Преглед на кода на Репюнит

В [[Развлекателна математика|развлекателната математика]], '''репюнит''' – това е [[число]] като 11, 111 или 1111, което съдържа само [[цифра]]та 1 — по-конкретен вид на [[репдиджит]]. Терминът е съставна дума от английските думи '''''rep'''eat'', „повторение“ и '''''unit''''', „единица, част“ и е въведен през 1966 г. от Алберт Х. Бейлър в книгата му ''[https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C Recreations in the Theory of Numbers] (Развлечения в Теорията на числата'').

'''Репюнит просто число''' – това е репюнит, което също е и [[просто число]]. Простите числа, които са репюнити в [[Двоична бройна система|двоичната бройна система]] са [[Мерсеново просто число|мерсенови прости числа]].

== Определение ==
За каквато и да е ''b''-[[бройна система]] репюнитите се определят като (''b'' може да бъде положително или отрицателно)
:<math>R_n^{(b)}\equiv{b^n-1\over{b-1}}\qquad\mbox{за }|b|\ge2, n\ge1.</math>
По този начин числото ''R''<sub>''n''</sub><sup>''(b)''</sup> се състои от ''n'' на брой цифри 1 в бройна система с основа ''b''. Първите два репюнита в ''b''-бройна система за ''n''=1 и ''n''=2 са
:<math>R_1^{(b)}={b-1\over{b-1}}= 1 \qquad \text{ и } \qquad R_2^{(b)}={b^2-1\over{b-1}}= b+1\qquad\text{за }\ |b|\ge2.</math>

В частност, в [[Десетична бройна система|десетичната бройна система]]'' (b=10) ''репюнитите, се определят като
:<math>R_n\equiv R_n^{(10)}={10^n-1\over{10-1}}={10^n-1\over9}\qquad\mbox{за }n\ge1.</math>
По този начин числото ''R''<sub>''n''</sub> = R<sub>''n''</sub><sup>''(10)''</sup> се състои от ''n'' копия на числото 1 в десетична система. Последователността на репюнитите в нея започва с
: [[1 (число)|1]], [[11 (число)|11]], [[111 (число)|111]], 1111, 11111, 111111, ... (последователност A002275 в [[OEIS]]).

По същия начин, репюнитите в [[Двоична бройна система|двоичната бройна система]] се определят като
:<math>R_n^{(2)}={2^n-1\over{2-1}}={2^n-1}\qquad\mbox{за }n\ge1.</math>
По този начин числото R<sub>''n''</sub><sup>''(2)''</sup> се състои от ''n'' копия на числото 1 в двоична система. Всъщност, репюнитите в нея са известни като числа на [[Марен Мерсен|Мерсен]] ''М''<sub>''n''</sub> = 2<sup>''n''</sup> − 1, те започват с
: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (последователност A000225 в [[OEIS]]).

== Свойства ==
* Всеки репюнит, в която и да е [[бройна система]], с брой цифри [[съставно число]] е задължително съставно число. Съответно репюнит (отново във всяка бройна система) броят на цифрите, на който е [[просто число]] може да е просто число. Това е необходимо, но не достатъчно условие. Например,
*: ''R''<sub>35</sub><sup>(''b'')</sup> = 11111111111111111111111111111111111
*: = 11111 × 1000010000100001000010000100001
*: = 1111111 × 10000001000000100000010000001,
: тъй като 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Тази репюнит [[факторизация]] не зависи от бройната основа ''b'', в която е изразен репюнитът.<br>
* Всяко положително кратно на репюнита ''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup> съдържа най-малко ''n'' цифри различни от 0 в ''b-''бройна система.<br>
* Единствено известните числа, които са едновременно репюнити, с поне 3 цифри, в повече от една бройна система, са [[31 (число)|31]] (111 в бройна система с основа 5 = 11111 в двоичната система) и 8191 (111 в бройна система с основа 90 = 1111111111111 в двоичната система). Белгийският математик Гормати изказва своята хипотеза, че тези два случая са единствени.

== Разлагане на десетични репюнити ==
(Простите делители в {{Цвят2|red|червен}} цвят означават „нови“, т.е. простите делители разделят ''R''<sub>''n''</sub>, но не разделят ''R''<sub>''k''</sub> за всички ''k'' < ''n'') (последователност A102380 в [[OEIS]])
{|
|-
||
{|
|-
|''R''<sub>1</sub> =||1
|-
|''R''<sub>2</sub> =||{{color|red|11}}
|-
|''R''<sub>3</sub> =||{{color|red|3}} · {{color|red|37}}
|-
|''R''<sub>4</sub> =||11 · {{color|red|101}}
|-
|''R''<sub>5</sub> =||{{color|red|41}} · {{color|red|271}}
|-
|''R''<sub>6</sub> =||3 · {{color|red|7}} · 11 · {{color|red|13}} · 37
|-
|''R''<sub>7</sub> =||{{color|red|239}} · {{color|red|4649}}
|-
|''R''<sub>8</sub> =||11 · {{color|red|73}} · 101 · {{color|red|137}}
|-
|''R''<sub>9</sub> =||3<sup>2</sup> · 37 · {{color|red|333667}}
|-
|''R''<sub>10</sub> =||11 · 41 · 271 · {{color|red|9091}}
|}
||
{|
|-
|''R''<sub>11</sub> =||{{color|red|21649}} · {{color|red|513239}}
|-
|''R''<sub>12</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · {{color|red|9901}}
|-
|''R''<sub>13</sub> =||{{color|red|53}} · {{color|red|79}} · {{color|red|265371653}}
|-
|''R''<sub>14</sub> =||11 · 239 · 4649 · {{color|red|909091}}
|-
|''R''<sub>15</sub> =||3 · {{color|red|31}} · 37 · 41 · 271 · {{color|red|2906161}}
|-
|''R''<sub>16</sub> =||11 · {{color|red|17}} · 73 · 101 · 137 · {{color|red|5882353}}
|-
|''R''<sub>17</sub> =||{{color|red|2071723}} · {{color|red|5363222357}}
|-
|''R''<sub>18</sub> =||3<sup>2</sup> · 7 · 11 · 13 · {{color|red|19}} · 37 · {{color|red|52579}} · 333667
|-
|''R''<sub>19</sub> =||{{color|red|{{repeat|1|19}}}}
|-
|''R''<sub>20</sub> =||11 · 41 · 101 · 271 · {{color|red|3541}} · 9091 · {{color|red|27961}}
|}
||
{|
|-
|''R''<sub>21</sub> =||3 · 37 · {{color|red|43}} · 239 · {{color|red|1933}} · 4649 · {{color|red|10838689}}
|-
|''R''<sub>22</sub> =||11<sup>2</sup> · {{color|red|23}} · {{color|red|4093}} · {{color|red|8779}} · 21649 · 513239
|-
|''R''<sub>23</sub> =||{{color|red|{{repeat|1|23}}}}
|-
|''R''<sub>24</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · {{color|red|99990001}}
|-
|''R''<sub>25</sub> =||41 · 271 · {{color|red|21401}} · {{color|red|25601}} · {{color|red|182521213001}}
|-
|''R''<sub>26</sub> =||11 · 53 · 79 · {{color|red|859}} · 265371653 · {{color|red|1058313049}}
|-
|''R''<sub>27</sub> =||3<sup>3</sup> · 37 · {{color|red|757}} · 333667 · {{color|red|440334654777631}}
|-
|''R''<sub>28</sub> =||11 · {{color|red|29}} · 101 · 239 · {{color|red|281}} · 4649 · 909091 · {{color|red|121499449}}
|-
|''R''<sub>29</sub> =||{{color|red|3191}} · {{color|red|16763}} · {{color|red|43037}} · {{color|red|62003}} · {{color|red|77843839397}}
|-
|''R''<sub>30</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · {{color|red|211}} · {{color|red|241}} · 271 · {{color|red|2161}} · 9091 · 2906161
|}
|}

== История ==
Въпреки че тогава не са били известни под това име, репюнитите в десетичната система са изследвани от много математици през XIX век в стремежа им да изработят и прогнозират цикличните закономерности в повтарящи се десетични знаци.<ref name="Dickson1999">{{Харвардска система за цитиране|Dickson|Cresse|1999|pp=164 – 167}}</ref>

Бързо било открито, че за всяко просто ''p'' по-голямо от 5, дължината на периода в периодичната десетична дроб 1/''p'' е равен на дължината на най-малкото репюнит число, което се дели на ''р''. Таблица с периодите на реципрочните прости числа до 60 000 е публикувана през 1860 година и позволява на математиците (като Ройшле) разлагане на множители на всички репюнити до ''R<sub>16</sub>'' и много по-големи. Към 1880 г., дори ''Р<sub>17</sub>'' до ''р<sub>36</sub>'' са разложени и, въпреки че Едуард Лукас показва, че никое просто число под три милиона няма период [[19 (число)|деветнадесет]], няма нито един опит да се тестват всички репюнити дали са прости числа до началото на ХХ век. Американският математик Оскар Хоппе доказва, че ''R<sub>19</sub>'' е просто през 1916 г.<ref>{{Харвардска система за цитиране|Francis|1988|pp=240 – 246}}</ref>, а Лемер и Крайчик самостоятелно откриват, че ''R<sub>23</sub>'' е просто число през 1929 година.

По-нататъшни успехи в изучаването на репюнитите няма чак до 60-те години на ХХ век, когато компютрите дават възможност да се открият много нови делители на репюнитите и да се коригират пропуски в таблиците с периодите на простите числа. ''R<sub>317</sub>'' се оказва възможно просто число – около 1966 г. и е доказано като такова единадесет години по-късно, когато за ''R<sub>1031</sub>'' е открито, че е единственото следващо възможно репюнит просто число, с по-малко от десет хиляди цифри. През 1986 година това е потвърдено, но откриването на по-нататъшни репюнит прости числа в следващите десетилетия постоянно се проваля. Въпреки това има сериозни странични разработки в областта на общите репюнити, които показват голям брой нови прости и вероятно прости числа.

От 1999 г. още четири вероятно прости репюнит числа са открити, но едва ли за някое от тях ще бъде доказано, че е просто в обозримо бъдеще, поради огромния им размер.

В Проектът Кънингам се стремят да документират целочисленната факторизация (наред с други числа) на репюнитите в бройните системи с основа 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, и 12.

== Числа Демло ==
През 1938 индийският математик Капрекар определя числата Демло като низ от лява, средна и дясна част, като лявата и дясната част трябва да бъдат с еднаква дължина (до евентуално водеща 0 вляво), а средната част може да съдържа произволен брой от тези повтарящи се цифри<ref>{{Харвардска система за цитиране|Kaprekar|1938}}, {{Харвардска система за цитиране|Gunjikar and Kaprekar|1939}}</ref>.

Те са наречени в чест на жп гарата Демло на 30 мили от [[Мумбай]], [[Индия]], където Капрекар започнал да ги изследва.

Той нарича ''Прекрасни Демло числа'', палиндромите 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Това са квадратите на първите девет репюнити, поради което някои автори наричат Демло числа безкрайната последователност на <ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/DemloNumber.html "Demlo Number"]. ''MathWorld''.</ref> 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (последователност A002477 в [[OEIS]]), макар че това не са Демло числа при ''n'' = 10, 19, 28, ...

== Бележки ==
{{reflist|2}}

[[Категория:Цели числа]]