[[outer product|Диадното произведение]]''' (също познато като '''[[tensor product|тензорно произведение]]''') на два вектора в матричен вид е еквивалентно на вектор ред, умножен от ляво с вектор стълб:

:<math>\begin{align}
\mathbf{a}\otimes\mathbf{b} &=\mathbf{a}\mathbf{b}^\mathrm{T}\\
&=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & \cdots & b_n\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \\
\end{pmatrix}.
\end{align}</math>

Умножението на матрици може да се представи под форма на диадно произведение. Матрицата {{math|'''A'''}} е представена чрез вектор стълбовете {{math|{{overline|'''a'''}}<sub>''i''</sub>}}, а матрицата {{math|'''B'''}} – чрез вектор редовете {{math|{{overline|'''b'''}}<sub>''i''</sub>}}:

:<math>\begin{align}
\mathbf{AB} &=\begin{pmatrix} \mathbf{\bar a}_1 & \mathbf{\bar a}_2 & \cdots & \mathbf{\bar a}_m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{\bar b}_1 \\ \mathbf{\bar b}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{\bar b}_m \end{pmatrix}\\
&=\mathbf{\bar a}_1 \otimes \mathbf{\bar b}_1 + \mathbf{\bar a}_2 \otimes \mathbf{\bar b}_2 + \cdots + \mathbf{\bar a}_m \otimes \mathbf{\bar b}_m\\
&=\sum_{i=1}^m \mathbf{\bar a}_i \otimes \mathbf{\bar b}_i
\end{align}</math>

където този път
:<math>\mathbf{\bar a}_i = \begin{pmatrix}A_{1i} \\ A_{2i} \\ \vdots \\ A_{ni} \end{pmatrix}\,,\quad \mathbf{\bar b}_i = \begin{pmatrix}B_{i1} & B_{i2} & \cdots & B_{ip}\end{pmatrix}\,.</math>

Този метод подчертава ефекта от отделните стълб/ред двойки в резултата.

:<math>\begin{align}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}1} & {\color{Orange}2} &

{\color{Violet}3} \\
{\color{Brown}4} & {\color{Orange}5} &

{\color{Violet}6} \\
{\color{Brown}7} & {\color{Orange}8} &

{\color{Violet}9} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}a} & {\color{Brown}d} \\
{\color{Orange}b} & {\color{Orange}e} \\
{\color{Violet}c} & {\color{Violet}f} \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}1} \\
{\color{Brown}4} \\
{\color{Brown}7} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{a}} & {\color{Brown}{d}} \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}2} \\
{\color{Orange}5} \\
{\color{Orange}8}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}{b}} & {\color{Orange}{e}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}3} \\
{\color{Violet}6} \\
{\color{Violet}9} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}c} & {\color{Violet}f} \\
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{1a}} & {\color{Brown}{1d}} \\
{\color{Brown}{4a}} & {\color{Brown}{4d}} \\
{\color{Brown}{7a}} & {\color{Brown}{7d}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}{2b}} & {\color{Orange}{2e}} \\
{\color{Orange}{5b}} & {\color{Orange}{5e}} \\
{\color{Orange}{8b}} & {\color{Orange}{8e}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}{3c}} & {\color{Violet}{3f}} \\
{\color{Violet}{6c}} & {\color{Violet}{6f}} \\
{\color{Violet}{9c}} & {\color{Violet}{9f}} \\
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{1a}} + {\color{Orange}{2b}} + {\color{Violet}{3c}} & {\color{Brown}{1d}} + {\color{Orange}{2e}} + {\color{Violet}{3f}} \\
{\color{Brown}{4a}} + {\color{Orange}{5b}} + {\color{Violet}{6c}} & {\color{Brown}{4d}} + {\color{Orange}{5e}} + {\color{Violet}{6f}} \\
{\color{Brown}{7a}} + {\color{Orange}{8b}} + {\color{Violet}{9c}} & {\color{Brown}{7d}} + {\color{Orange}{8e}} + {\color{Violet}{9f}} \\
\end{pmatrix}.
\end{align}</math>

== Алгоритми за ефективно умножение на матрици ==
{{main|Matrix multiplication algorithm}}
[[Файл:Bound on matrix multiplication omega over time.svg|мини|400px|дясно|Граници на {{math|ω}} във времето.]]

[[Analysis of algorithms|Времето за умножение]] на квадратни матрици с наивен алгоритъм е {{math|''O''(''n''<sup>3</sup>)}}. Времето за умножение на правоъгълни матрици (една {{math|''m'' × ''p''}}-матрица с една {{math|''p'' × ''n''}}-матрица) е {{math|''O''(''mnp'')}}, Все пак съществуват и по-ефективни алгоритми за целта, например [[Strassen algorithm|алгоритъм на Страсен]], разработен през 1969 г. от [[Volker Strassen]] и често срещан под името „бързо умножение на матрици“. Той се базира на определен начин на умножение на две {{math|2 × 2}}-матрици, изискващ само 7 умножения (вместо обичайните 8) за сметка на няколко допълнителни операции по събиране и изваждане. Използването на това чрез рекурсия дава като резултат сложност <math>O(n^{\log_{2}7}) \approx O(n^{2.807})</math>. Алгоритъмът на Страсен е по-сложен, а неговата [[числена стабилност]] е по-ниска в сравнение с тази на наивния алгоритъм.<ref>{{cite journal | last1=Miller | first1=Webb | title=Computational complexity and numerical stability | id = 10.1.1.148.9947 | date=1975 | journal=SIAM News | volume=4 | pages=97 – 107 | doi=10.1137/0204009}}</ref> Въпреки това, последния е включен в няколко библиотеки като [[BLAS]], където той е чувствително по-ефективен за матрици с размери над 100,<ref>Press 2007, p. 108.</ref> и освен това е много полезен за големи матрици над точните области като крайни полета, където числената стабилност не е проблем.

Настоящият {{math|''O''(''n''<sup>''k''</sup>)}} алгоритъм с възможно най-ниската експонента {{math|''k''}} е обобщение на [[алгоритъм на Копърсмит-Виноград]] с асимптотична сложност {{math|''O''(''n''<sup>2.3728639</sup>)}}, създаден от Франсоа Ле Гал.<ref>{{cite book| last1=Le Gall | first1=Francois | chapter=Powers of tensors and fast matrix multiplication | year = 2014 | arxiv=1401.7714 | title = Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC 2014)}}. Оригиналния алгоритъм е представен от [[Дон Копърсмит]] и [[Шмуел Виноград]] през 1990 г. и има асимптотична сложност {{math|''O''(''n''<sup>2.376</sup>)}}. Подобрен е през 2013 г. до {{math|''O''(''n''<sup>2.3729</sup>)}} от Виргиния Василевска Уилиамс, като времето за изпълнение е малко по-високо от подобрението на Ле Гал: {{cite web |url=http://www.cs.stanford.edu/~virgi/matrixmult-f.pdf |title=Multiplying matrices faster than Coppersmith-Winograd |first=Virginia Vassilevska |last=Williams |достъп_дата=2015-09-29 |архив_дата=2013-10-08 |архив_уеб_адрес=https://web.archive.org/web/20131008063524/http://www.cs.stanford.edu/~virgi/matrixmult-f.pdf }}</ref> Този алгоритъм, заедно с [[алгоритъм на Копърсмит-Виноград]] на който е базиран, са близки до алгоритъма на Страсен: намерен е начин за умножение на две {{math|''k'' ? ''k''}}-матрици с по-малко от {{math|''k''<sup>3</sup>}} умножения, и след това тази техника е приложена рекурсивно. Въпреки това, константния коефициент, скрит зад [[голямата О нотация]], е толкова голям, че тези алгоритми си струва да бъдат прилагани само за матрици, които са твърде големи за обработка със съвременната изчислителна техника.<ref>{{cite journal
 | last = Iliopoulos
 | first = Costas S.
 | doi = 10.1137/0218045
 | issue = 4
 | journal = SIAM Journal on Computing
 | mr = 1004789
 | quote = The Coppersmith–Winograd algorithm is not practical, due to the very large hidden constant in the upper bound on the number of multiplications required.
 | pages = 658 – 669
 | title = Worst-case complexity bounds on algorithms for computing the canonical structure of finite abelian groups and the Hermite and Smith normal forms of an integer matrix
 | url = http://www.williamstein.org/home/wstein/www/home/pernet/Papers/Hermite/Iliopoulos88.pdf
 | volume = 18
 | year = 1989
 | accessdate = 2015-09-29
 |archivedate = 2014-03-05
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20140305182030/http://www.williamstein.org/home/wstein/www/home/pernet/Papers/Hermite/Iliopoulos88.pdf
 }}</ref><ref>{{cite journal| last1=Robinson | first1=Sara | title=Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication | url=http://www.siam.org/pdf/news/174.pdf | year=2005 | journal=SIAM News | volume=38 | issue=9}}</ref>

Тъй като всеки алгоритъм за умножение на две {{math|''n'' × ''n''}}-матрици трябва да обработи {{math|2 × ''n''<sup>2</sup>}}-елемента, има асимптотична долна граница от {{math|Ω(''n''<sup>2</sup>)}} операции. През 2002 г. Раз доказва че стойността на долната граница за аритметични вериги със свързани коефициенти е по-ниска {{math|Ω(''n''<sup>2</sup> log(''n''))}} от тази при реални или сложни числа.

През 2003 – 2005 г. Коун и други слагат методиките на алгоритмите на Страсен и Копърсмит-Виноград в напълно различен, [[group theory|групово-теоретичен]] контекст. Това става чрез употребата на тройки от подмножества на [[Крайна група|крайни групи]], които нямат общи елементи, наречено още свойство на [[Triple product property|тройното произведение (TPP)]]. Те показват, че ако семействата на [[кръглите произведения]] на [[Абелови групи]] със симетрични групи дава семейства от тройки подмножества с еднаква версия на тяхното TPP, това значи че има алгоритми за умножение на матрици с приблизително квадратична сложност. Повечето изследователи вярват в че това е вярно.<ref>Robinson, 2005.</ref> Въпреки това, Алон, Шпилка и [[Крис Уманс]] доказват, че при някои от тези предположения бързото умножението на матрици е несъвместимо с друго предположение – това на [[слънчогледа]].<ref>[[Noga Alon|Alon]], Shpilka, Umans, [http://eccc.hpi-web.de/report/2011/067/ On Sunflowers and Matrix Multiplication]</ref>

[[Алгоритъмът на Фрайвалдс]] е обикновен Монте Карло алгоритъм, който, при дадени матрици {{math|'''A''', '''B''', '''C'''}} се изпълнява за {{math|Θ(''n''<sup>2</sup>)}} време, ако {{math|'''AB''' {{=}} '''C'''}}.

[[Файл:Block matrix multiplication.svg|мини|Умножение на блокове матрици. При 2D алгоритъмът всеки процесор отговаря за една подматрица {{math|'''C'''}}. При 3D алгоритъмът, умножението на всеки чифт подматрици от {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} се подава на един процесор..]]

=== Паралелно умножение на матрици ===
Поради природата на операциите с матрици и разположението на матриците в паметта, обикновено е възможно постигането на чувствително подобрение на производителността с помощта на [[паралелизация]] и [[Automatic vectorization|векторизация]]. Съществуват няколко приложими алгоритми, сред които са и [[Divide and conquer algorithms|разделяй и владей]] алгоритмите, базирани на разлагането на матриците на блокове.

:<math>\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12} \\
\mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \\
\end{pmatrix} = \mathbf{A} \mathbf{B}</math>

които лежат и в основата на алгоритъма на Страсен. Тук {{math|'''A'''}}, {{math|'''B'''}} и {{math|'''C'''}} вземат за квадратни {{mvar|n}} by {{mvar|n}} матрици, а {{math|'''C'''<sub>11</sub>}} и т.н. са {{math|''n''/2}} by {{math|''n''/2}} подматрици. От това разлагане се получава<ref name="cilk">{{cite book |author=Ph.D. Keith H. Randall |title=Cilk: Efficient Multithreaded Computing |publisher=Massachusetts Institute of Technology |year=1998 |pages=54 – 57 |url=http://supertech.csail.mit.edu/papers/randall-phdthesis.pdf}}</ref>

:<math>\begin{pmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\mathbf{A}_{11} \mathbf{B}_{11} + \mathbf{A}_{12} \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{11} \mathbf{B}_{12} + \mathbf{A}_{12} \mathbf{B}_{22}\\
\mathbf{A}_{21} \mathbf{B}_{11} + \mathbf{A}_{22} \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{21} \mathbf{B}_{12} + \mathbf{A}_{22} \mathbf{B}_{22}\\
\end{pmatrix}
</math>

което се състои от осем умножения на деойки подматрици, всички от които могат да бъдат изпълнявани паралелно, последвани от допълнителна стъпка. Ако това се приложи рекурсивно и събиранията се изпълнят отново паралелно, получения алгоритъм отнема {{math|Θ(log<sup>2</sup> ''n'')}} време на идеална машина с безкраен брой процесори, и има максимална възможна [[скорост]] {{math|Θ(''n''<sup>3</sup>/(log<sup>2</sup> ''n''))}} на всички реални компютри (въпреки че алгоритъма не е практичен, негов по-практичен вариант постига {{math|Θ(''n''<sup>2</sup>)}} скорост).<ref name="cilk"/>

Трябва да бъде отбелязано това, че някои алгоритми с по-ниска [[времева сложност]] на хартия, може да имат индиректно добавена допълнителна сложност по време при работа на реални машини.

=== Разпределени алгоритми и алгоритми избягващи комуникация ===
При модерните архитектури с йерархична памет, цената на зареджане и съхранение на данните от матричните елементи е по=висока от тази на изчисленията. За една машина това е количеството данни, пренасяно между RAM паметта и кеша, докато при многовъзловите машини с разпределена памет това е количеството данни, премасяно междъ отделните възли. И в двата случая това се нарича ширина на потока за комуникация. Наивните алгоритми, ползващи три вложени цикъла използват {{math|Ω(''n''<sup>3</sup>)}} широчина на комуникационния поток.

[[Алгоритъма на Канон]], познат още като 2D алгоритъм, разделя всяка входна матрица на блокове чиито елементи са подматрици с големина {{math|{{sqrt|''M''/3}}}} by {{math|{{sqrt|''M''/3}}}}, където {{math|''M''}} е размера на бързата памет.<ref>Lynn Elliot Cannon, ''[http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=905686 A cellular computer to implement the Kalman Filter Algorithm]'', Technical report, Ph.D. Thesis, Montana State University, 14 юли 1969.</ref> След това за блоковете от матрици се прилага наивния алгоритъм, който изчислява произведенията на подматриците изцяло в бързата памет. Това намалява широчината на комуникационния канал до {{math|''O''(''n''<sup>3</sup>/{{sqrt|''M''}})}}, което е асимптотично оптимално (за алгоритми с изчислителна производителност {{math|Ω(''n''<sup>3</sup>)}}).<ref>{{cite journal|last=Hong|first=J.W.| first2 = H. T. | last2 = Kung|title=I/O complexity: The red-blue pebble game|journal=STOC ’81: Proceedings of the thirteenth annual ACM symposium on Theory of computing|date=1981|pages=326 – 333}}</ref><ref name=irony>{{cite journal|last=Irony|first=Dror|first2 = Sivan | last2 = Toledo | first3 = Alexander | last3 = Tiskin |title=Communication lower bounds for distributed-memory matrix multiplication|journal=J. Parallel Distrib. Comput.|date=September 2004|volume=64|issue=9|pages=1017 – 1026|doi=10.1016/j.jpdc.2004.03.021}}</ref>

В разпределена среда с {{math|''p''}} процесора подредени в {{math|{{sqrt|''p''}}}} на {{math|{{sqrt|''p''}}}} 2D мрежа, към всеки процесор може да бъде зачислена една подматрица, а произведението – да бъде изчислено с всеки процесор, предавайки {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>/{{sqrt|''p''}})}} думи. Това е асимптотично оптимално, ако се предположи че всеки изчислителен възел съхранява минимум {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>/''p'')}} елементи.<ref name=irony/> Това може да бъде подобрено от 3D алгоритъм, който подрежда процесорите в 3D мрежа с форма на куб, давайки всяко произведение на две подматрици на един процесор. Получените в резултат подматрици след това се генерират посредством изваждане на всеки ред.<ref name="Agarwal">{{cite journal|last=Agarwal|first=R.C.| first2 = S. M. | last2 = Balle | first3 = F. G. | last3 = Gustavson | first4 = M. | last4 = Joshi | first5 = P. | last5 = Palkar |title=A three-dimensional approach to parallel matrix multiplication|journal=IBM J. Res. Dev.|date=September 1995|volume=39|issue=5|pages=575 – 582|doi=10.1147/rd.395.0575}}</ref> Този алгоритъм предава {{math|''O''(''n''<sup>2</sup>/''p''<sup>2/3</sup>)}} думи на процесор, което е асимптотично оптимално.<ref name=irony/> Все пак, това изисква репликиране на всеки елемент от входящите матрици {{math|''p''<sup>1/3</sup>}} пъти, и следователно изисква фактор от {{math|''p''<sup>1/3</sup>}} пъти повече памет, в сравнение с нужната за съхранението на входните данни. Този алгоритъм може да се комбинира с алгоритъма на Страсен с цел да се намали още повече времето за изпълнение.<ref name="Agarwal"/> „2.5D“ алгоритмите предоставят баланс между ползването на памет и широчината на комуникационния канал.<ref>{{cite journal|last=Solomonik|first=Edgar| first2 = James | last2 = Demmel|title=Communication-optimal parallel 2.5D matrix multiplication and LU factorization algorithms|journal=Proceedings of the 17th international conference on Parallel processing|date=2011|volume=Part II|pages=90 – 109|doi=10.1007/978-3-642-23397-5_10}}</ref> За съвременните разпределени компютърни среди като [[MapReduce]] са създадени специализирани алгоритми за умножение.<ref>{{cite book|last1=Bosagh Zadeh|first1=Reza|last2=Carlsson|first2=Gunnar|title=Dimension Independent Matrix Square Using MapReduce|url=http://stanford.edu/~rezab/papers/dimsum.pdf|accessdate=12 юли 2014}}</ref>

== Други форми на умножение ==
По-долу са представени няколко други начина за умножение на матрици. Всъщност, някои от тях са по-прости от дефиницията по-горе.

=== Произведение на Адамар ===
{{Main|Hadamard product (matrices)}}

'''Произведението на Адамар''' е предназначено за две матрици с еднакви размерности. За две матрици {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} с еднакви размерности произведението на Адамар {{math|'''A''' ○ '''B'''}} е матрица от същата размерност, като {{math|''i, j''}}-тия елемент на {{math|'''A'''}} е умножен с {{math|''i, j''}}-тия елемент на {{math|'''B'''}}, което изглежда по следния начин:

:<math> \left(\mathbf{A} \circ \mathbf{B}\right)_{ij} = A_{ij}B_{ij}\,,</math>

разписано пълно:

:<math> \mathbf{A} \circ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
 A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}
 B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1m} \\
 B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 B_{n1} & B_{n2} & \cdots & B_{nm} \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
 A_{11}B_{11} & A_{12}B_{12} & \cdots & A_{1m}B_{1m} \\
 A_{21}B_{21} & A_{22}B_{22} & \cdots & A_{2m}B_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{n1}B_{n1} & A_{n2}B_{n2} & \cdots & A_{nm}B_{nm} \\
\end{pmatrix}</math>

Тази операция е идентична с това да се умножат много числа едновременно. Следователно произведението Адамар e [[commutative|комутативно]], [[associative|асоциативно]] и [[distributive property|дистрибутивно]]. Също така е основна [[submatrix|подматрица]] от [[Kronecker product|произведението на Крьонекер]]. Съдържа се в алгоритми за компресия като [[JPEG]].

=== Произведение на Фробениус ===
'''Произведението на Фробениус''', понякога отбелязвано като {{math|'''A''' : '''B'''}}, е произведение на две матрици. То също така представлява сумата от елементите от произведението на Адамар. Подробно,

:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}=\sum_{i,j} A_{ij} B_{ij} = \mathrm{vec}(\mathbf{A})^\mathsf{T} \mathrm{vec}(\mathbf{B}) = \mathrm{tr}(\mathbf{A}^\mathsf{T} \mathbf{B}) = \mathrm{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}^\mathsf{T}),</math>

където „tr“ означава [[Trace (linear algebra)|следата]] на матрица, а vec означава [[Vectorization (mathematics)|векторизацията]].

=== Произведение на Крьонекер ===
{{main|Kronecker product}}

За две матрици {{math|'''A'''}} и {{math|'''B'''}} с произволни размерности съответно {{math|''m'' × ''n''}} и {{math|''p'' × ''q''}} (без каквито и да е било изисквания върху размерността на матриците), '''произведението на Крьоникер''' е матрицата
:<math> \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
A_{11}\mathbf{B} & A_{12}\mathbf{B} & \cdots & A_{1n}\mathbf{B} \\
 A_{21}\mathbf{B} & A_{22}\mathbf{B} & \cdots & A_{2n}\mathbf{B} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{m1}\mathbf{B} & A_{m2}\mathbf{B} & \cdots & A_{mn}\mathbf{B} \\
\end{pmatrix}.</math>
с размерност {{math|''mp'' × ''nq''}}. Това е приложението на най-общото [[tensor product|тензорно произведение]] върху матрици.

== Бележки ==
<references />

[[Категория:Матрици]]