Преглед на кода на Тригонометрия

'''Тригономèтрията''' ({{lang|grc|τρίγωνον ''и'' μέτρον}}, „[[триъгълник]]“ и „[[Измерване|мярка]]“<ref>{{cite web | url = http://www.etymonline.com/index.php?search=trigonometry | title = Trigonometry | publisher = Online Etymology Dictionary | lang = en }}</ref>) е дял на [[математика]]та, изучаващ отношенията на [[ъгъл|ъглите]] и страните в триъгълника. За тази цел тригонометрията използва [[тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[Синус (математика)|синус]], [[косинус]] и [[тангенс]] и техните производни, които описват тези отношения и намират широко приложение в много други области на математиката, науката и техниката. Тригонометрията възниква през III век пр.н.е. като клон на [[геометрия]]та, като първоначално намира приложение главно в [[астрономия]]та.<ref>{{cite book | last = Nagel | first = R. (ed.) | year = 2001 | title = Encyclopedia of Science | publisher = The Gale Group | lang = en}}</ref>
[[Файл:Table_of_Trigonometry,_Cyclopaedia,_Volume_2.jpg|мини|Тригонометрична таблица в енциклопедичен речник от 1728 година]]
Тригонометрията обикновено се преподава в [[Основно образование|основните]] и [[Средно образование|средните училища]]. Тя намира приложение както в [[Чиста математика|чистата]], така и в [[Приложна математика|приложната математика]], като е от съществена важност за много области на науката и техниката. Една от нейните подобласти, [[Сферична тригонометрия|сферичната тригонометрия]], играе важна роля в астрономията и [[навигация]]та. Други области, свързани с тригонометрията са [[Хиперболична геометрия|хиперболичната]] и [[елиптична геометрия|елиптичната геометрия]].

== История ==
[[Файл:Head of Hipparchus (cropped).jpg|мини|180п|ляво|[[Хипарх]] (II век пр.н.е.), авторът на най-старата известна тригонометрична таблица, наричан „бащата на тригонометрията“{{hrf|Boyer|1991|162}}]]

[[Древен Египет|Египетските]] и [[вавилон]]ските математици не измерват пряко ъглите, но изследват съотношенията между страните на подобни триъгълници и откриват някои техни свойства.<ref>{{cite book | last = Neugebauer | first = Otto | year = 1975 | title = A history of ancient mathematical astronomy: in three parts. Volume 1 of Studies in the history of mathematics and physical sciences | publisher = Birkhäuser | pages = 744 | isbn = 9783540069959 | lang = en}}</ref>

Едва през [[Елинистическа епоха|Елинистическата епоха]] (IV – I век пр.н.е.) тригонометрията се превръща в систематична наука.<ref>{{cite web | last = Hunt | first = Joseph | year = 2000 | url = http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/hunt.html | title = The Beginnings of Trigonometry | work = rutgers.edu | publisher = Rutgers | accessdate = 24 юни 2011 | lang = en}}</ref> Математици от този период, като [[Евклид]] и [[Архимед]], изследват свойствата на ъглова [[хорда]] и доказват теореми, еквивалентни на съвременните тригонометрични зависимости, макар че ги разглеждат в геометричен, а не в [[Алгебра|алгебричен]] контекст. [[Хипарх]] от Никея, работил в средата на II век пр.н.е., е автор на най-старите известни тригонометрични таблици в книгата си „Хорди в окръжност“, разширени от [[Клавдий Птолемей]] в неговия „[[Алмагест]]“.<ref>{{cite book | last = Anderson | first = Marlow | coauthors = Victor J. Katz, Robin J. Wilson | year = 2004 | title = Sherlock Holmes in Babylon: and other tales of mathematical history | publisher = Mathematical Association of America | pages = 36 | url = http://books.google.com/books?id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA36&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false | isbn = 0883855461 | lang = en}}</ref> В [[Индия]] тригонометрични зависимости са описани в [[Суря Сидханта]] и работите на астронома [[Арябхата]] от V век.{{hrf|Boyer|1991|215}}

Гръцките и индийски изследвания в областта на тригонометрията стават основа за работата на [[ислям]]ските учени в тази област. През X век ислямските математици използват и всички основни тригонометрични функции, разполагат с таблици с техните стойности и ги прилагат към задачи от [[сферична геометрия|сферичната геометрия]]. Приблизително по това време тригонометрията е разработена по независим път и в [[Китай]], макар че там тя не се превръща в значима област на изследване.

Тригонометричните методи достигат до [[Западна Европа]] през XII век чрез латински преводи на трудове на ислямски астрономи, като [[Мохамед ал-Батани]] и [[Насир ад-Дин ат-Туси]].{{hrf|Boyer|1991|237, 274}} Една от най-ранните западни работи в областта на тригонометрията е „Пет книги за триъгълниците от всички видове“ (''„De triangulis omnimodis libri quinque“'') на германеца [[Йохан Региомонтан]], писана през 1462 – 1464 година. Въпреки това през XVI век тригонометрията продължава да бъде слабо позната в Европа и [[Николай Коперник]] отделя две глави от своя основен труд „[[За въртенето на небесните сфери]]“, за да обясни нейните основни положения. През 1595 година понятието „тригонометрия“ е използвано за пръв път от германеца [[Вартоломей Питиск]] в неговия труд „Тригонометрия: кратък и ясен трактат за решаването на триъгълници“ (''„Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus“'').<ref>{{cite book | last = Krebs | first = Robert E. | year = 2004 | title = Groundbreaking scientific experiments, inventions, and discoveries of the Middle Ages and the Renaissance | publisher = Greenwood Publishing Group | pages = 153 | isbn = 9780313324338 | url = http://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153&vq=pitiscus&sig=iUWyiMp6dVhUH74BC8LFt9id1JE#v=onepage&q=pitiscus&f=false | lang = en}}</ref>

През този период тригонометрията се превръща в основен клон на математиката, поради нуждите на [[корабоплаване]]то и необходимостта от точни карти на обширни области.<ref>{{cite book | last = Grattan-Guinness | first = Ivor | year = 1997 | title = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences | publisher = W.W. Norton | isbn = 0-393-32030-8 | lang = en}}</ref> Фризиецът [[Гема Фризий]] за пръв път описва основаващия се на тригонометрията метод на [[триангулация]]та, използван до наши дни в [[геодезия]]та. Трудовете на шотландците [[Джеймс Грегъри]] и [[Колин Маклорин]] стават основа за по-късното развитие на теорията на тригонометричните редове,<ref> {{cite book | last = Ewald | first = William Bragg | year = 2008 | title = From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics | publisher = Oxford University Press US | pages = 93 | isbn = 0198505353 | url = http://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false | lang = en}}</ref> а англичанинът [[Брук Тейлър]] извежда общите [[ред на Тейлър|редове на Тейлър]]. <ref>{{cite book | last = Dempski | first = Kelly | year = 2002 | title = Focus on Curves and Surfaces | pages = 29 | isbn = 159200007X | url = http://books.google.com/books?id=zxdigX-KSZYC&pg=PA29&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false | lang = en}}</ref>

Съвременния облик на тригонометрията дава германецът [[Леонард Ойлер]] през 1748 година, като прилага към нея методите на [[математически анализ|математическия анализ]]. Той прави значителни преобразувания в науката, като въвежда познатите днес означения sin''x'', cos''x'', tg''x'', въвежда традицията ъглите да се означават с главни букви, а срещулежащите им страни – със съответните малки букви. Първи прави представянето на тригонометричните криви като функции на ъгъла, като използва единичната окръжност. В книгата си „Увод в анализа на безкрайните“ Ойлер внася яснота по въпроса за знаците на тригонометричните функции в различните [[квадрант]]и и дава събирателните формули.

== Основни тригонометрични зависимости в правоъгълния триъгълник ==
[[Файл:Trigonometria 01a.svg|мини|Основни зависимости в правоъгълния триъгълник:
{{col-begin}}
{{col-2}}
sin ''α'' = ''a'' / ''c'' ; <br>tg ''α'' = ''a'' / ''b'' ; <br>sec ''α'' = ''c'' / ''b'' ; <br>
{{col-2}}
cos ''α'' = ''b'' / ''c'' ; <br>cotg ''α'' = ''b'' / ''a'' ; <br>cosec ''α'' = ''c'' / ''a'' .
{{col-end}}]]
Тригонометрията на [[Правоъгълен триъгълник|правоъгълния триъгълник]] е много проста. Тъй като сумата от ъглите на един триъгълник е 180°, правият ъгъл на един такъв триъгълник е най-големият вътрешен ъгъл. Срещу него лежи най-дългата страна, наречена '''хипотенуза'''. Двете по-къси страни на триъгълника се наричат '''катети'''. Като се вземе за база един от двата остри ъгли, катетът срещу него се нарича '''срещулежащ (срещуположен) катет''', а съседният катет – '''прилежащ катет'''.

От съотношенията на страните в триъгълника се получават следните тригонометрични функции:
* [[Синус (математика)|Синус]] е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата.
* [[Косинус]] е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
* [[Тангенс]] е отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет.
* [[Котангенс]] е отношението на прилежащия катет към срещулежащия катет.
* [[Секанс]] е отношението на хипотенузата към прилежащия катет.
* [[Косеканс]] е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет.

<math>\text{Синус от ъгъл} = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} \quad ; \quad \quad \sin \alpha = \frac ac</math>
<math>\text{Косинус от ъгъл} = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} \quad ; \quad \quad \cos \alpha = \frac bc</math>
<math>\text{Тангенс от ъгъл} = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} ; \quad \quad \mathrm{tg}\ \alpha = \tan \alpha= \frac ab</math>
<math>\text{Котангенс от ъгъл} = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} ; \quad \mathrm{cotg}\ \alpha = \mathrm{ctg}\ \alpha = \cot \alpha = \frac ba</math>
<math>\text{Секанс от ъгъл} = \frac{\text{хипотенуза}}{\text{прилежащ катет}} \quad ;  \quad \quad \quad \sec \alpha = \frac cb</math>
<math>\text{Косеканс от ъгъл} = \frac{\text{хипотенуза}}{\text{срещулежащ катет}} ; \quad \mathrm{cosec}\ \alpha = \csc \alpha = \frac ca</math>

Тези дефиниции имат смисъл, тъй като различните правоъгълни триъгълници с еднакви ъгли са подобни и съответно при тях съотношенията между страните са еднакви. Така например, при едни и същи стойности на тригонометричните функции един триъгълник може да има двойно по-дълги страни от друг, т.е. тези стойности зависят само от съответните ъгли. Затова е правилно да се говори за функции на ъглите.

== Връзки между тригонометричните функции ==
Шестте тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс) са свързани в определени зависимости помежду си. Връзките между тригонометричните функции следват от определенията за тях и се изразяват с формулите:
:<math>\sin\alpha \, = \, \cos(90^\circ-\alpha)</math>
:<math>\cos\alpha \, = \, \sin(90^\circ-\alpha)</math>
{{колони|2|
:<math>\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{\cot\alpha}</math>
:<math>\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha}</math>
:<math>\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}</math>
:<math>\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}</math>}}
=== Тъждество на Питагор ===
[[Тъждество]] е уравнение, което е вярно за всяка стойност на променливата. Преобразуваната с тригонометрични функции [[Питагорова теорема]] може да се запише във вида:
:<math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \ </math>,

откъдето
:<math>\sin \alpha = \sqrt {1-\cos^2 \alpha} \quad </math> и <math> \quad \cos \alpha = \sqrt {1-\sin^2 \alpha}</math>.

Двете уравнения по-долу са следствие от горното:
:<math>\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = 1 \ </math>
:<math>\csc^2 \alpha - \cot^2 \alpha = 1 \ </math>.

{| class="wikitable sortable"
|+ Обобщение на връзките между тригонометричните функции<ref>Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, [[LCCN]] [https://catalog.loc.gov/vwebv/search?searchCode=LCCN&searchArg=76087042&searchType=1&permalink=y 76087042].</ref>
|-
! rowspan=2 | Функция
! rowspan=2 | Описание
! colspan=2 | Връзка
|-
! в [[градус (ъгъл)|градус]]и
! в [[радиан]]и
|-
! Синус
|align=center|{{math|{{sfrac|срещулежащ|хипотенуза}}}}
| <math>\sin \alpha = \cos\left(90^\circ - \alpha \right) = \frac{1}{\csc \alpha}</math>
| <math>\sin \theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta}</math>
|-
! Косинус
|align=center|{{math|{{sfrac|прилежащ|хипотенуза}}}}
| <math>\cos \alpha = \sin\left(90^\circ - \alpha \right) = \frac{1}{\sec \alpha}\,</math>
| <math>\cos \theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sec \theta}\,</math>
|-
! Тангенс
|align=center|{{math|{{sfrac|срещулежащ|прилежащ}}}}
| <math>\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cot\left(90^\circ - \alpha \right) = \frac{1}{\cot \alpha} </math>
| <math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} </math>
|-
! Котангенс
|align=center|{{math|{{sfrac|прилежащ|срещулежащ}}}}
| <math>\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \tan\left(90^\circ - \alpha \right) = \frac{1}{\tan \alpha} </math>
| <math>\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} </math>
|-
! Секанс
|align=center|{{math|{{sfrac|хипотенуза|прилежащ}}}}
| <math>\sec \alpha = \csc\left(90^\circ - \alpha \right) = \frac{1}{\cos \alpha} </math>
| <math>\sec \theta = \csc\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cos \theta} </math>
|-
! Косеканс
|align=center|{{math|{{sfrac|хипотенуза|срещулежащ}}}}
| <math>\csc \alpha = \sec\left(90^\circ - \alpha \right) = \frac{1}{\sin \alpha} </math>
| <math>\csc \theta = \sec\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sin \theta} </math>
|}

== Зависимости в единична окръжност ==
[[Файл:Trigonometric function.svg|300px|мини|Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез [[радиус-вектор]]а и единичната окръжност или чрез отношения в [[правоъгълен триъгълник]]]]
За много цели са интересни тригонометричните стойности на ъгли по-големи от 90°. [[Единична окръжност]] се нарича окръжност с радиус, равен на единица, и център в началото на равнината на комплексните числа. На всеки ъгъл съответства една определена точка от единичната окръжност. Х-координатата на тази точка е стойността на косинуса на дадения ъгъл и Y-координатата е стойността на синуса.

Дадените по-горе дефиниции за стойностите на синуса и косинуса могат да се разширят без проблеми за стойности на ъгли над 90°. Вижда се, че за стойности между 90° и 270°, X-координатата, а също и косинусът, са отрицателни, съответно за ъгъл между 180° и 360°, Y-координатата и с това и синусът са отрицателни. Тези дефиниции могат да се прилагат и за ъгли, които са по-големи от 360°, както и за отрицателни ъгли.

== Зависимости в обикновен триъгълник ==
В обикновения триъгълник има формули, които позволяват да се определят неизвестните страни и ъглите в него. Използват се [[синусова теорема]] и [[косинусова теорема]]. Използването на синусовата теорема е полезно, когато са известни две страни и един от срещуположните ъгли или една страна и прилежащите ѝ ъгли.
:<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>

И косинусовите теореми позволяват от три известни страни да се пресметнат ъглите, или от две страни и един ъгъл между тях да се пресметне срещуположната страна.
:<math>a^2 \, = \, b^2 + c^2 - 2 b c \cos\alpha</math>
:<math>b^2 \, = \, a^2 + c^2 - 2 a c \cos\beta</math>
:<math>c^2 \, = \, a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma</math>

=== Примери за пресмятане в триъгълника ===
==== При известни три страни ====
[[Файл:resolve triangle with a b c.svg|мини|250п|{{center|Зададени три страни}}]]
Дадени са три страни <math>a, b, c</math>. Условие за решимост на задачата е изпълнение на [[Неравенство на триъгълника|неравенството на триъгълника]], а именно дължината на всяка страна трябва да бъде по-малка от сбора на дължините на другите две страни на триъгълника:
:<math>a < b + c; \;b < a + c; \;c < a + b</math>

За да се намерят ъглите на <math>\alpha, \beta</math>, трябва да се използва косинусовата теорема:
:<math> \alpha = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}</math>

:<math> \beta = \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2} {2 a c}</math>
Третият ъгъл се намира веднага по правилото за сумата на трите ъгъла да е равна на 180°:
:<math>~\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)</math>.
[[Файл:resolve triangle with a b gamma.svg|мини|250п|{{center|Дадени са две страни и ъгъл между тях}}]]
==== Две страни и ъгъл между тях ====
Известни са дължините на страните <math>a, b</math> и ъгъла <math>\gamma</math> между тях. Този вариант на задачата има едно решение. За определяне на дължината на страната <math>c</math> се използва отново косинусовата теорема:
:<math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}</math>

След това задачата се свежда до предишния случай. По-нататък се използва косинусовата теорема за изчисляването на втория ъгъл:
:<math> \alpha= \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}= \arccos \frac{b-a\cos\gamma} {\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}</math>

Третият ъгъл се намира от теоремата за сбора на ъглите на триъгълника: <math>\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma</math>.
[[Файл:resolve triangle with b c beta.svg|мини|250п|{{center|Дадени са две страни и един от срещуположните ъгли}}]]
==== Две страни и ъгъл срещу една от тях ====
В този случай могат да съществуват две решения, едно решение или никакво решение. Известни са две страни <math>b, c</math> и ъгъл <math>\beta</math>. Уравнението за ъгъла <math>\gamma</math> се намира от синусовата теорема:
: <math>\sin\gamma = \frac{c}{b} \sin\beta</math>

За по-кратко ще означим <math>~D=\frac{c}{b} \sin\beta</math> (дясна част на уравнението). При решението на уравнението са възможни 4 случая.{{sfn|Выгодский М. Я.|1978|с=294}}{{sfn|Элементарная математика|1976|с=493 – 496}}
[[Файл:Resolve triangle with b c beta 2 solutions.svg|мини|250px|{{center|Две възможни решения}}]]
# Задачата няма решение (страната <math>b</math> „не достига“ до линията BC) в два случая: ако <math>D>1</math> или ако ъгъла <math>\beta \geqslant 90^\circ</math> и при това <math>b \leqslant c.</math>
# Ако <math>D=1</math>, Съществува едно-единствено решение, при това триъгълника е правоъгълен, <math>\gamma = 90^\circ.</math>
# Ако <math>D<1</math>, възможни са 2 варианта.
## Ако <math>b<c</math>, то ъгъла <math>\gamma</math> има две възможни решения: острия ъгъл <math>~\gamma = \arcsin D</math> и тъп ъгъл <math>~\gamma' = 180^\circ - \gamma</math>. На скицата вдясно на първото значение съответства точка <math>C</math>, страна <math>b</math> и ъгъл <math>\gamma</math>, а на второто значение – точка <math>C'</math>, страна <math>b'=b</math> и ъгъл <math>\gamma'</math>.
## Ако <math>b \geqslant c</math>, то <math>\beta \geqslant \gamma</math> (както е известно, на голямата страна на триъгълника съответства по-големият противоположен ъгъл). Тъй като в триъгълника не може да има два тъпи ъгъла, за <math>~\gamma</math> е изключен тъпия ъгъл, и решението <math>~\gamma=\arcsin D</math> е единствено.

Третия ъгъл се определя по формулата <math>~\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma </math>. Третата страна може да се намери по синусовата теорема:
:<math>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>
[[Файл:resolve triangle with c alpha beta.svg|мини|250px|{{center|Дадени са една страна и принадлежащите ѝ ъгли}}]]
==== Страна и два ъгъла ====
Дадена е страна <math>c</math> и два ъгъла. Тази задача има едно решение, ако сумата от двата ъгъла е по-малка от <math>180^\circ</math>. В противен случай задачата няма решение.

Отначало се определя третия ъгъл. Например, ако са дадени ъглите <math>\alpha, \beta</math>, то <math>~\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta</math>. По нататък двете неизвестни страни се намират чрез синусовата теорема:
:<math>a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}</math>

== Формули за тригонометрични преобразувания ==
Формулите в тригонометрията са свързани с тригонометрични функции на кратни ъгли и части от ъгъла, суми, разлики, произведения и степени на тригонометричните функции и техните ъгли за всички стойности на ъглите <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math>. Използват се за преобразуване и изчисление на тригонометрични изрази.

=== Кратни ъгли ===
Формули за двоен ъгъл:
:<math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},</math>
:<math>\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},</math>
:<math>\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},</math>
:<math>\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.</math>

Формули за троен ъгъл:
:<math>\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,</math>
:<math>\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,</math>
:<math>\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},</math>
:<math>\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.</math>

Други формули за кратни ъгли:
: <math>\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),</math>
: <math>\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1=8\sin^4\alpha - 8\sin^2\alpha + 1,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},</math>

: <math>\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha, </math>
: <math>\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha, </math>
: <math>\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1}, </math>
: <math>\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1}, </math>
: <math> \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) </math> следва от формулата за допълнение и формулата на Гаус за [[Гама-функция|гама-функцията]].
От [[Формула на Моавър|формулата на Моавър]] може да се получи следният общ израз за  кратни ъгли:
: <math>\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,</math>
: <math>\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,</math>
: <math>\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},</math>
: <math>\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},</math>
където <math>[n]</math> е [[Функция скобка|цялата част]] на числото <math>n</math>, <math>\binom{n}{k}</math> — [[биномен коефициент]].

Формули за половин ъгъл:
: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,</math>
: <math>\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.</math>

=== Произведения ===
Формули за произведения на функции на два ъгъла:
: <math>\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},</math>
: <math>\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin (\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},</math>
: <math>\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.</math>

Подобни формули за произведенията на синусите и косинусите на три ъгъла:
: <math>\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha- \beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha -\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha- \beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},</math>
: <math>\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha- \beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.</math>

Формули за произведенията на тангенси и котангенси на три ъгъла могат да бъдат получени чрез разделяне на дясната и лявата страна на съответните равенства, представени по-горе.

=== Степени ===
: <math>\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{tg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\,\alpha},
</math>
: <math>\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{ctg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{sin}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{sin}^2\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{cos}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{cos}^2\,\alpha},</math>
: <math>\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},</math>
: <math>\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},</math>
: <math>\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},</math>
: <math>\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},</math>
: <math>\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>
: <math>\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},</math>
: <math>\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},</math>
: <math>\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.</math>

=== Тригонометрични функции от сума и разлика на ъгли ===
:<math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta</math>
:<math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \ \cos \beta \mp \sin \alpha \ \sin \beta </math>
:<math>\tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1 \mp \tan \alpha \ \tan \beta}</math>
:<math>\cot (\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \ \cot \beta \mp 1}{ \cot \beta \pm \cot \alpha}</math>
Аналогични са формулите за сума от три ъгъла:
: <math>\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,</math>
: <math>\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.</math>

=== Суми и разлики от тригонометрични функции ===
[[Файл:sin-cos.gif|280п|thumb|Илюстрация на равенството <math>\sin x-\cos x=\sqrt{2}\cdot\sin\left(x-{\pi\over4}\right)</math>]]
:<math>\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
:<math>\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
:<math>\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
:<math>\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
:<math> \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta},</math>
:<math> \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta},</math>
:<math> 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2,</math>
:<math>\sin \alpha\pm\cos \alpha=\sqrt{2}\cdot\sin\left(\alpha\pm{\pi\over4}\right).</math>

Съществува представянето:
:<math>A \sin \alpha + B \cos \alpha = \sqrt{A^2 + B^2}\;\sin( \alpha + \phi ),</math>
където ъгълът <math>\phi</math> се намира от съотношенията
:<math>\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}},</math>
:<math> \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.</math>

=== Заместване с тангенс от половин ъгъл ===
{{Основна|Заместване с тангенс от половин ъгъл}}
Всички тригонометрични функции може да се изразят чрез тангенс от половината ъгъл:
:<math>\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

:<math>\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

:<math>\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

:<math>\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}},</math>

:<math>\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}},</math>

:<math>\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}.</math>

=== Формула на Ойлер ===
[[Формула на Ойлер|Формулата на Ойлер]] <math>\quad e^{ix} = \cos x + i \sin x\quad</math> извежда следните тъждества за sin, cos и tan, изразени с експонентата <math>e</math> и имагинерната единица <math>i</math>:
:<math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.</math>

== Сферична тригонометрия ==
{{main|Сферична тригонометрия}}
Важна отделна част от тригонометрията, използвана в астрономията, навигацията, геодезията и други отрасли е сферичната тригонометрия, която се занимава със свойствата на ъглите между големите кръгове на сферата и дъги на тези големи кръгове. Геометрията на сферата се различава съществено от плоската геометрия (Евклидова геометрия). Тъй като сумата от ъглите в сферичния триъгълник е различен от 180°, триъгълникът може да има и три прави ъгъла. В сферичната тригонометрия дължината на страните на триъгълника (дъги от големи кръгове на сферата) се изразяват посредством централни ъгли, съответстващи на тези дъги. Затова например, [[Синусова теорема (сферическа геометрия)|теорема за сферичните синуси]] се изразява във вида
:<math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},</math>

и съществуват две двойствени [[Косинусова теорема (сферична геометрия)|теореми за сферичните косинуси]].

== Области на приложение ==
[[Файл:STS-114 Steve Robinson on Canadarm2.jpg|мини|236px|ляво|Роботизираната ръка [[Canadarm2]] на [[МКС|международната космическа станция]] се контролира чрез ъглите на нейните свръзки. Пресмятането на крайната позиция на космонавта в края на ръката изисква непрекъснато пресмятане на тригонометричните функции на тези ъгли.]]
[[Файл:Distance by triangulation.svg|мини|310px|За намиране на разстоянието от брега до кораба се използва методът на триангулацията. Наблюдателите в ''α'' и ''β'' измерват разстоянието между тях и ъглите между брега и кораба. За изчисляване на разстоянието ''d'' се използва дължината '''''l''''' и ъглите ''α'' и ''β''.]]
[[Файл:Frieberger drum marine sextant.jpg|мини|200px|Секстант – [[Навигация|навигационен]] измерителен инструмент, използван за измерване на височината на небесни тела с цел да се определят [[Географски координати|географските координати]] на местността, в която се прави измерването.]]
Тригонометрията играе важна роля в различни области на живота:

В геодезията се използва [[триангулация]]та, когато от две известни точки се прави измерване към други позиции (измерване на ъгли) и от там се определя тригонометрично положението на новите точки. В [[астрономия]]та по този начин се определят разстоянията до планетите, луната и по-близко разположените звезди. По същият начин се извършва навигацията на самолети и кораби.

Във [[физика]]та синусните и косинусните функции служат за това да се описват математически колебанията и вълните (например при звукови вълни или при електромагнитни вълни). По същият начин се описват и електрическият ток и напрежението чрез синусоидални функции.

Освен тези приложения, трябва да се отбележат и множеството области в които се използва тригонометрията, като [[архитектура]], [[машиностроене]], [[топография]], [[геодезия]], [[картография]], много раздели на физиката, теория на [[музика]]та, [[акустика]], [[оптика]], финансов анализ, [[електроника]], [[теория на вероятностите]], [[статистика]], [[биология]], [[медицина]], [[химия]], [[теория на числата]] ([[криптография]]), [[сеизмология]], [[метеорология]], [[океанография]], [[икономика]], [[фармакология]], [[кристалография]], [[зрение|зрително възприятие]] и т.н.

Това, че тези области използват тригонометрията, не означава, че нейното непознаване ще пречи някои от тях да се изучават. Един музикант може да не познава добре математиката, но сигурно знае, че Питагор е първият учен, разработвал математически [[Теория на музиката|теорията на музиката]].

== Вижте също ==
* [[Тригонометрични функции]]
* [[Обратни тригонометрични функции]]

== Бележки ==
<references />

; Цитирани източници
* {{cite book | last = Boyer | first = Carl Benjamin | title = A History of Mathematics | url = https://archive.org/details/historyofmathema00boye | edition = Second Edition | publisher = John Wiley & Sons, Inc. | year = 1991 | isbn = 0471543977 | lang = en }}

{{Раздели на математиката}}

[[Категория:Тригонометрия| ]]