Преглед на кода на Тетраедър

'''Тетраедърът''' е вид [[многостен]] с формата на триъгълна [[пирамида]]. Името му означава '''[[четиристен]]''' ({{lang|grc|τετράεδρον: τέσσαρες / τέσσερες / τέτταρες / τέττορες / τέτορες „четири“ + ἕδρα „седалище, основа“ }} <ref>{{Cite web |url=http://lingvowiki.info/w/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%94%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE-%D1%80%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C_%D0%94%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%86%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE/125 |title=Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον» |accessdate=2020-02-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141228091754/http://lingvowiki.info/w/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%94%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE-%D1%80%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C_%D0%94%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%86%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE/125 |archivedate=2014-12-28 |deadlink=yes }}</ref>). Има  четири [[Стена (геометрия)|стени]], 4 [[Връх (геометрия)|върха]] и 6 [[ръб]]а. <ref name="MW">[https://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html Tetrahedron], Wolfram MathWorld.</ref> Неговите разновидности могат да имат различна степен на [[симетрия]], а тя е най-висока при [[Правилен тетраедър|правилния тетраедър]] (фиг. 1), чиито стени са [[Равностранен триъгълник|равностранни триъгълници]].
[[Файл:Tetrahedron.gif|мини|''Фиг. 1''. Анимация на правилен тетраедър]]

По-ниска симетрия имат:
* ''правилната триъгълна пирамида'': трите стени са равнобедрени триъгълници, а основата – равностранен;
* ''тетрагонален, ромбичен, дигонален и обикновен дисфеноид'';
* ''усукан тетраедър'';
* ''правоъгълен тетраедър'': три ръба към един връх са перпендикулярни по двойки – съответните стени са правоъгълни триъгълници.

Както всички изпъкнали многостени, тетраедърът може да бъде сгънат от един лист хартия. Има две такива развивки (фиг. 2). <ref name="MW"></ref>
[[Файл:Правильный вписанный тетраэдр.gif|мини|''Фиг. 3''. Правилен тетраедър, вписан в сфера]]
<gallery class="left" caption="''Фиг. 2''. Развивки на тетраедър">
Polyiamond-4-2.svg|Успоредник
Polyiamond-4-3.svg|Триъгълник
Tetraedro desarrollo.gif|Сгъване
</gallery>

За всеки тетраедър съществува [[описана сфера]], върху която лежат всичките четири върха (фиг. 3, 4), и [[вписана сфера]], [[допирателна]] към стените на тетраедъра (фиг. 4). <ref>{{citation|title=Plane and Solid Geometry|first1=Walter Burton|last1=Ford|first2=Charles|last2=Ammerman|publisher=Macmillan|year=1913|pages=294–295|url=https://archive.org/stream/planeandsolidge01hedrgoog#page/n315}}</ref>
[[Файл:01 Tetraeder-Größen.png|мини|''Фиг. 4''. Вписана (червена), описана (синя) и пресечна (зелена) сфера в тетраедър.]]
== Определения и свойства ==
[[Файл:Tetrahedron and edge midpoints.svg|200п|мини|''Фиг. 5''. Елементи на тетраедър.]]
* '''Стена (лице)''' на тетраедъра е част от равнина, ограждаща неговия [[обем]]. Стените на тетраедъра са триъгълници. Общата права на две съседни стени се нарича '''ръб''' (фиг. 4, 5).
* '''Съседни ръбове''' са тези, които започват от обща точка, наречена '''връх''' на тетраедъра. Три съседни ръба лежат в една равнина и определят границите на една стена.
* '''Противоположни ръбове''' ('''непресичащи''' се или '''кръстосани  ръбове''') са тези, които нямат обща точка (връх) и не лежат в една равнина. Те са част от две кръстосани прави: <math>AB</math> и <math>CD</math>, <math>AD</math> и <math>BC</math>, <math>AC</math> и <math>BD</math> (фиг. 5).
* '''Двойни височини''' или '''бивисочини''' на тетраедър са общите перпендикуляри на два от неговите противоположни ръбове (зелената отсечка <math>d</math> на фиг. 4).
* '''Двойни медиани''' или '''бимедиани''' на тетраедър са отсечките, свързващи средните точки на неговите непресичащи се ръбове (зелените отсечки на фиг. 5).
[[Файл:Tetraeder-Quadrat-2.svg|ляво|200п|мини|''Фиг. 6''. Разделяне на тетраедър на две части с равни обеми чрез средно сечение успоредник.]]
* Сечение от равнина, минаваща през средите на четири ръба на тетраедър, е успоредник (фиг. 6).
* Равнината, минаваща през средите на всеки два пресичащи се ръба на тетраедъра, го разделя на две части с еднакъв обем (фиг. 6). <ref>Гусятников П.Б., Резниченко С.В. – Векторная алгебра в примерах и задачах, Москва, [[:ru:Высшая школа (издательство)|Высшая школа]], 1985. {{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah|archive-date=2014-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20140110162343/http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|216-217}}
* Бимедианите на тетраедър се пресичат в същата точка <math>M</math> (фиг. 5) като медианите на тетраедър (диагоналите на червеното сечение на фиг. 6), която се нарича '''[[медицентър]]''' или '''център на тежестта''' на тетраедъра.
* '''Теорема на [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] за центъра на тежестта на тетраедър''' (фиг. 7):<br>
За медицентъра <math>P</math> на тетраедър <math>ABCD</math> и произволна точка <math>X</math> е
изпълнено равенството <ref>Христо Лесов – [https://matematika-plus.eu/wp-content/uploads/2021/04/2.2018.pdf ТЕОРЕМА НА ЛАЙБНИЦ ЗА ТЕТРАЕДЪР И НЕЙНИ ПРИЛОЖЕНИЯ]</ref>
<math>AX^2 + BX^2 + CX^2 + DX^2 = 4XP^2 + AP^2 + BP^2 + CP^2 + DP^2</math>,
или <math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4e^2 + f^2 + g^2 + h^2 + i^2</math>.
* Равнините, които минават през средата на ръба и са перпендикулярни на противоположния ръб, се пресичат в една точка (ортоцентър).<br> 
'''Ортоцентър''' в симплекс се дефинира като пресечна точка на хиперравнини, които са перпендикулярни на ръба и минават през центъра на тежестта на противоположния елемент. На фиг. 7 точка <math>P</math> е ортоцентър на стените <math>ABC</math> и <math>BCD</math> – пресечна точка на височините <math>AS_1</math> и <math>AS_2</math>. В общия случай за произволен тетраедър височините от четирите върха не се пресичат в една точка.
[[Файл:01-Schwerpunktsatz Leibniz-Tetraeder.png|ляво|260п|мини|''Фиг. 7''. Теорема на Лайбниц за медицентър на тетраедър.]]
[[Файл:Euler line tetraeder.png|център|390п|мини|''Фиг. 8''. Ойлерова права линия на тетраедър <math>US</math>.]]
* '''Ойлерова права линия'''. За общ тетраедър <math> \mathcal{T} \subset \R^3 </math> [[Ойлерова права]] на <math> \mathcal{T} </math> (по аналогия с двумерния случай на триъгълника) се нарича правата линия <math> e(\mathcal{T}) \subset \R^3 </math>, която минава през центъра на тежестта <math> S({\mathcal{T}}) </math> на <math> \mathcal{T} </math> и центъра <math> U({\mathcal{T}}) </math> на [[Описана сфера|описаната сфера]] около <math> \mathcal{T} </math> (фиг. 8). <ref>Altshiller-Court, S. 77</ref>
** Центърът на тежестта на тетраедъра <math>S</math>, центърът на описаната сфера <math>U</math>, центърът <math>F</math> на сферата, която минава през центровете на тежестта на стените на тетраедъра, и ортоцентърът <math>P</math> лежат на Ойлеровата права, като <math>US=SP=3\cdot SF</math>.
** Центърът на сферата <math>K</math>, вписана в комплементарния тетраедър, центърът на сферата <math>N</math>, вписана в антикомплементарния тетраедър, центърът на тежестта на тетраедъра <math>S</math> и центърът на вписаната сфера <math>I</math> лежат на същата права линия.
* Нека точка <math>G_1</math> разделя отсечката, свързваща ортоцентъра <math>P</math> и върха <math>1</math> в съотношение 1:2. Спуска се [[перпендикуляр]] от точка <math>G_1</math> към стената срещу връх <math>1</math>, който я пресича в точка <math>W_1</math>. Точките <math>G_1</math> и <math>W_1</math> лежат върху сфера (сфера на Фойербах), която минава през центровете на тежестта на стените на тетраедъра.
* Успоредни равнини, минаващи през три двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра, определят паралелепипеда, описан около тетраедъра.
* Центровете на сферите, които минават през трите върха и вписания център, лежат върху сфера, чийто център съвпада с центъра на описаната сфера. Това твърдение е вярно и за външни центрове.

== Видове тетраедри ==
Тетраедрите се категоризират и наименуват според [[Симетриия|симетриите]], които притежават (фиг. 9). Те съответстват на определени симетрични подгрупови отношения (фиг. 10).
[[Файл:Tetrahedron symmetry tree.png|ляво|350п|мини|''Фиг. 9''. Тетраедрични симетрии, показани в тетраедрични диаграми]]
[[Файл:Tetrahedral subgroup tree.png|център|300п|мини|''Фиг. 10''. Тетраедрични симетрични подгрупови отношения]]
{{clear}}
=== Равностенен тетраедър ===
[[Файл:Oblate tetrahedrille cell.png|мини|''Фиг. 11''. Равностенен тетраедър, вписан в куб. Два ръба имат двустенни ъгли от 90°, а четирите имат двустенни ъгли от 60°]]
{{Основна|Равностенен тетраедър}}
[[Равностенен тетраедър]] е този, на който всичките стени са еднакви триъгълници (фиг. 11). Нарича се още '''дисфеноид''', бисфеноид, равнобедрен, еквистенен, еквилицев или еквифациален тетраедър  (еквиедър с 4 стени).

Основни свойства на равностенния тетраедър:
[[Файл:Medial Triangle.svg|мини|''Фиг. 12''. Развивка на равностенен тетраедър – червеният триъгълник е основата.]]
* Всички стени имат равни площи и периметри.
* Всички стени са остроъгълни триъгълници (фиг. 11). Не е възможно да се конструира дисфеноид със стена правоъгълен или тъпоъгълен триъгълник.
* Тетраедърът има три оси на симетрия.
* Непресичащите се ръбове са равни по двойки (фиг. 11).
* Височините на тетраедъра са равни.
* Тристенните ъгли са равни.
* Противоположните двустенни ъгли са равни (фиг. 11).
* Сумата от всички двустенни ъгли е нула.
* Два равнинни ъгъла, лежащи на един и същи ръб, са равни.
* Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°.
* Развивката на тетраедъра е триъгълник или успоредник (фиг. 2, 12).
* Общите перпендикуляри на пресичащите се ръбове са перпендикулярни по двойки.
* Средните отсечки са перпендикулярни по двойки.
* Описаният паралелепипед е правоъгълен (фиг. 11).
* Центърът на тежестта на тетраедъра съвпада с центровете на описаната и вписаната сфера.
* Вписаната сфера се допира до лицата в центровете на окръжностите, описани около тези лица.
* Центровете на вписаните сфери лежат върху описаната сфера.

=== Ортоцентричен тетраедър ===
Ортоцентричен се нарича тетраедър, на който и трите двойки противоположни ръбове са перпендикулярни и всички височини, спуснати от върховете към противоположните стени, се пресичат в една точка. Когато само една двойка противоположни ръбове са взаимно перпендикулярни, това се нарича '''''полуортоцентричен тетраедър'''''.

Свойства на ортоцентричния тетраедър:
* Височините на тетраедъра се пресичат в една точка.
* Основите на височините на тетраедъра са ортоцентровете на стените.
* Всеки два противоположни ръба са взаимно перпендикулярни.
* Сумите на квадратите на противоположните ръбове са равни.
* Отсечките, свързващи средите на противоположните ръбове, са равни.
* Произведенията на косинусите на противоположни двустенни ъгли са равни.
* Сумата от квадратите на площите на стените е четири пъти по-малка от сумата от квадратите на произведенията на противоположните ръбове.
* Окръжностите от 9 точки ([[Окръжност на Ойлер|окръжности на Ойлер]]) на всички стени на тетраедъра принадлежат на една сфера (сфера от 24 точки).
* За ортоцентричен тетраедър, центровете на тежестта, точките на пресичане на височините на стените и точките, разделящи всяка височина на тетраедъра от върха до точката на пресичане на височините в съотношение на 2:1, лежат на една сфера (сфера от 12 точки).

=== Правоъгълен тетраедър ===
{{Основна|Правоъгълен тетраедър}}
Правоъгълен тетраедър е този, на който всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Той може да се получи чрез отрязване с равнина на тетраедър от [[правоъгълен паралелепипед]]. В триправоъгълен тетраедър трите лицеви ъгъла в един връх са прави ъгли, както в ъгъла на [[куб]] (фиг. 12). Страничните му стени са правоъгълни триъгълници. Ако и четирите стени са правоъгълни триъгълници, тетраедърът е '''''четириправоъгълен'''''. Той има 2 прави ъгъла във всеки от двата върха, затова се нарича още '''''двуправоъгълен''''' или '''''характерен тетраедър'''''. Известен е и с името '''''3-ортосхема'''''.
[[Файл:Kepler's tetrahedron in cube.png|ляво|280п|мини|''Фиг. 12''. Чертеж на [[Йохан Кеплер|Кеплер]] на правилен тетраедър, вписан в куб (вляво), и един от четирите триправоъгълни тетраедъра, които го заобикалят (вдясно), запълвайки куба.]]
[[Файл:Triangulated cube.svg|център|380п|мини|''Фиг. 13''. Куб, разчленен на шест характерни тетраедъра.]]
Например, специалният случай на 3-ортосхема с перпендикулярни ръбове с еднаква дължина е характерен за куба, което означава, че кубът може да бъде подразделен на екземпляри на тази ортосхема (фиг. 13). Ако неговите три перпендикулярни ръба са с единична дължина, останалите му ръбове са два с дължина <math>\sqrt{2}</math> и един с дължина <math>\sqrt{3}</math>, така че всичките му ръбове са ръбове или диагонали на куба. Кубът може да бъде разчленен на 6 такива 3-ортосхеми по 4 различни начина, като и шестте обграждат един и същ диагонал на куба с дължина <math>\sqrt{3}</math>. Кубът може също така да бъде разчленен на 48 по-малки екземпляра на същата характерна 3-ортосхема (само по един начин, чрез всичките си равнини на симетрия наведнъж). Характерният тетраедър на куба е пример за '''[[:en:Heronian tetrahedron|Херонов тетраедър]]''' (тетраедър, чиито дължини на ръбове, лицеви площи и обем са цели числа).
[[Файл:De_gua_theorem_1.svg|мини|upright=1.2|''Фиг. 14''. Триправоъгълен тетраедър ABCO с правоъгълен връх O]]
==== Теорема на Де Гуа ====
Ако в триправоъгълен тетраедър площта на основата е <math>S_{0}</math> и площите на трите правоъгълни стени са <math>S_{1}, S_{2}</math> и <math>S_{3}</math> (фиг. 14), тогава

<math>S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}.</math>

Теоремата е публикувана от френския математик [[:ru:Жан Поль де Гуа|Жан-Пол де Гуа]] (1713 – 1785) през 1783 г. Това е обобщение на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] за тетраедър.

=== Рамков тетраедър ===
Това е тетраедър, който отговаря на някое от следните условия: <ref>В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры [[:ru:Квант (журнал)|«Квант»]] № 7, 1983 г.</ref>
* Съществува сфера, допираща се до всички стени;
* Сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни;
* Сумите на двустенните ъгли в противоположните ръбове са равни;
* Окръжностите, вписани в стените, се допират по двойки;
* Всички четириъгълници, получаващи се от развивката на тетраедъра, са описани;
* Перпендикулярите, издигнати към стените от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.

=== Целочислен тетраедър ===
{{Основна|Херонов тетраедър}}
Целочислен или Херонов се нарича тетраедър с целочислени дължини на ръбовете, лицеви площи и обем. Пример: единият ръб е 896 mm, противоположният ръб е 990 и останалите четири ръба са по 1073 mm; двете стени са [[Триъгълник#Равнобедрен триъгълник|равнобедрени триъгълници]] с площи 436800, другите две са равнобедрени с площи 47120 mm², а обемът е 124185600 mm³.

Тетраедърът може да има целочислен обем и последователни цели числа като ръбове, като пример е този с ръбове 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и обем 48.

=== Съразмерен тетраедър ===
{{Основна|Съразмерен тетраедър}}
Съразмерен тетраедър е този, който има равни бисочини (двойни височини).

Свойства на съразмерния тетраедър:
* Двойните височини са равни.
* Проекцията на тетраедъра върху равнина, перпендикулярна на всяка бимедиана, е ромб.
* Стените на описания паралелепипед са еднакви по големина.
* Важат следните равенства: <br><math>4a^2{a_1}^2-(b^2+{b_1}^2-c^2-{c_1}^2)^2=4b^2{b_1}^2-(c^2+{c_1}^2-a^2-{a_1}^2)^2=4c^2{c_1}^2-(a^2+{a_1}^2-b^2-{b_1}^2)^2,</math> където <math>a</math> и <math>a_{1}</math>, <math>b</math> и <math>b_{1}</math>, <math>c</math> и <math>c_{1}</math> са дължини на противоположни ръбове.
* За всяка двойка противоположни ръбове на тетраедър равнините, прекарани през единия от тях и средата на втория, са перпендикулярни.
* В описания паралелепипед на съизмерим тетраедър може да се впише сфера.

=== Инцентричен тетраедър ===
При този тип отсечките, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни стени, се пресичат в една точка.

Свойства на инцентричния тетраедър:
* Отсечките, свързващи центровете на тежестта на стените на тетраедъра с противоположни върхове (медиани на тетраедъра), винаги се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тетраедъра.
* Ако в последното условие се заменят центровете на тежестта на стените с [[Ортоцентър|ортоцентровете]] на стените, това ще се превърне в ново определение за ''ортоцентричен тетраедър''. Ако те се заменят с центрове на вписани окръжности в стените, понякога наричани ''инцентрове'', получава се определението за нов клас тетраедри – ''инцентрични''.
* Отсечките, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположните стени на върховете, се пресичат в една точка.
* Симетралите на ъглите на две стени, начертани към общия ръб на тези стени, имат обща основа.
* Произведенията от дължините на срещуположните ръбове са равни.
* Триъгълникът, образуван от вторите пресечни точки на три ръба, излизащи от един връх с всяка сфера, минаваща през трите края на тези ръбове, е равностранен.

=== Правилен тетраедър ===
{{Основна|Правилен тетраедър}}
Правилен тетраедър се нарича равностенен тетраедър, чиито лица са [[Равностранен триъгълник|правилни триъгълници]] (фиг. 1, 15). Той е едно от петте [[платонови тела]]. Правилният тетраедър също е равностранна тристранна пирамида с равностранен триъгълник като нейна основа.
[[Файл:Cebe.jpg|мини|''Фиг. 15''. Правилен тетраедър]]
Ако ръбът на правилен тетраедър е с дължина <math>a</math> (фиг. 15),
* основната повърхнина е: <math>B = {\frac{\sqrt{3}}{4}}{a^2}</math>
* околната повърхност е: <math>S_{ok} = 3B = {\frac{{3}\sqrt{3}}{4}}{a^2}</math>
* пълната повърхнина е: <math>S = 4B = \sqrt{3} a^2</math>
* височината е: <math>h=\sqrt{\frac23}a={\sqrt6\over3}a</math>
* обемът e: <math>V = {\frac{\sqrt{2}}{12}}{a^3}</math> .

==== Основни свойства ====
* Всички ръбове на тетраедъра са равни по дължина,
* Всички стени на тетраедъра са еднакви равностранни триъгълници и всичките ъгли са по 60°,
* Непресичащите се ръбове на правилния тетраедър са взаимно перпендикулярни.
* Правилният тетраедър е едновременно ортоцентричен, рамков, равностенен, инцентричен и съизмерим.
* Тетраедърът е правилен, ако принадлежи към два от горните видове тетраедри.
* Правилният тетраедър е самодуален, което означава, че неговият дуал е друг правилен тетраедър.
* Тетраедърът е единственото Платоново тяло, което не е точково симетрично и има връх срещу всяка стена.
* Правилният октаедър е резултат от отрязването от правилен тетраедър на четири правилни тетраедъра с половината от линейния размер (т.е. коригиране на тетраедъра).
* В правилен тетраедър може да бъде вписан [[октаедър]] със съвпадане на стените, както и сфера, допираща се в стените на тетраедъра.
[[Файл:Tetraeder_animation_with_cube.gif|мини|''Фиг. 16''. Тетраедър, вписан в куб]]
* Правилен тетраедър може да бъде вписан в [[куб]] по два начина и в [[додекаедър]], като върховете му съвпадат с върховете на тези тела. [[Йохан Кеплер]] открива, че тетраедърът може да бъде вписан в куба, като заема четири от осемте ъгъла на куба, като ръбовете му са диагонали на шестте квадратни стени. Неговата рисунка на връзката между двете твърди тела (фиг. 12) се появява на страница 181 от книга V от неговите „Хармоници на света“, публикувана през 1619 г. На фиг. 16 е показан правилен тетраедър, вписан в куб, като ръбовете му са диагоналите на стените на куба. Обемът на тетраедъра, вписан в куб е <math>1/3</math> от обема на куба:
:<math>V=\frac{a^3}{3}</math> ,

където <math>a</math> е страната на куба. <ref>Alsina, C.; Nelsen, R. B. (2015). ''A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century''. Mathematical Association of America. [https://books.google.bg/books?id=FEl2CgAAQBAJ&pg=PA68&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false p.68]</ref> 
* Около правилен тетраедър може да се опише сфера, като върховете му лежат на сферата, както е показано на фиг. 3 и 17.
[[Файл:Вписанный тетраэдр.svg|250п|мини|''Фиг. 17''. Описана сфера около тетраедър]]
 
== Обем на тетраедър ==
* Ако четирите [[връх (геометрия)|върха]] са точките, означени A, C, D и O (фиг. 17), основата е триъгълник <math>CDO</math> с площ <math>B</math> и височината на тетраедъра е <math>AH=h</math>, то обемът му е:
:<math>V=\frac{Bh}{3}.</math>

Обемът на тетраедъра може да се изрази чрез всяка комбинация от двойки върхове, които образуват просто свързан [[Граф (математика)|граф]]:
:<math>V = \frac{1}{6} \left|det(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right|, </math> <math>V = \frac{1}{6} \left|det(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CO})\right|,</math>
:<math>V = \frac{1}{6} \left|det(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DO})\right|,</math> <math>V = \frac{1}{6} \left|det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OC})\right|.</math>

Вижда се, че обемът на тетраедър е равен на ⁠1/6⁠ от обема на всеки паралелепипед, който споделя три събиращи се ръба с него.

* Обемът на тетраедър чрез дължините на ръбовете <math>a_{ij}</math> между <math>i</math>-ия и <math>j</math>-ия връх <math>(i, j=1, ..., 4)</math> се изразява с помощта на [[Симплекс#Свойства|детерминантата на Кели–Менгер]] <math>KM</math>:
:<math>V=\sqrt {\frac{KM}{288}}</math> ,<br>
където
:<math>KM =
\begin{vmatrix}
  0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
  1 & 0        & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 \\
  1 & a_{12}^2 & 0        & a_{23}^2 & a_{24}^2 \\
  1 & a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0        & a_{34}^2 \\
  1 & a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0
\end{vmatrix}.</math>
Тази формула има плосък аналог за [[Триъгълник#Лице на триъгълник|лице на триъгълник]] под формата на вариант на [[Формула на Херон|формулата на Херон]] чрез подобна детерминанта.

* Обемът на тетраедър през дължините на два срещуположни ръба <math>a</math> и <math>b</math>, като пресичащи се прави, които са разположени на разстояние <math>h</math> един от друг и образуват ъгъл <math>\phi</math> помежду си, се намира по формулата
:<math>V=\frac {abh \sin \phi}{6}.</math>

* Обемът на тетраедър чрез дължините на трите му ръба <math>a, b</math> и <math>c</math>, излизащи от един връх и образуващи съответно по двойки равнинни ъгли <math>\alpha ,\beta ,\gamma</math> се намира по формулата <ref>Моденов П. С. – Задачи по геометрии – М., издательство „Наука“, 1979, стр.16.</ref>
:<math>V=\frac {abc \sqrt {D}}{6},</math>

където <math>D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}} .</math>

Аналогът в равнината на последната формула е формулата за лице на триъгълник чрез дължините на двете му страни <math>a</math> и <math>b</math>, излизащи от един връх и образуващи ъгъл <math>\gamma</math> една с друга:
:<math>S=\frac {ab \sqrt {D}}{2},</math>

където <math>D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.</math>

* Съществува аналог на [[Формула на Херон|формулата на Херон]] за обема на тетраедър. Нека <math>U, V, W, u, v</math> и <math>w</math> са дължините на ръбовете на тетраедъра, както е показано на фиг. 18.
[[Файл:Six edge-lengths of Tetrahedron.png|248п|мини|''Фиг. 18''. Означения на ръбовете на тетраедър за изчисление на обема по Хероновата формула]]
Всяка двойка противоположни ръбове са означени с една и съща голяма и малка буква: <math>U</math> срещу <math>u</math>, <math>V</math> срещу <math>v</math> и <math>W</math> срещу <math>w</math>. Така ръбовете <math>UVW</math> образуват триъгълник, а <math>uvw</math> – върха срещу него.

Полагат се означенията
<math>X = (w - U + v)(U + v + w), \quad x = (U - v + w)(v - w + U),</math>
<math>Y = (u - V + w)(V + w + u), \quad y = (V - w + u)(w - u + V),</math>
<math>Z = (v - W + u)(W + u + v), \quad z = (W - u + v)\,(u - v + W)</math>

и
<math display="block"> \begin{align}
 p = \sqrt{xYZ}, &\quad q = \sqrt{yZX}, \\
 r = \sqrt{zXY}, &\quad s = \sqrt {xyz},
\end{align} </math>

Тогава обемът на тетраедъра е <ref> Маркелов С. – Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6, 2002, стр. 132.</ref>
<math display="block"> V = \frac{\sqrt {\,( - p + q + r + s)\,(p - q + r + s)\,(p + q - r + s)\,(p + q + r - s)}}{192\,u\,v\,w}</math>

* Всяка равнина, съдържаща бимедиана (съединител на средните точки на противоположните ръбове) на тетраедър, разполовява обема на тетраедъра.{{sfn|Bottema|1969}}
* За тетраедри в [[:ru:Пространство Лобачевского|хиперболично пространство]] или в триизмерна [[:ru:Геометрия Римана|елиптична геометрия]] двустенните ъгли на тетраедъра определят неговата форма и следователно неговия обем. В тези случаи обемът на хиперболичния тетраедър <math>T</math> се дава от [[Формула на Мураками–Яно|формулата на Мураками–Яно]]<ref>В. А. Краснов – [https://www.mathnet.ru/links/c7e0f52273df51962b2c781c4b41e908/cmfd247.pdf Об интегральных формулах объема гиперболических тетраэдров], СМФН, 2013, том 49, 89–98.</ref> на Джун Мураками и Масаказу Яно.{{sfn|Murakami|Yano|2005}}
<math display="block"> V(T)=Im \left[ \frac{U(z_1,T)-U(z_2,T)}{2} \right],</math>
където
<math>U(z,T)={\frac{1}{2}} \left[ Li_{2}(z) + Li_{2}(zabde) + Li_{2}(zacdf) + Li_{2}(zbcef) - Li_{2}(-zabc) - Li_{2}(-zaef) - Li_{2}(-zbdf) - Li_{2}(-zcde) \right] </math>

е емпирична функция на Мураками–Яно;<br>
<math>Li_{2}(z) = \int\limits_{0}^{z} \frac{\ln(1-t)}{t} \; dt</math> (z ∈ <math>\C</math>\[1; +∞)) – клон на дилогаритъма на Ойлер, съответстващ на клона на логаритмичната функция ln θ = ln |θ| + i arg θ (−π < argθ < π).
 
В евклидовото пространство обаче мащабирането на тетраедър променя неговия обем, но не и неговите двустенни ъгли, така че не може да съществува такава формула.
* Всеки два противоположни ръба на тетраедър лежат на две [[кръстосани прави]], а разстоянието между ръбовете се определя като разстоянието между двете кръстосани прави. Нека <math>d</math> е разстоянието между косите линии, образувани от противоположните ръбове <math>a</math> и <math>\mathbf {b} -\mathbf {c}</math>, както е изчислено тук. Тогава друга формула за обема на тетраедър е <math>V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.</math>

== Формули за тетраедър в декартови координати в пространството ==
Обозначения:

<math>\mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),</math> <math>\mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2),</math><math>\mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),</math><math>\mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)</math> — координати на върховете на тетраедъра.

* Обем на тетраедъра (с отчитане на знака):
<math>V = \frac16
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & y_1 & z_1 \\
1 & x_2 & y_2 & z_2 \\
1 & x_3 & y_3 & z_3 \\
1 & x_4 & y_4 & z_4
\end{vmatrix} </math>.

* Координати на центъра на тежестта ([[медицентър]]а): <math>\mathbf{r}_T (x_T,y_T,z_T)</math>
<math>x_T=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} ;</math> <math>y_T=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} ;</math> <math>z_T=\frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}.</math>

* Координати на центъра на вписаната сфера: <math>\mathbf{r}_r (x_r,y_r,z_r)</math> 
<math>x_r=\frac{S_1 x_1+S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 } ;</math> <math>y_r=\frac{S_1 y_1+S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 } ;</math> <math>z_r=\frac{S_1 z_1+S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 },</math>

където <math>S_1, S_2, S_3</math> и <math>S_4</math> са площите на стените, противолежащи съответно на първия, втория, третия и четвъртия връх.

Съответното уравнение на вписаната сфера е

<math>(x-\frac{S_1 x_1+S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(y-\frac{S_1 y_1+S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(z-\frac{S_1 z_1+S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2=(\frac{3V}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2,</math>

Уравнение на външновписаната сфера, противолежаща на първия връх:

<math>(x-\frac{-S_1 x_1+S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(y-\frac{-S_1 y_1+S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(z-\frac{-S_1 z_1+S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2=(\frac{3V}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2,</math>

Уравнение на външновписаната сфера, противолежаща на първия и втория връх (броят на такива сфери може да бъде от 0 до 3):

<math>(x-\frac{-S_1 x_1-S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2+(y-\frac{-S_1 y_1-S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2+(z-\frac{-S_1 z_1-S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2=(\frac{3V}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2,</math>

* Уравнение на описаната сфера:
<math>\begin{vmatrix}
x^2+ y^2+z^2& x & y & z & 1 \\
x_1^2+ y_1^2+z_1^2& x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2^2+ y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3^2+ y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4^2+ y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{vmatrix}=0. </math>

== Формули за тетраедър в барицентрични координати ==
Обозначения:

<math>\mathbf{J} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\alpha_1 \mathbf{J_1}+\alpha_2 \mathbf{J_2}+\alpha_3 \mathbf{J_3}+\alpha_4 \mathbf{J_4},</math> — [[барицентрични координати]].

* Обем на тетраедъра (с отчитане на знака): <br>
Нека <math>\mathbf{J}_1 (x_1,y_1,z_1,t_1), \mathbf{J}_2 (x_2,y_2,z_2,t_2), \mathbf{J}_3 (x_3,y_3,z_3,t_3), \mathbf{J}_4 (x_4,y_4,z_4,t_4)</math> са координати на върховете на тетраедъра.
Тогава обемът му е

<math>V=\frac{\begin{vmatrix}
  x_1 & y_1 & z_1 & t_1 \\
  x_2 & y_2 & z_2 & t_2\\
  x_3 & y_3 & z_3 & t_3 \\
  x_4 & y_4 & z_4 & t_4 \\
\end{vmatrix} }{(x_1 + y_1 + z_1 + t_1)(x_2 + y_2 + z_2 + t_2)(x_3 + y_3 + z_3 + t_3)(x_4 + y_4 + z_4 + t_4)}V',</math> <br>където <math>V'</math> е обем на базисния тетрадър.

* Координати на центъра на тежестта ([[медицентър]]а): <math>\mathbf{J}_T (1,1,1,1).</math>

* Координати на центъра на вписаната сфера: <math>\mathbf{J}_r (S_1,S_2,S_3,S_4).</math>

* Координати на центъра на описаната сфера:
<math>\mathbf{J}_R=
\begin{vmatrix}
  0 & \mathbf{J_1}        & \mathbf{J_2}       & \mathbf{J_3}        & \mathbf{J_4}        \\
  1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\
 1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\
 1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\
 1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\
\end{vmatrix}.</math>

* Разстояние между точките <math>\mathbf{J}_A (A_1,A_2,A_3,A_4)</math> и <math>\mathbf{J}_B (B_1,B_2,B_3,B_4)</math>:
Нека <math> C_1=\frac{A_1}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_1}{B_1+B_2+B_3+B_4};
C_2=\frac{A_2}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_2}{B_1+B_2+B_3+B_4};</math><br>
<math> C_3=\frac{A_3}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_3}{B_1+B_2+B_3+B_4};
C_4=\frac{A_4}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_4}{B_1+B_2+B_3+B_4}.</math>

Тогава разстоянието между две точки се определя от израза: <math>d^2=-(C_1 C_2 \alpha _{1,2}^2 + C_1 C_3 \alpha _{1,3}^2+C_1 C_4 \alpha _{1,4}^2+C_2 C_3 \alpha _{2,3}^2+C_2 C_4\alpha _{2,4}^2+C_3 C_4 \alpha _{3,4}^2).</math>

* Уравнение на равнина по три точки:
Тук и по-долу са приведените координати. 

<math>\begin{vmatrix}
  x & y & z & t \\
  x_1 & y_1 & z_1 & t_1\\
  x_2 & y_2 & z_2 & t_2 \\
  x_3 & y_3 & z_3 & t_3 \\
\end{vmatrix}=0.</math>

* Уравнение на сфера по център и радиус:
<math>R^2=-((x-x_0) (y-y_0) \alpha _{1,2}^2 + (x-x_0) (z-z_0) \alpha _{1,3}^2+(x-x_0) (t-t_0) \alpha _{1,4}^2+(y-y_0) (z-z_0) \alpha _{2,3}^2+(y-y_0) (t-t_0)\alpha _{2,4}^2+(z-z_0)(t-t_0)\alpha _{3,4}^2).</math>

* Уравнение на равнина по точка и вектор на [[нормала]]та:
<math>(\eta_1(y-y_0)+\eta_2(x-x_0)) \alpha _{1,2}^2 + (\eta_1(z-z_0)+\eta_3(x-x_0))\alpha _{1,3}^2+(\eta_1(t-t_0)+\eta_4(x-x_0))\alpha _{1,4}^2+(\eta_2(z-z_0)+\eta_3(y-y_0))\alpha _{2,3}^2+(\eta_2(t-t_0)+\eta_4(y-y_0))\alpha _{2,4}^2+ (\eta_3(t-t_0)+\eta_4(z-z_0))\alpha _{3,4}^2=0.</math>
Тъй като [[вектор]] е разликата между две точки (начало и край на вектора), то <math>\eta_1+\eta_2+\eta_3+\eta_4=0.</math>

== Сравнение на формули за триъгълник и тетраедър ==
{| border="1"
|-
! colspan="2" |Площ (Обем)
|-align="center"
| <math>S=\sqrt{-\frac{1}{16}\begin{vmatrix}
 0 & 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & a^2 & b^2 \\
 1 & a^2 & 0 & c^2 \\
 1 & b^2 & c^2 & 0 \\
\end{vmatrix}},</math> <br>където <math>a, b, c</math> са страните на триъгълника
| <math>V=\sqrt{\frac{1}{288}\begin{vmatrix}
 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & a_{2,1}^2 & a_{3,1}^2 & a_{4,1}^2 \\
 1 & a_{2,1}^2 & 0 & a_{3,2}^2 & a_{4,2}^2 \\
 1 & a_{3,1}^2 & a_{3,2}^2 & 0 & a_{4,3}^2 \\
 1 & a_{4,1}^2 & a_{4,2}^2 & a_{4,3}^2 & 0 \\
\end{vmatrix}}</math>, <br>където <math>a_{i,j}</math> е разстоянието между върховете <math>i</math> и <math>j</math> <math>(i, j=1, 2, 3, 4),</math> <br>т.е. ръбовете на тетраедъра
|-align="center"
| <math>S=\frac {a h_{a}}{2} ,</math> <br>където <math>h_a</math> е височината към страната <math>a</math> <br>Също <math>S=\frac {b h_{b}}{2}=\frac {c h_{c}}{2}</math>
| <math>V=\frac {S_1 H_1}{3} ,</math> <br>където <math>H_1</math> е височината към стeната с площ <math>S_1</math> <br>Аналогично <math>V=\frac{S_2H_2}{3}=\frac{S_3H_3}{3}=\frac{S_4H_4}{3}</math>
|-align="center"
| <math>S=\frac {ab \sin \gamma}{2},</math> <br>където <math>\gamma</math> е ъгълът между страните <math>a</math> и <math>b</math><br>Също <math>S=\frac{ac\sin\beta}{2}=\frac{bc\sin\alpha}{2}</math>
| <math>V=\frac {2}{3} \frac {S_1 S_2}{a_{3,4}} \sin (\phi_{1,2})</math>,<br>
където: <math>\phi_{1,2}</math> е ъгълът между стените 1 и 2 с площи <math>S_1</math> и <math>S_2 </math>, <br>противолежащи на върховете 1 и 2 <br>Аналогично <math>V=\frac {2}{3} \frac {S_3 S_4}{a_{1,2}} \sin (\phi_{3,4})=\frac {2}{3} \frac {S_1 S_3}{a_{2,4}} \sin (\phi_{1,3})=\frac {2}{3} \frac {S_2 S_4}{a_{1,3}} \sin (\phi_{2,4})</math> и <math>V=\frac {2}{3} \frac {S_1 S_4}{a_{2,3}} \sin (\phi_{1,4})=\frac {2}{3} \frac {S_2 S_3}{a_{1,4}} \sin (\phi_{2,3})</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Дължина (площ) на [[ъглополовяща]]
|-align="center"
| <math>l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math> <br>е дължината на ъглополовящата права на ъгъл <math>\gamma</math> срещу страната <math>c</math> <br>Също <math>l_b = \frac {2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}, </math><math>l_a = \frac {2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}</math>
| <math>L_{1,2}=\frac{2 S_1 S_2 \cos(\frac{\phi_{1,2}}{2})}{S_1+S_2}</math> <br>е площта на ъглополовящата стена на двустенния ъгъл <math>\phi_{1,2}</math> <br>между стените с площи <math>S_1</math> и <math>S_2 </math> <br>Аналогично <math>L_{1,3}=\frac{2 S_1 S_3 \cos(\frac{\phi_{1,3}}{2})}{S_1+S_3},</math> <math>L_{1,4}=\frac{2 S_1 S_4 \cos(\frac{\phi_{1,4}}{2})}{S_1+S_4},</math> <math>L_{2,3}=\frac{2 S_2 S_3 \cos(\frac{\phi_{2,3}}{2})}{S_2+S_3},</math> <math>L_{2,4}=\frac{2 S_2 S_4 \cos(\frac{\phi_{2,4}}{2})}{S_2+S_4},</math> <math>L_{3,4}=\frac{2 S_3 S_4 \cos(\frac{\phi_{3,4}}{2})}{S_3+S_4}</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Дължина на [[медиана]]
|-align="center"
| <math>m_c =\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}</math> <math>m_b=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{2}</math> <math>m_a =\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}</math>
|<math>m_1=\frac{\sqrt{3(a_{1,2}^2+a_{1,3}^2+a_{1,4}^2)-(a_{2,3}^2+a_{2,4}^2+a_{3,4}^2)}}{3}</math> <math>m_2=\frac{\sqrt{3(a_{1,2}^2+a_{2,3}^2+a_{2,4}^2)-(a_{1,3}^2+a_{1,4}^2+a_{3,4}^2)}}{3}</math> <math>m_3=\frac{\sqrt{3(a_{1,3}^2+a_{2,3}^2+a_{3,4}^2)-(a_{1,2}^2+a_{1,4}^2+a_{2,4}^2)}}{3}</math> <math>m_4=\frac{\sqrt{3(a_{1,4}^2+a_{2,4}^2+a_{3,4}^2)-(a_{1,2}^2+a_{1,3}^2+a_{2,3}^2)}}{3}</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Радиус на вписаната окръжност (сфера)
|-align="center"
| <math>r=\frac{2S}{a+b+c}</math> || <math>r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Радиус на описаната окръжност (сфера)
|-align="center"
| <math>R = \frac {abc}{4S}</math> || <math>R=\frac{S_T}{6 V}</math>, където <math>S_T</math> е площта на триъгълника със страни <math>a_{1,2} a_{3,4}, a_{1,3} a_{2,4}, a_{1,4} a_{2,3}</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Косинусова теорема
|-align="center"
| <math>\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},</math> <math>\cos{\beta} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac},</math> <math>\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}</math>
| <math>\cos (\phi_{1,2})=\frac{A_{1,2}}{16 S_1 S_2}</math>,<br>
където: <math>\phi_{1,2}</math> е ъгълът между стени 1 и 2; <math> S_1</math> и <math> S_2 </math> — площ на стените, противолежащи на върхове 1 и 2; <math>A_{1,2}</math> — [[:ru:Алгебраическое дополнение|алгебрично допълнение]] на елемента <math>a_{2,1}^2</math> на матрицата
<math>\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 1 & 0 & a_{2,1}^2 & a_{3,1}^2 & a_{4,1}^2 \\
 1 & a_{2,1}^2 & 0 & a_{3,2}^2 & a_{4,2}^2 \\
 1 & a_{3,1}^2 & a_{3,2}^2 & 0 & a_{4,3}^2 \\
 1 & a_{4,1}^2 & a_{4,2}^2 & a_{4,3}^2 & 0 \\
\end{pmatrix}</math> <br> Аналогично <math>\cos (\phi_{1,3})=\frac{A_{1,3}}{16 S_1 S_3},</math> <math>\cos (\phi_{1,4})=\frac{A_{1,4}}{16 S_1 S_4},</math> <math>\cos (\phi_{2,3})=\frac{A_{2,3}}{16 S_2 S_3},</math> <math>\cos (\phi_{2,4})=\frac{A_{2,4}}{16 S_2 S_4},</math> <math>\cos (\phi_{3,4})=\frac{A_{3,4}}{16 S_3 S_4}</math>, а допълненията <math>A_{i,j} </math> <math> (i, j=1, 2, 3, 4)</math> се получават чрез циклична замяна на съответните индекси. 
|-align="center"
! colspan="2" |Синусова теорема
|-align="center"
| <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma},</math> <br>
където <math> \alpha, \beta</math> и <math>\gamma</math> са ъглите срещу съответните страни <math>a, b</math> и <math>c</math>
|<math>\frac{S_1}{\Psi_1}=\frac{S_2}{\Psi_2}=\frac{S_3}{\Psi_3}=\frac{S_4}{\Psi_4}</math>,<br>
където: <math> S_1, S_2, S_3, S_4</math> са площите на стените, противолежащи на върхове 1, 2, 3, 4; <math>\Psi_i =\sqrt{\begin{vmatrix}
 1 & -\cos (A_i) & -\cos (B_i) \\
 -\cos (A_i) & 1 & -\cos (C_i) \\
 -\cos (B_i) & -\cos (C_i) & 1 \\
\end{vmatrix}}</math>; <br><math>A_i, B_i, C_i</math> са двустенните ъгли при <math>i</math>-ия връх, <math>(i=1, 2, 3, 4)</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Теорема за сумата от ъглите на триъгълника (съотношение между двустенните ъгли на тетраедъра)
|-align="center"
| <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math> ||<math>\begin{vmatrix}
 1 & -\cos \left(\phi_{2,1}\right) & -\cos \left(\phi_{3,1}\right) & -\cos \left(\phi_{4,1}\right) \\
 -\cos \left(\phi_{2,1}\right) & 1 & -\cos \left(\phi_{3,2}\right) & -\cos \left(\phi_{4,2}\right) \\
 -\cos \left(\phi_{3,1}\right) & -\cos \left(\phi_{3,2}\right) & 1 & -\cos \left(\phi_{4,3}\right) \\
 -\cos \left(\phi_{4,1}\right) & -\cos \left(\phi_{4,2}\right) & -\cos \left(\phi_{4,3}\right) & 1 \\
\end{vmatrix}=0</math>,<br>където <math>\phi_{i,j}</math> е ъгълът между стени <math>i</math> и <math>j</math> <math>(i, j=1, 2, 3, 4),</math>
|-align="center"
! colspan="2" |Разстояние между центровете на вписаната и описаната окръжности (сфери)
|-align="center"
| <math>R^2 - d^2 = 2Rr</math>
| <math>R^2 - d^2 = \frac{S_1 S_2 a_{1,2}^2+S_1 S_3 a_{1,3}^2+S_1 S_4 a_{1,4}^2+S_2 S_3 a_{2,3}^2 +S_2 S_4 a_{2,4}^2+S_3 S_4 a_{3,4}^2}{(S_1+S_2+S_3+S_4)^2},</math><br>
където <math>S_1, S_2, S_3, S_4</math> е площ на стените, противолежащи на върховете 1, 2, 3, 4.

Друг запис на израза: <math>R^2 - d^2 = 2rT,</math> където <math>T</math> е разстоянието между центъра на описаната сфера и центъра на сферата, минаваща през три върха и инцентъра.
|}

== Подразделяне и класове на подобие ==
'''Подразделянето''' на тетраедри е процес, използван в изчислителната геометрия и 3D моделиране за разделяне на тетраедър на няколко по-малки тетраедъра. Този процес подобрява сложността и детайлите на тетраедричните мрежи, което е особено полезно при числени симулации, анализ на крайни елементи и компютърна графика. Един от често използваните методи за подразделяне е '''разполовяването на най-дългия ръб (LEB)''', което идентифицира най-дългия ръб на тетраедъра и го разполовява в средната му точка, генерирайки два нови, по-малки тетраедъра. Когато този процес се повтаря многократно, разполовявайки всички тетраедри, генерирани във всяка предишна итерация, процесът се нарича '''''итеративен LEB'''''.

'''Клас на подобие''' е набор от тетраедри с еднаква геометрична форма, независимо от тяхната конкретна позиция, ориентация и мащаб. И така, всеки два тетраедъра, принадлежащи към един и същ клас на подобие, могат да бъдат трансформирани един към друг чрез афинна трансформация. Резултатът от наличието на ограничен брой класове на сходство в методите за итеративно подразделяне е важен за изчислителното моделиране и симулация. Той намалява променливостта във формите и размерите на генерираните тетраедри, като предотвратява образуването на силно неправилни елементи, които биха могли да компрометират резултатите от симулацията.

Доказано е, че итеративният LEB на правилния тетраедър произвежда само 8 класа на подобие. Освен това, в случай на почти равностранни тетраедри, където двата им най-дълги ръба не са свързани един с друг и съотношението между най-дългия и най-късия им ръб е по-малко или равно на <math>\sqrt {\frac{3}{2}}</math>, итеративният LEB произвежда не повече от 37 класа на подобие. <ref>{{Cite journal |last1=Trujillo-Pino |first1=Agustín |last2=Suárez |first2=Jose Pablo |last3=Padrón |first3=Miguel A. |date=2024 |title=Finite number of similarity classes in Longest Edge Bisection of nearly equilateral tetrahedra |journal=Applied Mathematics and Computation |volume=472 |pages=128631 |doi=10.1016/j.amc.2024.128631 |issn=0096-3003|doi-access=free |hdl=10553/129894 |hdl-access=free }}</ref>

== Запълващи пространството тетраедри ==
[[Файл:Quartercell honeycomb.png|170п|мини|''Фиг. 19''. Тетраедрична дисфеноидна пчелна пита]]
Тетраедър може да запълни пространство, ограничено от стени, по-голямо от неговия обем, като се обгражда с директно конгруентни (идентични) или енантиоморфни ([[огледален образ]]) копия на себе си.{{Sfn|Coxeter|1973|pp=33–34|loc=§3.1 Congruent transformations}} Кубът може да бъде разчленен на шест 3-ортосхеми: три леви и три десни, по една от всяка на всяка страна на куба (фиг. 13), така че характерната 3-ортосхема е тетраедър, запълващ пространството на куба в този смисъл. Характерната ортосхема на куба е един от [[:en:Hill tetrahedron|тетраедрите на Хил]] – семейство тетраедри, запълващи пространството. Всички тетраедри, запълващи пространството, са ножични конгруентни на куб.

Дисфеноидът може да бъде запълващ пространството тетраедър в директно конгруентен смисъл, както в тетраедричната дисфеноидна пчелна пита (фиг. 19). Правилните тетраедри, обаче, не могат да запълнят пространството сами по себе си (нещо повече, те не са ножично конгруентни с други многостени, които могат да запълнят пространството – [[:ru:Третья проблема Гильберта|трети проблем на Хилберт]]). Тетраедрично-октаедричната пчелна пита запълва пространството с редуващи се правилни тетраедрични клетки и правилни октаедрични клетки в съотношение 2:1.

== Свързани многостени и съединения ==
Правилният тетраедър може да се разглежда като:
* триъгълна [[пирамида]];
* изроден многостен, равномерна ''дигонална [[:ru:Антипризма|антипризма]]'', където базовите многоъгълници са редуцирани [[:ru:Двуугольник|двуъгълници]];
* изроден многостен, равномерен двоен дигонален трапецоедър, съдържащ 6 върха, в два комплекта колинеарни ръбове.

Процесът на отрязване, приложен към тетраедъра, създава серия от еднакви многостени. Срязването на ръбовете до точки създава [[октаедър]]а като ректифициран тетраедър. Процесът завършва като двойна ректификация, намалявайки оригиналните лица надолу до точки и произвеждайки отново самодуалния тетраедър. 

Тетраедърът е топологично свързан:
* като част от последователност от правилни многостени със [[символ на Шлефли]] {3,n}, продължаващи в хиперболичната равнина;
* с поредица от правилни многостени и стении с [[:ru:Линк вершины многогранника|върхови фигури]] от 3-ти ред.
<gallery mode="packed" caption="''Фиг. 20''. Съединения на тетраедри">
Image:CubeAndStel.svg|[[:ru:Звёздчатый октаэдр|Два тетраедъра <br>в куб]]
Image:Compound of five tetrahedra.png|[[:ru:Соединение пяти тетраэдров|Съединение от 5 тетраедъра]]
Image:Compound of ten tetrahedra.png|Съединение от 10 тетраедъра
</gallery>
{{clear}}
Интересен многостен може да бъде конструиран от [[:ru:Соединение пяти тетраэдров|пет пресичащи се тетраедъра]] (фиг. 20). Това [[:ru:Соединение многогранников|съединение от 5 тетраедъра]] е известно от стотици години. То се появява редовно в света на [[оригами]]. Свързването на двадесетте върха би образувало правилен [[додекаедър]]. Има както лява, така и дясна форма, които са огледални изображения една на друга. Наслагването на двете форми дава съединение от 10 тетраедъра, които са подредени като пет двойки звездовидни октаедри. [[:ru:Звёздчатый октаэдр|Звездовидният октаедър]] е съединение от два тетраедъра в двойна позиция и неговите осем върха определят куб като тяхната изпъкнала обвивка.

Квадратният [[:ru:Осоэдр|хозоедър]] е друг четиристен, но той няма триъгълни стени.

[[:ru:Многогранник Силаши|Многостенът на  Силаши]] и тетраедърът са единствените два известни многостена, в които всяка стена споделя ръб с друга стена. Освен това [[:ru:Многогранник Часара|многостенът на Часзар]] (самият той е двойствен на многостена на Силаши) и тетраедърът са единствените два известни многостена, в които всеки диагонал лежи на страните.

== Източници и бележки ==
<references/>

== Вижте също ==
* [[Правилен тетраедър]]
* [[Тетраедрално число]]
* [[Четиристен]]
* [[Триъгълник]]
* [[Петоклетъчник|Пентахорон]]
* [[Пирамида]]
* [[Квадратна пирамида]]

{{нормативен контрол}}

[[Категория:Пирамиди (геометрия)]]
[[Категория:Антипризми]]
[[Категория:Многостени]]