Преглед на кода на Съвършен паралелепипед

'''Съвършен паралелепипед''' или '''перфектен кубоид''' се нарича [[правоъгълен паралелепипед]], в който всичките седем основни величини (три ръба, диагонали на стените и телесен [[диагонал]]) са цели числа.<ref name=Стюарт>{{cite book | title = Величайшие математические задачи | last = [[:ru:Стюарт, Иэн (математик)|Йън Стюарт]] | first =  | authorlink =  | year = 2016 | edition = Изд. „Альпина нон-фикшн“ | location = Москва | isbn = 978-5-91671-507-1 | pages = 407 | accessdate = | lang = ru}}</ref> С други думи, перфектният кубоид е решение на системата от следните [[Диофантово уравнение|диофантови уравнения]] в цели числа:
[[Файл:Euler_brick_perfect.svg|250п|мини|Съвършен паралелепипед с ръбове {{math|''a'', ''b'', ''c''}}, диагонали на стените (лицата) {{math|''d'', ''e'', ''f''}} и телесен диагонал {{math|''g''}}]]
: <math>\begin{cases}
 a^2 + b^2 = d^2, \\
 a^2 + c^2 = e^2, \\
 b^2 + c^2 = f^2, \\
 a^2 + b^2 + c^2 = g^2.
\end{cases}</math>

Компютърният анализ показва, че ако съществува съвършен паралелепипед:
* най-малкият ръб трябва да е по-голям от 5 × 10<sup>11</sup>. <ref name=Matson>R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160326102729/http://unsolvedproblems.org/S58.pdf |date=26 березня 2016 }}</ref>
* нечетният ръб трябва да е по-голям от 2,5 × 10<sup>13</sup>. <ref name=Matson/>
* пространственият диагонал {{math|''g''}} трябва да бъде по-голям от 9 × 10<sup>15</sup>. <ref name=yoyo@home>Yoyo@Home, Perfect Cuboid sub-project, http://www.rechenkraft.net/yoyo/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170922192347/http://www.rechenkraft.net/yoyo/ |date=22 вересня 2017 }}</ref>

През 2005 г. студентът Лаша Маргишвили от [[Тбилиси]] е предложил доказателство, че целочислен [[кубоид]] не съществува, но към 2009 г. работата още не е проверена от независими учени.<ref>Lasha Margishvili ''"The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)"'': [http://groups.google.com/group/sci.math/msg/f8035dd5d558201a part 1], [http://groups.google.com/group/sci.math/msg/8828c636b651fb76 part 2]</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.mualphatheta.org/Science_Fair/Science_Fair_Winners.html |title=Mu Alpha Theta <!-- Заглавието е добавено от робот --> |accessdate=26 листопада 2006 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20061126183733/http://www.mualphatheta.org/Science_Fair/Science_Fair_Winners.html |archivedate=26 листопада 2006 |deadurl=yes |архив_дата=2006-11-26 |архив_уеб_адрес=https://web.archive.org/web/20061126183733/http://www.mualphatheta.org/Science_Fair/Science_Fair_Winners.html}}</ref>

От септември 2017 г. проектът за [[разпределени изчислителни системи]] [[yoyo@home]] <ref>{{Cite web |url=http://www.rechenkraft.net/yoyo/. |title=yoyo@home<!-- Заглавието е добавено от робот --> |access-date=2018-01-22 |archive-date=2018-01-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180122225157/http://www.rechenkraft.net/yoyo/ |deadlink=no }}</ref> започна да търси съвършен паралелепипед. Стартира подпроектът '''Perfect Cuboid''', който се занимава с намирането на правоъгълни паралелепипеди в [[Естествено число|естествени числа]]: Perfect, Edge, Face (цяло), както и някои видове паралелепипеди в [[Комплексно число|комплексни числа]] (Perfect Complex, Imaginary и Twilight). От октомври 2018 г. подпроектът гласи, че ако съществува съвършен паралелепипед, неговият пространствен диагонал трябва да бъде по-голям от 2<sup>53</sup> ≈ 9 × 10<sup>15</sup>. <ref name=yoyo@home/>

Все още не е известно дали съществува такъв паралелепипед. До март 2020 г. компютърното търсене не е намерило нито един съвършен паралелепипед с ръбове до 2,5.10<sup>13</sup>. <ref name=Стюарт/><ref>{{Cite web |url=http://unsolvedproblems.org/S58.pdf |title=Источник |access-date=2023-03-03 |archive-date=2016-03-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160326102729/http://unsolvedproblems.org/S58.pdf |deadlink=no }}</ref><ref>Bill Butler, [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The «Integer Brick» Problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070830031033/http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html |date=2007-08-30 }}</ref>.
 
Въпросът за съществуването на съвършен паралелепипед е свързан с три хипотези (предположения) за кубоидите – ако те са верни, то съвършен паралелепипед не съществува.

== Свойства ==
Известни са някои факти за свойствата, които трябва да бъдат изпълнени от ''примитивен''<ref>Примитивен означава, че НОД(a,b,c) = 1.</ref> перфектен кубоид, ако такъв съществува, въз основа на модулна аритметика: <ref>M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).</ref>

* Един ръб, два лицеви диагонала и пространственият диагонал трябва да са нечетни, един ръб и оставащият лицев диагонал трябва да се делят на 4, а оставащият ръб трябва да се дели на 16.
* Два ръба трябва да имат дължина, делима на 3 и поне един от тези ръбове трябва да има дължина, делима на 9.
* Дължината на единия ръб трябва да се дели на 5.
* Дължината на един ръб трябва да се дели на 7.
* Дължината на един ръб трябва да се дели на 11.
* Единият ръб трябва да има дължина, кратна на 19.
* Дължината на един ръб или междинен диагонал трябва да се дели на 13.
* Дължината на един ръб, лицев диагонал или пространствения диагонал трябва да се дели на 17.
* Дължината на един ръб, лицев диагонал или пространствения диагонал трябва да се дели на 29.
* Дължината на един ръб, лицев диагонал или пространствения диагонал трябва да се дели на 37.

В допълнение:
* Пространственият диагонал не е нито степен на [[просто число]], нито продукт на две прости числа.<ref name=Korec/>{{rp|с. 579}}
* Диагоналът на пространството може да съдържа само прости делители, които са равни на 1 по модул 4.<ref name=Korec>I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.</ref>{{rp|с. 566}}<ref>Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000</ref>

Ако съществува идеален паралелепипед и <math>a,b,c</math> са неговите ръбове, <math>d,e,f</math> — съответните диагонали на лицето и <math>g</math> е пространственият диагонал, тогава

* Триъгълникът с дължини на страните <math>(d^{2},e^{2},f^{2})</math> е [[:ru:Геронов треугольник|Херонов триъгълник]] с площ <math>abcg</math> с ъглополовящи на рационален ъгъл.<ref name=Luca>Florian Luca (2000) "Perfect Cuboids and Perfect Square Triangles", Mathematics Magazine, 73:5, p. 400-401</ref>
* Остроъгълният триъгълник с дължини на страните <math>(af,be,cd)</math> и тъпоъгълните триъгълници с дължини на страните <math>(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)</math> са херонови триъгълници с площ, равна на <math>{\frac {abcg}{2}}</math>.

== Кубоидни предположения ==
Трите кубоидни предположения са три математически твърдения, претендиращи за нередуцируемост на три едномерни полинома с цели коефициенти, зависещи от няколко целочислени параметъра. Предположенията са свързани с проблема за съвършения паралелепипед.<ref name=shr_01>{{cite journal |author=Sharipov R.A. |title=Perfect cuboids and irreducible polynomials|journal=Ufa Math Journal|year=2012 |volume=4 |issue=1 |pages=153&ndash;160|arxiv=1108.5348|bibcode=2011arXiv1108.5348S}}</ref><ref name=shr_02>{{cite journal |author=Sharipov R.A. |title=Asymptotic approach to the perfect cuboid problem|journal=Ufa Math Journal|year=2015 |volume=7 |issue=3 |pages=100&ndash;113|doi=10.13108/2015-7-3-95 |doi-access=free }}</ref> Въпреки че не са еквивалентни на проблема за съвършения паралелепипед, ако всичките тези три предположения са валидни, тогава не съществува съвършен паралелепипед. Те не са нито доказани, нито опровергани.

'''Кубоидно предположение 1.''' ''За всеки две положителни цели [[взаимно прости числа]] <math>a \neq u</math> полиномът от осма степен''
{{NumBlk|:|<math>
P_{au}(t)=t^8+6\,(u^2-a^2)\,t^6+(a^4-4\,a^2\,u^2+u^4)\,t^4-6\,a^2\,u^2\,(u^2-a^2)\,t^2+u^4\,a^4</math>|{{EquationRef|1}}}}
''е нередуцируем върху [[Пръстен (алгебра)|пръстена]] от цели числа <math>\mathbb Z</math>''.

'''Кубоидно предположение 2.''' ''За всеки две положителни цели взаимно прости числа <math>p \neq q</math> полиномът от десета степен''

{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
Q_{pq}(t)= {} & t^{10}+(2q^2+p^2)(3q^2-2p^2)t^8 \\[4pt]
& {} +(q^8+10p^2q^6+4p^4q^4-14p^6q^2+p^8)t^6\\[4pt]
& {} -p^2 q^2(q^8-14p^2q^6+4p^4q^4+10p^6\,q^2+p^8)t^4 \\[4pt]
& {} -p^6\,q^6\,(q^2+2\,p^2)\,(-2\,q^2+3\,p^2)\,t^2\\[4pt]
& {} -q^{10}\,p^{10}
\end{align}
</math>|{{EquationRef|2}}}}

''е нередуцируем върху пръстена от цели числа <math>\mathbb Z</math>''.

'''Кубоидно предположение 3.''' ''За всеки три положителни цели взаимно прости числа <math>a</math>, <math>b</math>, <math>u</math>, при които нито едно от условията''

{{NumBlk|:|<math>\begin{array}{lcr}
\text{1)}\qquad a=b;\qquad\qquad & \text{3)}\qquad b\,u=a^2;\qquad\qquad &\text{5)}\qquad a=u;\\
\text{2)}\qquad a=b=u;\qquad\qquad &\text{4)}\qquad a\,u=b^2;\qquad\qquad &\text{6)}\qquad b=u
\end{array}</math>|{{EquationRef|3}}}}

''не е изпълнено, полиномът от дванадесета степен''

{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
P_{abu}(t) = {} & t^{12}+(6u^2-2a^2-2b^2)t^{10} \\
& {} + (u^4+b^4+a^4+4a^2u^2+4b^2u^2-12b^2 a^2)t^8 \\
& {} + (6a^4u^2+6u^2b^4-8a^2b^2u^2-2u^4a^2-2u^4b^2-2a^4b^2-2b^4a^2)t^6 \\
& {} + (4u^2b^4a^2+4a^4u^2b^2-12u^4a^2b^2+u^4a^4+u^4b^4+a^4b^4)t^4 \\
& {} + (6a^4u^2b^4-2u^4a^4b^2-2u^4a^2b^4)t^2+u^4a^4b^4.
\end{align}</math>|{{EquationRef|4}}}}

''е нередуцируем върху пръстена от цели числа <math>\mathbb Z</math>''.

== Почти съвършени паралелепипеди ==
=== Правоъгълни паралелепипеди ===
Един почти съвършен правоъгълен паралелепипед (перфектен кубоид) има 6 от 7 дължини като рационални числа. Открити са няколко вида „почти съвършени“ правоъгълни паралелепипеди, в които всички величини са цели числа с изключение на една:<ref>W. Wyss, ''On Perfect Cuboids'', [http://arxiv.org/abs/1506.02215v2 arXiv:1506.02215v2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180123072302/http://arxiv.org/abs/1506.02215v2 |date=2018-01-23 }} [math.NT] 27 Jun 2015.</ref>

* '''Почти съвършен ръбов паралелепипед''', в който един от ръбовете е нецяло число. Най-малкият е с ръбове <math>(520, 576 ,{\sqrt {618\,849}})</math>, лицеви диагонали <math>(776, 943, 975)</math> и пространствен диагонал <math>1105</math>. Друг е с ръбове <math>(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121}},7800)</math>.
* '''Почти съвършен стенен паралелепипед''' – един от диагоналите на стените е нецяло число. Най-малкият е с ръбове <math>(104, 153, 672)</math>, лицеви диагонали <math>(185, 680, {\sqrt {474\,993}})</math> и пространствен диагонал <math>697</math>. Друг е с ръбове <math>(672,153,104) </math>. Има безкрайно много такива кубоиди.
* '''Почти съвършен пространствен паралелепипед''' – с нецелочислен пространствен диагонал. Нарича се още '''Ойлеров паралелепипед'''  в чест на швейцарския математик [[Леонард Ойлер]], който обсъжда този тип кубоид и предоставя примера с ръбове <math>(104, 153, 672)</math>. <ref>Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771</ref><ref> Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984</ref> Известни са голям брой размери. 

Към декември 2017 г. изчерпателното търсене преброява всички ръбови и стенни почти съвършени паралелепипеди с най-малък целочислен пространствен диагонал, по-малък от 1 125 899 906 842 624:<br> 194 652 са ръбови и 350 778 са стенни паралелепипеди.<ref name=yoyo@home/>

Към юли 2020 г. има открити 167 043 почти съвършени паралелепипеда с най-малко цяло число, по-малко от 200 000 000 027: 61 042 са Ойлерови паралелепипеди, 57 103 са стенни, 32 286 са ръбови и 16 612 са паралелепипеди с дължина на ръба комплексно число.<ref>Randall L. Rathbun – The Integer Cuboid Table, 1705.05929v4, math.NT, 14 Jul 2020.</ref>

=== Наклонени паралелепипеди ===
'''Почти съвършен наклонен паралелепипед''' е този, в който всички линейни размери са цели числа, но не всички ъгли са прави. Той има целочислени дължини на ръбовете, лицевите диагонали и пространствения диагонал и поне един неправ ъгъл. Перфектният кубоид е специален случай на почти съвършен наклонен паралелепипед. През 2009 г. е доказано, че съществуват десетки почти съвършени наклонени паралелепипеди,<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=Perfect parallelepipeds exist|journal=Mathematics of Computation|volume=80|issue=274|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7|s2cid=206288198 }}.</ref> отговаряйки на открит въпрос на [[:ru:Гай, Ричард Кеннет|Ричард Гай]]. Някои от тези паралелепипеди имат две правоъгълни лица. Най-малкият почти съвършен наклонен паралелепипед има ръбове <math>(271, 106, 103)</math>; къси лицеви диагонали <math>(101, 266, 255)</math>; дълги лицеви диагонали <math>(183, 312, 323)</math>; и диагонали на тялото <math>(374, 300, 278, 272)</math>.<ref>J. F. Sawyer, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2011-80-274/S0025-5718-2010-02400-7/ Perfect parallelepipeds exist] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150706175814/http://www.ams.org/journals/mcom/2011-80-274/S0025-5718-2010-02400-7/ |date=2015-07-06 }}'', Math. Comp. '''80'''(2011), No. 274, P. 1037—1040.</ref><ref>B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-289/S0025-5718-2013-02791-3/ An infinite family of perfect parallelepipeds] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150706180045/http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-289/S0025-5718-2013-02791-3/ |date=2015-07-06 }}'', Math. Comp. '''83'''(2014), No. 289, P. 2441—2454.</ref>

== Ойлеров паралелепипед ==
Правоъгълен паралелепипед, на който ръбовете, диагоналите на стените и пространственият (телесният) диагонал са цели числа, се нарича Ойлеров паралелепидед или „Ойлерова [[тухла]]“.
[[Файл:Euler brick.svg|250п|мини|Ойлеров паралелепипед с ръбове {{math|''a'', ''b'', ''c''}} и  диагонали на стените (лицата) {{math|''d'', ''e'', ''f''}}]]
Дефиницията в геометрични термини е еквивалентна на решение на следната система от диофантови уравнения:

<math>{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2 }\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}</math>

където {{math|''a'', ''b'', ''c''}} са ръбовете и {{math|''d'', ''e'', ''f''}} са диагоналите на стените (лицата).

Трите целочислени дължини на ръбовете и трите целочислени дължини на лицевите диагонали на паралелепипеда също могат да се интерпретират като дължини на ръбовете на [[:en:Heronian tetrahedron|Херонов тетраедър]], който също е [[:en:Schläfli orthoscheme|ортосхема на Шлефли]]. Има безкрайно много херонови ортосхеми.<ref>{{citation
 | date = May 1985
 | department = Solutions
 | issue = 5
 | journal = Crux Mathematicorum
 | pages = 162–166
 | title = Problem 930
 | url = https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v11n05_May.pdf
 | volume = 11}}</ref>

=== Свойства ===
Свойствата на Ойлеровите паралелепипеди се отнасят до съотношения, делимост и нечетност на техните размери:
* Ако {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} е решение, тогава {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} също е решение за всяко {{math|''k''}}. Следователно, всички решения в рационални числа са премащабиране на цели числа. 
* При даден Ойлеров паралелепипед с дължини на ръбовете {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}, тройката {{math|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} също представлява тухла на Ойлер.<ref name=Sierpinski>Wacław Sierpiński – ''Pythagorean Triangles'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|c. 106}}
* Дължините на поне два ръба се делят на 4. <ref name=Sierpinski></ref>{{rp|c. 106}}
* Дължината на поне един ръб се дели на 3 и на поне още един – на 9. <ref name=Sierpinski></ref>{{rp|c. 106}},<ref name="f2"></ref>
* Дължината на поне един ръб се дели на 5. <ref name="f2"></ref>
* Дължината на поне един ръб се дели на 11. <ref name=Sierpinski></ref>{{rp|c. 106}}
* Дължината на един ръб се дели на 19. <ref name="f2"></ref>
* Дължината на един ръб или пространствен диагонал се дели на 13. <ref name="f2"></ref>
* Дължината на един ръб, лице или пространствен диагонал се дели на 17. <ref name="f2"></ref>
* Дължината на един ръб, лице или пространствен диагонал се дели на 29. <ref name="f2"></ref>
* Дължината на един ръб, лице или пространствен диагонал се дели на 37. <ref name="f2"></ref>
* Дължината на един ръб се дели на 4, на втория се дели на 16, на третия е нечетно число [ако той е примитивен, то <math>\text{НОД}(a,b,c)=1</math>]. <ref name="f2">[http://f2.org/maths/peb.html Primitive Euler Bricks] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200224223326/http://f2.org/maths/peb.html |date=2020-02-24 }}.</ref>
* Дължините на точно един ръб и два лицеви диагонала на ''примитивен'' Ойлеров паралелепипед са нечетни числа.<ref name=Sierpinski></ref>{{rp|c. 106}}

=== История, формули и примери ===
Най-малките дължини на ръбовете са <math>a=44, b=117</math> и <math>c=240</math> с лицеви диагонали <math>d=125, e=244</math> и <math>f=267</math>, открити от [[:de:Paul Halcke|Паул Халке]] през 1719 г.<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17.</ref>

Интересът към този проблем е бил висок през 18-ти век и през 1740 г. [[:en:Nicholas Saunderson|Николас Сондерсън]] намира параметрично решение, което приема {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} да е [[Питагорова тройка]] и винаги дава Ойлерови паралелепипеди, но не всички възможни. 
[[Файл:Paul Halcke Euler Brick.jpg|300п|мини|Факсимиле на работата на Халке от 1719 г., описваща минималния Ойлеров паралелепипед. Квадратът на страните му е 44<sup>2</sup>=1936, 240<sup>2</sup>=57600, 117<sup>2</sup>=13689]]
Нека <math>(u, v, w)</math> е питагорова тройка, т.е. <math>u^2 + v^2 = w^2</math>. Тогава ръбовете <ref name=Sierpinski/>{{rp|105}}

<math>a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw</math>

определят диагоналите на стените

<math>d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).</math>

С параметричната формула на Сондерсън могат да бъдат генерирани безкраен брой Ойлерови паралелепипеди. <ref name=Saunderson>{{cite web |series=Math table |title=Treasure Hunting Perfect Euler bricks |date=February 24, 2009 |first=Oliver |last=Knill |url=http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf |publisher=[[Harvard University]] | lang=en}}</ref>

През 1770 и 1772 г. Ойлер е намерил поне две параметрични решения на задачата, но нито едно не дава всички решения.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html Euler Brick], Wolfram Mathworld.</ref> Той описва две семейства на Ойлерови паралелепипеди (оттук и името), които са дадени с формули, подобни на тези за Питагоровите тройки. Тези семейства не включват всички Ойлерови паралелепипеди. Известно е, че сред тях не може да има перфектен кубоид.<ref name=Стюарт></ref> Едно от семействата, получено от Ойлер, е дадено от формулите за <math>n>3</math>:

<math>a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n</math>.

Има много Ойлерови паралелепипеди, които не са параметризирани както по-горе, например тухлата на Ойлер с ръбове <math>(a, b, c) = (240, 252, 275)</math> и диагонали на лицето <math>(d, e, f) = (348, 365, 373)</math>. 

Има „неформулен“ начин за получаване на стойностите на страните на „производния“ паралелепипед на Ойлер въз основа на стойностите на първичен Ойлеров паралелепипед.<ref name="f2"></ref> За да се направи това, на фигурата се избират 3 триъгълника с цели стойности на страните. След това от ъглите на получените триъгълници чрез изчисляване на техния [[котангенс]] се определят питагоровите тройки. Тези тройки се въвеждат в таблицата. Чрез кръстосано подреждане на две стойности (от три) на питагорови тройки в таблица (използвайки определен алгоритъм от математически операции), се изчисляват стойностите на трите страни на „производния“ паралелепипед на Ойлер.

Няма пълно описание на всички Ойлерови паралелепипеди. Крайчик дава 257 варианта с нечетен ръб под 1 милион. Ф. Хeлениус е съставил списък с 5003 най-малки Ойлерови паралелепипеда, измерени по най-дългия ръб. Първите няколко са (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160). По-долу са показани някои други малки примитивни решения, дадени като <br>
ръбове {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} — лицеви диагонали {{math|(''d'', ''e'', ''f'')}}:
[[Файл:Euler_brick_examples.svg|thumb|400px|Всичките пет примитивни Ойлерови паралелепипеди с размери под 1000]]
{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
|(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||)
|-
|(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||)
|-
|(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||)
|-
|(||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||)
|-
|(||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||)
|-
|(||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||)
|-
|(||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||)
|-
|(||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||)
|-
|(||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||)
|}
Дължините на най-късия, средния и най-дългия ръб {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} на най-малките (измерени чрез най-дългия ръб {{math|''c''}}) примитивни Ойлерови паралелепипеди имат следните стойности:

{{math|''a'':}} 44, 240, 140, 85, 160, 1008, 187, 429, 832, 780, 828, 1560, 528, 195, 1155, 1755, 495, 1575, 2964, 7840, 2925, 1008, 4368, 1080, 10296, 7579, 8789, 6072, 14112, 5643, 4599, 4900, 6435, 935, 7920, 7800, 4928, 7560, 23760, 1105, 2163, 2964. <ref name="OEISa">Джовани Реста – [https://oeis.org/A031175 A031175 – Shortest edge a of smallest primitive Euler bricks], The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 23 март 2014 г.</ref>

{{math|''b'':}} 117, 252, 480, 132, 231, 1100, 1020, 880, 855, 2475, 2035, 2295, 5796, 748, 6300, 4576, 4888, 1672, 9152, 9828, 3536, 1100, 4901, 1881, 11753, 8820, 10560, 16929, 15400, 14160, 18368, 17157, 24080, 17472, 15232, 23751, 10725, 13728. <ref name="OEISb">Джовани Реста – [https://oeis.org/A031174 A031174 – Intermediate edge a of smallest primitive Euler bricks], The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 23 март 2014 г.</ref>

{{math|''c'':}} 240, 275, 693, 720, 792, 1155, 1584, 2340, 2640, 2992, 3120, 5984, 6325, 6336, 6688, 6732, 8160, 9120, 9405, 10725, 11220, 12075, 13860, 14560, 16800, 17472, 17748, 18560, 19305, 21476, 23760, 23760, 24684, 25704, 26649, 29920, 30780. <ref name="OEISc">Ралф Щайнер – [https://oeis.org/A031173 A031173 – Longest edge a of smallest primitive Euler bricks], The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 22 ноември 2017 г. – 14 януари 2018 г.</ref>

== Връзка с елиптични криви ==
През 2022 г. [[:ru:Ди Грей, Обри|Обри де Грей]] публикува  изследване на съвършените равнобедрени правоъгълни [[фрустум]]и,<ref>Фрустумът е част от твърдо тяло, което се намира между две успоредни равнини, пресичащи това твърдо тяло.</ref> които той нарича „цокли“.<ref>{{Cite journal|first1=Aubrey D.N.J.|last1=de Grey|year=2022|title=Perfect plinths: a path to resolving the perfect cuboid question?|journal=[[:en:Geombinatorics|Geombinatorics]]|volume=31|pages=156–161|lang=en}}</ref> Това са [[Хексаедър|хексаедри]] с две правоъгълни стени с еднакво съотношение на страните (долната и горна основа са подобни правоъгълници) и четири стени, които са равнобедрен [[трапец]]. По този начин, както за почти съвършените паралелепипеди, перфектният кубоид би бил специален случай на перфектен цокъл. Съществуват перфектни цокли, но са много по-редки за даден размер от перфектните паралелепипеди или почти идеалните кубоиди. В последваща статия <ref>{{Cite journal|first1=Aubrey D.N.J.|last1=de Grey|first2=Philip|last2=Gibbs|first3=Louie|last3=Helm|year=2024|title=Novel required properties of, and efficient algorithms to seek, perfect cuboids|journal=Geombinatorics|volume=33|pages=107–131|lang=en}}</ref> Де Грей, Филип Гибс и Луи Хелм надграждат това откритие, за да изследват класове [[:ru:Эллиптическая кривая|елиптични криви]], които съответстват на перфектни цокли, почти съвършени паралелепипеди и други обобщения на перфектни кубоиди. По този начин те драстично увеличават диапазона, до който съвършените паралелепипеди кубоиди могат да бъдат търсени изчислително, и по този начин извличат убедителни косвени доказателства, че такива не съществуват. Те също така показват, че голяма част от [[Питагоров триъгълник|Питагоровите тройки]] не могат да образуват лице на съвършен паралелепипед, като идентифицират няколко семейства елиптични криви, които трябва да имат положителен ранг, ако съществува съвършен паралелепипед. Независимо един от друг, Полсън и Уест показват, че съвършеният паралелепипед трябва да съответства на елиптична крива с конгруентно число от ранг поне 2.<ref>{{Cite journal|first1=William|last1=Paulsen|first2=Graham|last2=West|year=2022|title=On perfect cuboids and CN-elliptic curves|journal=Houston Journal of Mathematics|volume=48|pages=227-240|lang=en}}</ref>

== Правоъгълен паралелепипед в комплексни числа ==
Все още не е известно дали съществува съвършен правоъгълен паралелепипед в комплексни числа (съвършен комплексен паралелепипед). Въпреки това са открити много почти съвършени правоъгълни паралелепипеди в комплексни числа, в които всички величини освен една са цели числа:
* '''Комплексен ръбов паралелепипед''' ({{lang|en|Imaginary}}) е този, в който един от ръбовете е имагинерно число. Най-малкият е с ръбове {{math|({{sqrt|3344}}i, 60, 63)}}, лицеви диагонали {{math|(16, 25, 87)}} и пространствен диагонал {{math|65}}.
* '''Комплексен лицев (стенен) паралелепипед''' ({{lang|en|Twilight}}) – в който освен ръба (ръбовете) и един от диагоналите на стените (лицата) е имагинерно число. Най-малкият е с ръбове {{math|(60i, {{sqrt|3344}}, 65)}}, лицеви диагонали {{math|(16i, 25, 87)}}, пространствен диагонал {{math|63}}.
* '''Комплексен пространствен паралелепипед''' ({{lang|en|Midnight }}) е този, който има ръб/ове, диагонал/и на стена(и) и пространствен диагонал, които са комплексни числа. Най-малък: с ръбове {{math|(60i, 63i, {{sqrt|3344}}i)}}, лицеви диагонали {{math|(16i, 25i, 87i)}}, пространствен диагонал {{math|65i}}.

=== Свойства ===
Известни са следните свойства на правоъгълни паралелепипеди в комплексни числа:
* Съществуването на който и да е почти съвършен лицев паралелепипед води до съществуването на 2 различни комплексни ръбови паралелепипеда. Например:

Почти съвършен лицев паралелепипед с ръбове {{math|(104, 153, 672)}}, лицеви диагонали {{math|(185, 680, {{sqrt|474993}})}} и пространствен диагонал {{math|697}} включва:
# Комплексен ръбов паралелепипед с ръбове {{math|(104i, 185, 680)}}, лицеви диагонали {{math|(153, 672, {{sqrt|496625}})}}, пространствен диагонал {{math|697}};
# Комплексен ръбов паралелепипед с ръбове {{math|(153i, 185, 672)}}, лицеви диагонали {{math|(104, {{sqrt|428175}}, 697)}}, пространствен диагонал {{math|680}}.

* Съществуването на всеки нецял ръб, лице или пространствен диагонал води до съществуването на 3 различни комплексни лицеви паралелепипеда. Например:

Почти съвършен стенен паралелепипед с ръбове {{math|(104, 153, 672)}}, лицеви диагонали {{math|(185, 680, {{sqrt|474993}})}}, пространствен диагонал {{math|697}} включва:
# Комплексен лицев паралелепипед с ръбове {{math|(153i, 104i, 697)}}, лицеви диагонали {{math|(185i, 680, {{sqrt|474993}})}}, пространствен диагонал {{math|672}};
# Комплексен лицев паралелепипед с ръбове {{math|(672і, 104і, 697)}}, лицеви диагонали {{math|(680i, 185, {{sqrt|474993}})}}, пространствен диагонал {{math|153}};
# Комплексен лицев паралелепипед с ръбове {{math|(672і, 153і, 697)}}, лицеви диагонали {{math|({{sqrt|474993}}i, 153, 672)}}, пространствен диагонал {{math|104}}.

* Съществуването на който и да е почти съвършен рационален (ръбов, стенен, пространствен) или комплексен ръбов и лицев паралелепипед предполага съществуването на комплексен пространствен паралелепипед, който се образува чрез умножаване на всички негови стойности по въображаемата единица i.
* Съществуването на всеки съвършен паралелепипед в естествени числа води до съществуването на 7 различни почти съвършени паралелепипеда в комплексни числа (3 лицеви и 4 пространствени):

Ако съществува съвършен паралелепипед с ръбове (A, B, C), лицеви диагонали (D, E, F) и пространствен диагонал G, тогава също има следните почти съвършени комплексни паралелепипеди:
# Лицев с ръбове (Bi, Ci, G), лицеви диагонали (Fi, E, D) и пространствен диагонал A;
# Лицев с ръбове (Ai, Ci, G), лицеви диагонали (Ei, F, D) и пространствен диагонал B;
# Лицев с ръбове (Bi, Ai, G), лицеви диагонали (Di, E, F) и пространствен диагонал C;
# Пространствен с ръбове (Ai, Bi, Ci), лицеви диагонали (Di, Ei, Fi) и пространствен диагонал Gi;
# Пространствен с ръбове (B, C, Gi), лицеви диагонали (F, Ei, Di) и пространствен диагонал Ai;
# Пространствен с ръбове (A, C, Gi), лицеви диагонали (E, Fi, Di) и интервален диагонал Bi;
# Пространствен с ръбове (B, A, Gi), лицеви диагонали (D, Ei, Fi) и пространствен диагонал Ci.

== Галерия ==
<gallery caption="Приноси" class="center">
 Файл:PPN663957001 Bildnis von Paul Halcke.jpg | Паул Халке (1719)
 Файл:Nicolas Saunderson.jpg | Николас Сондерсън (1740)
 Файл:Leonhard Euler 2.jpg | [[Леонард Ойлер]] <br>(1770 – 1772)<br>
 Файл:Richard K Guy 2005.jpg | Ричард Гай (2009)
 Файл:Aubrey de Grey - How We Will Beat Aging.jpg | Обри де Грей (2022)
</gallery>

== Вижте също ==
* [[:en:Pythagorean quadruple|Питагорова четворка]]

== Източници и бележки ==
<references />
[[Категория:Призми]]