Преглед на кода на Ротация (диференциален оператор)

'''Ротàция''', '''завѝхряне''' или '''рòтор''' във [[Векторен анализ|векторния анализ]] е [[вектор]]ен диференциален оператор над [[векторно поле]].

Обозначава се по няколко начина: <ref>David K. Cheng – ''Field and wave electromagnetics'', Addison-Wesley publishing company, p. 49.</ref>

* <math>\operatorname{rot}</math> (най-разпространено в рускоезични източници, а също и в немския, откъдето е произлязло наименованието.
* <math>\operatorname{curl}</math> (в англоезичната литература, предложено е от [[Джеймс Кларк Максуел]].
* <math>\mathbf{\nabla} \times</math> – диференциален [[оператор набла]], [[Векторно произведение|векторно умножен]] по векторно поле <math>\mathbf{A}</math>. Резултатът от действието на оператора „ротация“ върху конкретно векторно поле <math>\mathbf{A}</math> се нарича „ротация на полето <math>\mathbf{A}</math>“ или просто „ротация от <math>\mathbf{A}</math>“ и представлява ново векторно поле <math> \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}</math>.

:: <math>\operatorname{rot}\mathbf A\equiv\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}</math>
[[Файл:Curlorient.svg|220px|right|thumb|Определяне на посоката на вектора на ротацията (извивката). Свитите 4 пръста на дясната ръка сочат посоката на въртене <math>\hat{\omega}</math> на векторното поле <math>A</math>, а палецът показва посока на вектора на извивката <math>\hat{n}=\operatorname{rot}\mathbf A</math>.]]

Ротацията представлява безкрайно малко въртене на векторно поле в триизмерното [[евклидово пространство]]. Във всяка точка на векторното поле извивката около точката се изразява като вектор, наречен ''вектор на извивката''. Свойствата (дължина и посока) на този вектор характеризират въртенето в тази точка.

Посоката на завихрянето е оста на въртене, която се определя от правилото на дясната ръка, а големината на завихрянето е количеството на въртене. Ако векторното поле представлява скоростта на потока на движещ се [[ротор]], тогава завихрянето е плътността на циркулационната площ на ротора. Векторно поле с нулево извиване се нарича ''иротационно векторно поле''. Ротацията е диференциална форма на вектор. Противоположността на фундаменталната теорема на смятането е [[:ru:Теорема Стокса|теоремата на Стокс]], която свързва повърхностния [[интеграл]] на завихрянето на векторно поле с [[Криволинеен интеграл|криволинейния интеграл]] на това векторно поле около гранична крива.

За разлика от [[градиент]]а и [[дивергенция]]та, ротацията не просто се обобщава към други измерения; възможно е известно обобщение, но само в три измерения, където геометрично дефинираното векторно поле на ротацията все още е векторно поле. Това явление е подобно на триизмерното кръстосано произведение и тази връзка е отразена в символа на завихрянето <math>\mathbf{\nabla} \times</math>.

Името „завихряне“ (<math>\operatorname{curl}</math>) за ротация е предложено за първи път от Максуел през 1871 г. <ref>{{Cite web |url=http://www.clerkmaxwellfoundation.org/MathematicalClassificationofPhysicalQuantities_Maxwell.pdf |title=Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871 |access-date=2019-06-25 |archive-date=2021-02-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210219001224/http://www.clerkmaxwellfoundation.org/MathematicalClassificationofPhysicalQuantities_Maxwell.pdf |dead-url=no }}</ref>, но концепцията очевидно е използвана за първи път във формулирането на теорията на оптичното поле на Джеймс МакКълах през 1839 г. <ref>[https://archive.org/details/collectedworks00maccuoft Collected works of James MacCullagh]</ref>
[[File:Curl.svg|thumb|300px|Компонентите на вектора {{math|'''F(r)'''}} на разстояние {{math|'''r'''}}, нормалата <math>\hat{n}</math> и допирателната към затворената крива {{math|''C''}} в равнината и векторната площ {{math|'''A''' {{=}} ''A'''''n̂'''}}, затворена от тази крива.]]
== Определение ==
За да се дефинира завихрянето (ротацията) на векторно поле, първо трябва да се въведе понятието циркулация (или вихър). Дадено е векторно поле <math>\mathbf{A}</math> в триизмерно пространство и проста затворена насочена крива <math>C</math>, циркулацията на <math>\mathbf{A}</math> по кривата <math>C</math> е криволинеен интеграл от <math>\mathbf{A}</math> по затворения път <math>C</math>: <ref name="Основи на ЕМП">钟顺时 – [https://archive.org/details/diancichangjichu0000unse 《电磁场基础》]. 清华大学出版社有限公司. 2006. ISBN 9787302126126.<br> (Чжун Шунши – „[https://archive.org/details/diancichangjichu0000unse Основи на електромагнитното поле]“, издателство на университет Цинхуа ООД, 2006 г., ISBN 9787302126126.)</ref>

:<math>\operatorname{Circ}_{\mathbf{A}}( C ) =\oint_{C}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{l} </math> ,

където <math>\mathrm{d} \boldsymbol{l}</math> е линеен елемент на кривата <math>C</math> по допирателната към нея, а положителната ѝ посока е определена така, че площта, оградена от затворената крива <math>C</math> е от лявата му страна. Например, ако има водовъртеж в посока обратна на часовниковата стрелка в реката на брега на реката, тогава в обхвата на водовъртежа водният поток се върти около центъра на водовъртежа, така че скоростта на водата <math>\boldsymbol{v}</math> следва затворена крива около вихъра обратно на часовниковата стрелка. Интегралът трябва да е по-голям от нула, т.е. циркулацията е по-голяма от нула. Това показва, че полето на скоростта на водния поток във вихъра се върти в кръгове в обхвата на вихъра.

Циркулацията, подобно на [[поток]]а, е важен параметър за описание на векторно поле. Циркулацията в дадена област не е равна на нула, което означава, че векторното поле в тази област проявява характеристиката да се върти около определена точка или определена област. Ротацията е начин да се опише това свойство локално. За да се опише циркулацията на векторно поле <math>\mathbf{A}</math> близо до точка, се избира малък повърхностен елемент <math>\Delta S</math>, включващ тази точка и се разглежда циркулацията на векторното поле <math>\mathbf{A}</math> по дължината на граничната крива <math>C</math>. <ref>Обикновено, на равнината след тази точка, ограничената част, включваща точката, се избира като [[сърфел]]. За удобство на следващите дефиниции обикновено се приема, че [[граница (топология)|граница]] на тази част е проста затворена насочена крива.</ref> Когато повърхностният елемент <math>\Delta S</math> се свие и площта <math>\left | \Delta S \right \vert</math> клони към нула, векторното поле <math>\mathbf{A}</math> е по протежение на пръстена и повърхностния елемент на <math>C</math>.
Граничната стойност на съотношението на циркулацията на векторното поле <math>\mathbf{A}</math> по контура <math>C</math> към площта, заградена от него на панела <math>\Delta S</math> е <ref name="Основи на ЕМП"></ref>

:<math>\lim_{\Delta S \to 0 } \frac{1}{\left | \Delta S \right \vert} \oint_{C}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{l}</math> .

Нарича се '''плътност на циркулационната площ''', '''повърхностна плътност на циркулация''' или '''сила на циркулация''' на векторното поле <math>\mathbf{A}</math>. Очевидно, тъй като посоката [Забележка 2], избрана от повърхностния елемент <math>\Delta S</math> е различна, получената плътност на циркулационната площ също се изменя. За да се покаже степента на въртене на векторното поле в близост до точка, трябва да се покаже неговата максимална възможна стойност и посоката, избрана от съответния сърфел. Завихрянето на векторно поле е вектор. Размерът на неговата проекция в една посока представлява размерът на повърхностната плътност на пръстена в тази посока. Тоест ротацията на <math>\mathbf{A}</math> в една точка се записва като <math>\mathbf{rot\,}\mathbf{A}(x)</math> или <math>\mathbf{curl\,}\mathbf{A}(x)</math>: <ref name="Основи на ЕМП"></ref>
 
:<math> \mathbf{rot\,} \mathbf{A}(x)\cdot \mathbf{n} = \lim_{ \Delta S_{\mathbf{n}} \to 0 } \frac{1}{\left | \Delta S_{\mathbf{n}} \right \vert} \oint_{C_{\mathbf{n}}}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{l} </math> .

Тук <math>\Delta S_{\mathbf{n}}</math> се отнася до повърхностния елемент, чийто [[нормален вектор]] е единичният вектор <math>\mathbf{n}</math> и има неговата посока, а <math>C_{\mathbf{n}}</math> е граничната крива на елемента. Ако се представи от [[оператор набла|оператора набла]] <math> \boldsymbol\nabla </math>, ротацията на векторното поле <math> \mathbf{A} </math> се записва <math>\operatorname{rot}\mathbf A=\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}</math>. Може да се види от дефиницията, че ротацията е свойство на интензитет на векторното поле, точно като плътност, концентрация и температура, и съответното му свойство на разширение е векторното поле по обиколката по затворена крива, така че извивката е повърхностната плътност на циркулацията. Ако извивката навсякъде във векторно поле е нула, полето се нарича '''иротационно поле''' или '''консервативно поле'''. <ref name="Основи на ЕМП"></ref>

== Правоъгълна координатна система ==
Нека в триизмерната правоъгълна (декартова) координатна система <math>xyz</math> векторното поле <math> \mathbf{A}</math> е

:<math>\mathbf{A}(x,y,z)=A_x(x,y,z)\mathbf{i}+A_y(x,y,z)\mathbf{j}+A_z(x,y,z)\mathbf{k}</math>，

където <math> \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} </math> са единични вектори съответно в посоките на òсите <math>x</math>,<math>y</math>, <math>z</math> и компонентите на полето <math>A_x, A_y, A_z</math> имат непрекъснати частни производни от първи ред, тогава проекциите върху всяка координатна ос са:

:<math>\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \quad \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \quad  \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}</math>.

Векторът на ротацията се нарича още '''кривина на векторното поле''' <math> \mathbf{A}</math> и се записва в основната форма

:<math> \mathbf{rot\,} \ \mathbf{A}=\boldsymbol\nabla\times\mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\mathbf{k}</math>

Изразът за ротацията може също да бъде изразен в детерминантна нотация:

:<math>\mathbf{rot\,}\mathbf{A}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}</math>

Трябва да се отбележи, че нотацията на детерминантата тук има само формално значение, тъй като коефициентите в реалната детерминанта трябва да бъдат стойности вместо векторите <math> \mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k} </math>. Този метод на представяне е удобен само за запаметяване на израза за ротацията в декартовата координатна система. <ref name="Roel Snieder">Roel Snieder – A Guided Tour of Mathematical Methods: For the Physical Sciences. Cambridge University Press, 2, 插图版, 修订版. 2004. ISBN 9780521834926 英语.</ref>

== Цилиндрична координатна система ==
В цилиндричната координатна система позицията на обекта се определя от две линейни <math>(z, \rho)</math> и една ъглова <math>(\varphi)</math> координати: напречните са <math>\rho, \varphi</math>, а надлъжната е <math>z</math>. Те определят неговите единични вектори: напречен радиален <math>\boldsymbol{e}_{\rho} </math>, напречен азимутален <math>\boldsymbol{e}_{\varphi}</math> и надлъжен <math>\boldsymbol{e}_{z}</math>. Тогава векторът на полето <math>\mathbf A </math> има компоненти <math>A_\rho , A_{\varphi} , A_z</math> и може да се изрази като:

:<math>\mathbf A = A_\rho(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{e}_{\rho} +  A_{\varphi}(\rho, \varphi, z)\boldsymbol{e}_{\varphi} + A_z(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{e}_{z}</math> ,

а ротацията (извивката) на векторното поле е <ref name="Roel Snieder"></ref>

:<math>\mathbf{rot\,} \mathbf A 
= \left(\frac1\rho \frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z} \right)  \boldsymbol{e}_{\rho} + \left( \frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial \rho} \right)\boldsymbol{e}_{\varphi} +  \frac1\rho \left( \frac{\partial ({\rho}A_{\varphi})}{\partial \rho} - \frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi} \right)\boldsymbol{e}_{z} 
</math> .

== Сферична координатна система ==
В сферичната координатна система позицията на обекта се определя от една линейна <math>(r)</math> и две ъглови координати (азимут <math>\varphi</math> и ъгъл на място <math>\theta</math>). Те определят неговите единични вектори: <math>\boldsymbol{e}_r</math>, <math>\boldsymbol{e}_{\varphi}</math> и  <math>\boldsymbol{e}_{\theta}</math>. Векторът на полето <math>\mathbf A </math> има компоненти <math>A_r, A_{\varphi} , A_\theta</math> и може да се изрази като:

:<math>\mathbf A = A_r(r, \varphi, \theta) \boldsymbol{e}_r + A_{\varphi}(r, \varphi, \theta)\boldsymbol{e}_{\varphi} + A_{\theta}(r, \varphi, \theta) \boldsymbol{e}_{\theta}</math> .

Аналогично ротацията на векторното поле се определя от израза <ref name="Roel Snieder"></ref>

:<math>\mathbf{rot\,} \mathbf A 
= \frac1{r \sin\theta} \left( \frac{\partial (A_{\varphi}\sin\theta )}{\partial \theta} - \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \varphi} \right)  \boldsymbol{e}_{r} +  \frac1r \left( \frac{\partial (rA_{\theta})}{\partial r} - \frac{\partial A_{r}}{\partial \theta} \right)\boldsymbol{e}_{ \varphi } +  \frac1r \left( \frac1{ \sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi } - \frac{\partial (r A_{ \varphi })}{\partial r} \right)\boldsymbol{e}_{\theta} \, .
</math>

== Източници и бележки ==
<references />

[[Категория:Векторен анализ]]