Преглед на кода на Преобразование на Лаплас

'''Преобразовàние на Лаплàс''' ℒ в [[математика]]та е [[Интегрални преобразования|интегрално преобразование]], което свързва функцията <math>\ F(s)</math> на комплексна променлива (''изображение, образ'') с функцията <math>\ f(t)</math> на реална променлива (''оригинал''). То е широкоизползван метод за анализ на линейни системи, чиито характеристики не се променят с времето ({{lang|en|Linear Time-Invariant Systems, LTI}}). С негова помощ се изучават свойствата на [[Динамична система|динамичните системи]] и се решават [[диференциални уравнения|диференциални]] и [[интегрални уравнения]].

Методът е открит от швейцарския математик [[Леонард Ойлер]]. Наречен е на името на френския математик [[Пиер-Симон Лаплас|Пиер Симон дьо Лаплас]], който го използва в своята работа върху теорията на вероятностите. Наричан е също и '''трансформация на Лаплас'''.
[[File:Leonhard Euler 2.jpg|200п|мини|[[Леонард Ойлер]]]]
[[File:Laplace, Pierre-Simon, marquis de.jpg|200п|мини|[[Пиер-Симон Лаплас]]]]
Преобразованието на Лаплас (ПЛ) намира приложение във [[физика]]та, [[оптика]]та, [[електроника]]та, [[автоматика]]та, [[математически анализ|математическия анализ]], [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]] и обработката на сигнали.

== Определение ==
=== Право преобразование на Лаплас ===
Правото преобразование на Лаплас на функцията <math>\, f(t)\, </math> на реалната променлива <math>\, t \ge 0\, </math> е функцията <math>\, F(s)\, </math> на комплексната променлива <math>\, s = \sigma + i \omega, \,</math> която е равна на интеграла на Лаплас:<ref name="ВАД,ПИК">{{cite book | title = – Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул | last = Диткин В. А., Кузнецов П. И| year = 1951 | publisher = Государственное издательство технико-теоретической литературы | location = М. | pages = 256 | url = | lang = ru }}</ref>

:<math>F(s)=\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt,</math>

Обикновено оригиналът <math>\, f(t) \,</math> е функция, зависеща от времето<math>\, t</math>, а изображението <math>\, F(s) \, </math> е функция на комплексната честота <math>\, s = \sigma + i \omega</math>. Комплексната променлива (честота) се означава също чрез <math>\, p, \, </math> а функцията на изображението, получена чрез преобразование на Лаплас – с <math>\, F(p).</math><ref name="ВАД,ПИК"></ref> Долната граница на интеграла <math>{0^-}</math> означава <math> \lim_{\epsilon \rightarrow +0} \int_{-\epsilon}^{\infty} \ </math>, идеята на което е да се включи в интегралното преобразование [[делта-функция]]та на [[Пол Дирак|Дирак]] <math> \delta (t) \ </math> (наричана още „импулс“).

В литературата връзката между оригинала и изображението често се обозначава по следния начин: <math>f(t) \risingdotseq F(s)</math> и <math>F(s) \fallingdotseq f(t)</math> и изображението обикновено се пише с главна буква.

Свойствата на тази трансформация да преобразува [[Диференциално смятане|диференцирането]] и [[Интегрално смятане|интегрирането]] съответно в умножение и деление, позволяват да се преобразуват интегро-диференциални уравнения в [[полином]]ни, които са много по-лесни за решаване.

=== Двустранно преобразование на Лаплас ===
{{Основна|Двустранно преобразование на Лаплас}}
Двустранното преобразование на Лаплас е обобщение на правото ПЛ, включващо отрицателните стойности на аргумента <math>x<0</math> на функцията <math>f(x)</math>:
: <math>F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-sx}f(x)\, dx.</math>
Двустранното ПЛ може да се означава и с <math>\mathcal{B}\{f\}</math>, вместо с {{math|''F''}}.

=== Обратно преобразование на Лаплас ===
Обратното преобразуване на Лаплас се дава от следния комплексен интеграл, който е известен с имената '''интеграл на Бромвич''', '''интеграл на Фурие–Мелин''' и '''обратна формула на Мелин''':
:<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds,</math>

където <math>\, \gamma >s_0\,</math> е реално число, <math>s_0\,</math> е най-голямата реална част от [[сингулярност]] на <math>\, F\, ,</math> така че контурната пътека на интегриране е в областта на [[сходимост]] на <math>F(s)</math>. В повечето приложения контурът може да бъде затворен, което позволява използването на [[:ru:Основная теорема о вычетах|теоремата за остатъците]]. В практиката тази формула се използва по-рядко. Алтернативна формула за обратното преобразуване на Лаплас е дадена от [[:en:Inverse Laplace transform#Post's inversion formula|формулата за инверсия на Пост]]. В инженерните науки и, много често, в [[математика]]та се прибягва до таблици с функции и техните преобразования, както и до широко използване на свойствата на преобразованието на Лаплас и прилагане на обратното ПЛ за проверка.
Обратното ПЛ дава функцията <math>f(t)</math> при <math>t \geq 0</math>; ако <math>t < 0</math>, <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = 0</math>.

==== Пример ====
Известните обратни ПЛ са обобщени в таблици за съответствие в литературата. На практика спектралната функция обикновено трябва да се проследи обратно до тези таблични случаи, например чрез частично разлагане на прости дроби. Като пример се разглежда обратно ПЛ на спектралната функция
:<math>F(s)=\sum_{k=1}^n \frac{\alpha_k}{s-s_k}.</math>
Може да се използва изчислението на правото ПЛ:
:<math>{\mathcal {L}}\{\mathrm {e} ^{at}\}=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{at }\ \mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t=\left.-{\frac {\mathrm {e} ^{-(s-a)t}}{s-a}}\right| _{0}^{\infty }={\frac {1}{s-a}}</math>

Обратното ПЛ е
:<math>f(t)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mathrm {e} ^{s_{k}t }</math>.

В случай на комплексни спрегнати полета, опростявания на <math>f(t)</math> са възможни чрез прилагане на [[тригонометрични тъждества]].
[[File:LTI.png|ляво|280п|мини|Право ПЛ на входния сигнал ''x(t)'' и предавателната функция на средата ''h(t)'' от времевата в честотната област и обратно ПЛ на изходния сигнал ''Y(s)'' от честотната във времевата област]]
[[File:S-Domain circuit equivalency.svg|310п|мини|Еквивалентни елементарни вериги във времевата и честотната област за основни резистивен (R), индуктивен (L) и капацитивен (C) компоненти.]]
{{-}}

=== Дискретно преобразование на Лаплас ===
Използва се в областта на компютърните системи за управление. Дискретното преобразуване на Лаплас може да се приложи към решетъчни функции.

Има <math>D</math>-преобразование и <math>Z</math>-преобразование.
* '''<math>D</math>-преобразование'''

Нека <math>x_d(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot\delta(t-nT)</math> е решетъчна функция, т.е. стойностите на тази функция се определят само в дискретни времена <math>nT\ </math>, където <math>n\ </math> е цяло число, а <math>T\ </math> е периодът на вземане на проби. Тогава, прилагайки преобразованието на Лаплас, се получава:
: <math>\mathcal{D}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot e^{-snT}.</math>

* '''<math>Z</math>-преобразование'''
{{Основна|Z-преобразование}}

Ако се приложи смяната на променливите <math>\, z=e^{sT},</math>

получава се <math>Z</math>-преобразование:
: <math>\mathcal{Z}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot z^{-n}.</math>
[[File:Laplace animation of Cubic Polynomial.gif|600п|център|мини|Зелената графика показва ПЛ на апроксимиращ кубичен полином. Добавянето на все по-високи и по-високи честоти може да ни доближи все по-близо до функцията, която се опитваме да апроксимираме.]]

=== Теория на вероятностите ===
В чистата и приложена вероятност преобразованието на Лаплас се определя като очаквана стойност. Ако {{math|''X''}} е случайна променлива с функция на плътност на вероятността {{math|''f''}}, тогава ПЛ на {{math|''f''}} се дава от очакването
:<math>\mathcal{L}\{f\}(s) = \operatorname{E}\! \left[e^{-sX} \right]\! ,</math>

където <math>\operatorname{E} \left[ r \right]</math> е очакването на случайната променлива <math>r</math>.

По конвенция това се нарича преобразование на Лаплас на самата случайна променлива {{math|''X''}}. Тук заместването на {{math|''s''}} с {{math|−''t''}} дава [[:ru:Производящая функция моментов|функцията за генериране на моменти]] на {{math|''X''}}. Преобразованието на Лаплас има приложения в цялата теория на вероятностите, включително [[времена на първо преминаване]] на [[Стохастичен процес|стохастични процеси]] като [[Марковска верига|Марковски вериги]] и [[:en:Renewal theory|теория на подновяването]].

От особена полза е възможността за възстановяване на кумулативната [[:ru:Функция распределения|функция на разпределение]] на непрекъсната случайна променлива {{math|''X''}} посредством ПЛ, както следва:<ref>Кумулативната функция на разпределение е интеграл от функцията на плътността на вероятността.</ref>
:<math>F_X(x) = \mathcal{L}^{-1}\! \left\{\frac{1}{s}\operatorname{E}\left[e^{-sX}\right]\right\}\! (x) = \mathcal{L}^{-1}\! \left\{\frac{1}{s}\mathcal{L}\{f\}(s)\right\}\! (x).</math>

=== Алгебрична конструкция ===
Преобразованието на Лаплас може алтернативно да се дефинира по чисто алгебричен начин чрез прилагане на конструкция на [[поле от частни]] към конволюционния [[Пръстен (алгебра)|пръстен]] от функции на положителната полулиния. Полученото [[:en:Convolution quotient|пространство от абстрактни оператори]] е точно еквивалентно на пространството на Лаплас, но в тази конструкция правото и обратно преобразования никога не трябва да бъдат изрично дефинирани (избягвайки свързаните с това трудности с доказването на конвергенция).<ref>{{cite book | first=Jan | last=Mikusiński | url=https://books.google.com/books?id=e8LSBQAAQBAJ | title=Operational Calculus| date=14 July 2014 | publisher=Elsevier | isbn=9781483278933 }}</ref>

== Свойства и теореми ==
* '''Абсолютна сходимост'''
Ако [[Интеграл|интегралът]] на Лаплас се сближава абсолютно при <math>\sigma=\sigma_0</math>, тоест има [[:ru:Предел функции|граница]]
:<math>\lim_{b\to\infty}\int\limits_0^b |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx=\int\limits_0^\infty |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx,</math>

тогава той се сближава абсолютно и равномерно за <math>\sigma\geqslant\sigma_0</math> и <math>F(s)</math> е [[аналитична функция]] за <math>\sigma\geqslant\sigma_0</math> (<math>\sigma=\mathrm{Re}\,s</math> е реалната част на комплексната променлива <math>s</math>). Точната долна граница <math>\sigma_a</math> на множеството от числа <math>\sigma</math>, за които това условие е изпълнено, се нарича ''[[абсциса]] на абсолютната сходимост'' на преобразованието на Лаплас за функцията <math>f(x)</math>.

* '''Условия за съществуване на правото преобразование на Лаплас'''
Преобразованието на Лаплас <math>\mathcal{L}\{f(x)\}</math> съществува в смисъл на абсолютна сходимост в следните случаи:
# <math>\sigma\geqslant 0</math>: ПЛ съществува, ако съществува интегралът <math>\int\limits_0^\infty |f(x)|\,dx</math>;
# <math>\sigma >\sigma _{a}</math>: ПЛ съществува, ако интегралът <math>\int\limits_0^{x_1} |f(x)|\,dx</math> съществува за всяко крайно число <math>x_1>0</math> и <math>|f(x)|\leqslant Ke^{\sigma_ax}</math> за <math>x>x_2\geqslant 0</math>;
# <math>\sigma >0</math> или <math>\sigma >\sigma _{a}</math> (която от двете граници е по-голяма): Преобразованието на Лаплас съществува, ако съществува ПЛ за функцията <math>f'(x)</math> ([[производна]] на <math>f(x)</math>) за <math>\sigma >\sigma _{a}</math>.

''Забележка'': Това са достатъчни условия за съществуване.

* '''Условия за съществуване на обратното преобразование на Лаплас'''
За съществуването на обратното ПЛ е достатъчно да бъдат изпълнени следните условия:

# Ако изображението <math>F(s)</math> е [[аналитична функция]] за <math>\sigma \geqslant \sigma _{a}</math> и има ред по-малък от −1, тогава неговото обратно преобразование съществува и е непрекъснато за всички стойности на аргумента и <math>\mathcal {L}^{-1}\{F(s)\}=0</math> за <math>t\leqslant 0</math>.
# Нека <math>F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_ {2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]</math>, така че <math>\varphi (z_{1},\ ; z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})</math> е аналитична функция по отношение на всяко <math>z_{k}</math> и е равно на нула за <math>z_ {1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0</math> и <math>F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{ak}\colon k =1,\ ;2,\;\ldots ,\;n)</math>, тогава обратното преобразование съществува и съответното право преобразование има абсциса на абсолютна сходимост.

''Забележка'': Това са достатъчни условия за съществуване.

* '''Теорема за конволюцията'''
Преобразованието на Лаплас на [[конволюция]]та на два оригинала е произведение на изображенията на тези оригинали:
:<math>\mathcal{L}\{f(x)*g(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\cdot\mathcal{L}\{g(x)\}.</math>

{{Collapse top|title=Доказателство на теоремата за конволюцията}}
:<math>(f*g)(x)=\int_0^\infty dy\,f(x-y)g(y)</math>

Преобразование на Лаплас:
:<math>\mathcal{L}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int_0^\infty dx\,e^{-sx}\int_0^\infty dy\,f(x-y)g(y)</math>

За новата променлива <math>t = x-y,\; x=t+y</math>

:<math>\mathcal{L}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int_0^\infty dt\,e^{-s(t+y)}\int_0^\infty dy\,f(t)g(y)=\int_0^\infty dt\,e^{-st}f(t)\int_0^\infty dy\,e^{-sy}g(y)=\mathcal{L}\left\{f(x)\right\}\cdot\mathcal{L}\left\{g(x)\right\}</math>
{{Collapse bottom}}

* '''Умножение на изображения'''
:<math>f(x)g(0)+\int\limits_0^x f(x-\tau)g'(\tau)\,d\tau=sF(s)G(s).</math>
Лявата страна на този израз се нарича [[интеграл на Дюамел]], който играе важна роля в теорията на [[динамични системи|динамичните системи]].

* '''Диференциране и интегриране на оригинала'''
Образът на Лаплас на първата производна на оригинала по отношение на аргумента е произведението на изображението и аргумента на последния минус оригинала при нула вдясно:
: <math>\mathcal{L}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^+).</math>
В по-общ случай ([[Производна на функция|производна]] от <math>n</math>ти ред):
: <math>\mathcal{L}\{f^{(n)}(x)\}=s^n\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^+)-s^ {n-2}f^{(1)}(0^+)-\ldots-sf^{(n-2)}(0^+)-f^{(n-1)}(0^+) .</math>
Образът на Лаплас на интеграла на оригинала по отношение на неговия аргумент е образът на оригинала, разделен на неговия аргумент:
: <math>\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^x f(t)\,dt\right\}=\frac{F(s)}{s}.</math>
* '''Диференциране и интегриране на изображение'''
Обратното преобразуване на Лаплас на производната на изображение по отношение на неговия аргумент е произведението на оригинала и неговия аргумент, взети с противоположния знак:
: <math>\mathcal{L}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x).</math>
Обратното преобразуване на Лаплас на интеграла на изображение върху аргумент е оригиналът на това изображение, разделен на неговия аргумент:
: <math>\mathcal{L}^{-1}\left\{\int\limits_s^{+\infty} F(s)\,ds\right\}=\frac{f(x)}{x }.</math>

* '''Изоставане на оригинали и изображения'''
[[File:Laplace beispiel.png|335п|мини|Изображение (вдясно) на оригинал (вляво), получено чрез преобразование на Лаплас]]
Забавяне (закъснение) на изображението:
: <math>\mathcal{L}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a);</math>
: <math>\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x).</math>
Забавяне (закъснение) на оригинала:
<math>\mathcal{L}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-as}F(s);</math>
<math>\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)H(x-a),</math>

където <math>H(x)</math> е [[функция на Хевисайд]].

* '''Гранични теореми'''
Гранични теореми се наричат теоремите за начална и крайна стойност.

[[:en:Initial value theorem|Теорема за началната стойност]]
:<math>f(0^{+}) = \lim _{s\to \infty }{sF(s)}.</math>

[[:en:Final value theorem|Теорема за крайната стойност]]
:<math>f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}</math>, ако всички полюси на функцията <math>sF(s)</math> са в лявата полуравнина.

Теоремата за крайната стойност е много полезна, защото описва поведението на оригинала в безкрайност, използвайки проста връзка. Това се използва например за анализ на [[:ru:Устойчивость (динамические системы)|устойчивостта]] на траекторията на динамична система. Теоремата е полезна и защото дава дългосрочното поведение, без да се налага [[Разлагане на рационални дроби на прости дроби|рационални дроби да се разлагат на прости дроби]] (или други трудни алгебрични преобразования). Ако <math>F(s)</math> има полюс в дясната равнина или полюси на въображаемата ос [напр. ако <math>f(t)=e^{t}</math> или <math>f(t)=\sin(t)</math>], тогава поведението на тази формула е недефинирано.

* '''Други свойства'''
[[Линейност]]:
: <math>\mathcal{L}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).</math>
Умножение с число:
: <math>\mathcal{L}\{f(ax)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right).</math>
{{-}}

=== Обобщена таблица на свойствата ===
{| class="wikitable"
 ! Свойства на ПЛ
 ! Оригинал на функцията<br>Времева област <math>t</math>
 ! Образ на функцията чрез ПЛ<br>Област <math>s</math>
 ! Коментари
 |-
 ! [[Линейност]]
 | <math>af(t)+b g(t)</math>
 | <math>a\mathrm{F}(s)+b\mathrm{G}(s)</math>
 | Резултат от основните правила на интеграция.
 |-
 ! Първа производна на образа
 | <math>tf(t)</math>
 | <math>-\mathrm{F}'(s)</math>
 | <math>\mathrm{F}'</math> е първата [[производна]] на <math>F</math>.
 |-
 ! <math>n</math>-та производна на образа
 | <math>t^nf(t)</math>
 | <math>(-1)^n\mathrm{F}^{(n)}(s)</math>
 | По-обща форма, <math>n</math>-та производна на <math>F(s)</math>.
 |-
 ! [[Производна|Първа производна]] на оригинала <math>f</math>
 | <math>f'(t)</math>
 | <math>s\mathrm{F}(s)-f\left(0^-\right)</math>
 | Приема се, че функцията <math>f</math> е диференцируема и нейната производна се доближава до 0 експоненциално. Може да се получи чрез [[интегриране по части]].
 |-
 ! Втора производна на <math>f</math>
 | <math>f''(t)</math>
 | <math>s^2\mathrm{F}(s)-sf\left(0^-\right)-f'\left(0^-\right)</math>
 | Приема се, че <math>f</math> е два пъти диференцируема, като втората производна се доближава експоненциално към безкрайност.
 |-
 ! <math>n</math>-та производна на <math>f</math>
 | <math>f^{(n)}(t)</math>
 | <math>s^n\mathrm{F}(s)-s^{n-1} f\left(0^-\right)-\cdots-f^{(n-1)}\left(0^ -\right)</math>
 | Приема се, че <math>f</math> е <math>n</math> пъти диференцируема и <math>n</math>-тата ѝ производна клони към безкрайност.
 |-
 ! [[Интеграл]] от образа <math>F</math>
 | <math>\frac{f(t)}t</math>
 | <math>\int_s^\infty \mathrm{F}(\sigma)\, \mathrm{d}\sigma</math>
 |
 |-
 ! Интеграл от оригинала <math>f</math>
 | <math> \int_0^t f(\tau)\, \mathrm{d}\tau = (u * f)(t)</math>
 | <math> {1 \over s} \mathrm{F}(s) </math>
 | <math>u(t)</math> е стъпаловидната [[функция на Хевисайд]]. Операторът (''u'' * ''f'')(''t'') е [[конволюция]] на ''u''(''t'') и <br>''ƒ''(''T'').
 |-
 ! Умножен аргумент на оригинала <br>(времева скала)
 | <math> f(at) \ </math>
 | <math>\frac1{|a|}\mathrm{F}\left({s\over a}\right)</math>
 |
 |-
 ! Изместeн аргумент на образа
 | <math>{\rm e}^{at} f(t)</math>
 | <math>\mathrm{F}(s - a)</math>
 |Това свойство понякога е известно като „Теорема за затихване“ (или „Теорема за модулация“) с <math>a < 0</math>.
 |-
 ! Изместeн аргумент на оригинала
 | <math>f(t-a)u(t-a)</math>
 | <math>{\rm e}^{-as}\mathrm{F}(s)</math>
 | ''u''(''t'') е стъпковата функция на Хевисайд ''(стъпкова функция)''.
 |-
 ! [[Умножение|Произведение на оригинали]]<br>(конволюция на образи)
 | <math>f(t)g(t)</math>
 | <math>\frac1{2\pi{\rm i}}\lim_{\mathrm{T}\to\infty}\int_{c-{\rm i}\mathrm{T}}^{c+{\rm i}\mathrm{T}}\mathrm{F}(\sigma)G(s-\sigma)\,\mathrm{d}\sigma</math>
 | Интегрирането се извършва по вертикалната линия Re(σ) = ''c'', която е изцяло разположена в радиуса на конвергенция на F.<ref>Bracewell R. N. – The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), ISBN 978-0-07-116043-8, Boston: McGraw-Hill, 2000 <small>({{lang|en}})</small>.</ref>
 |-
 ! [[Конволюция]] на оригинали<br>(произведение на образи)
 | <math>(f * g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,{\rm d}\tau</math>
 | <math>\mathrm{F}(s)\cdot\mathrm{G}(s)</math>
 | ''ƒ''(''t'') и ''g''(''t'') са разширени до <math>\R</math> за определяне на [[конволюция]]та.
 |-
 ! Произведение на оригинал и [[синус]]
 | <math> \sin(at)\cdot f(t)\,</math>
 | <math>\frac{1}{2\mathrm i} \cdot (F(s-\mathrm ia) - F(s+\mathrm ia))</math>
 |-
 ! Произведение на оригинал и [[косинус]]
 | <math> \cos(at)\cdot f(t)\,</math>
 | <math>\frac{1}{2} \cdot (F(s-\mathrm ia) + F(s+\mathrm ia))</math>
 |-
 ! Произведение на оригинал и [[Хиперболична функция|хиперболичен синус]]
 | <math> \sinh(at)\cdot f(t)\,</math>
 | <math>\frac{1}{2} \cdot (F(s-a) - F(s+a))</math>
 |-
 ! Произведение на оригинал и [[Хиперболична функция|хиперболичен косинус]]
 | <math> \cosh(at)\cdot f(t)\,</math>
 | <math>\frac{1}{2} \cdot (F(s-a) + F(s+a))</math>
 |-
 ! Сложно спрягане
 | <math>f^*(t)</math>
 | <math>\mathrm{F}^*(s^*)</math>
 |
 |-
 ! Корелационна функция
 | <math> f(t)\star g(t) </math>
 | <math> \mathrm{F}^*(-s^*)\cdot \mathrm{G}(s) </math>
 |
 |-
 ! [[Периодична функция]]
 | <math> f(t)=f(t+T) </math>
 | <math>\frac1{1-{\rm e}^{-\mathrm{T}s}}\int_0^\mathrm{T}{\rm e}^{-st}f(t)\,\mathrm {d}t</math>
 | ''ƒ''(''t'') е периодична функция с период ''T'' така че <math>f(t) = f(t+\mathrm{T}), \; \forall t\ge 0.</math> Това е резултат от свойството за изместване във времевата област и [[:sr:Геометријски ред|геометричния ред]].
 |-
 ! [[:en:Periodic summation|Периодично сумиране]]
 | <math> f_P(t) = \sum_{n=0}^{\infty} f(t-Tn) </math>
<math> f_P(t) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n f(t-Tn) </math>
 | <math> F_P(s) = \frac{1}{1-e^{-Ts}} F(s) </math>
<math> F_P(s) = \frac{1}{1+e^{-Ts}} F(s) </math>
 | 
 |}

== Право и обратно преобразование на Лаплас на някои функции ==
По-долу е дадена таблица на преобразувания на Лаплас за някои функции.
{| class="wikitable"
|-
! № || Функция || Времева област<br><math>x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}</math> || Честотна област<br><math>X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}</math> || Област на сходимост<br>за ''причинни системи''
|- align="center"
| 1 || [[делта-функция]] || <math>\delta(t)\ </math> <br><br> <math>\frac{\mathrm d^n \delta (t)}{\mathrm dt^n}\,</math> || <math>1\ </math> <br><br> <math>s^{n}\,</math> || <math>\forall s\ </math>
|- align="center"
| 1a || закъсняваща делта-функция || <math>\delta(t-\tau)\ </math> || <math>e^{-\tau s}\ </math> ||
|- align="center"
| 2 || закъсняващи от <math>n</math>-ти ред с честотно изместване || <math>\frac{(t-\tau)^n}{n!}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot H(t-\tau)</math> || <math>\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>-\alpha</math>
|- align="center"
| 2a || степенна от <math>n</math>-ти ред, <math>n > -1</math> || <math>\frac{t^n}{n!}\cdot H(t)</math> || <math>\frac{1}{s^{n+1}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
|- align="center"
| 2a.1 || степенна от <math>q</math>-ти ред, <math>q\in\mathbb{C}</math> || <math>\frac{t^q}{\Gamma(q+1)}\cdot H(t)</math> || <math>\frac{1}{s^{q+1}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
| 2a.2 || [[функция на Хевисайд]] || <math>H(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
| 2b || функция на Хевисайд със  закъснение || <math>H(t-\tau)\ </math> || <math>\frac{e^{-\tau s}}{s}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
| 2c || „бърза стъпка“ || <math>t\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
| 2d || <math>n</math>-ти ред с честотно изместване || <math>\frac{t^n}{n!}e^{-\alpha t}\cdot H(t)</math> || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>-\alpha</math>
|- align="center"
| 2d.1 || [[Експоненциална функция|експоненциално]] затихване || <math> e^{-\alpha t}\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s+\alpha}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>-\alpha\ </math>
|- align="center"
| 3 || експоненциално приближение || <math>(1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0\ </math>
|- align="center"
| 4 || [[синус]] || <math>\sin(\omega t)\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{\omega}{s^2+\omega^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0\ </math>
|- align="center"
| 5 || [[косинус]] || <math>\cos(\omega t)\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{s}{s^2+\omega^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0\ </math>
|- align="center"
| 6 || [[Хиперболична функция|хиперболичен синус]] || <math>\mathrm{sh}\,(\alpha t)\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{\alpha}{s^2-\alpha^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>|\alpha |\ </math>
|- align="center"
| 7 || [[Хиперболична функция|хиперболичен косинус]] || <math>\mathrm{ch}\,(\alpha t)\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{s}{s^2-\alpha^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>|\alpha|\ </math>
|- align="center"
| 8 || експоненциално затихващ<br>синус || <math>e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>-\alpha\ </math>
|- align="center"
| 9 || експоненциално затихващ<br>косинус || <math>e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot H(t)\ </math> || <math>\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>-\alpha\ </math>
|- align="center"
| 10 || корен <math>n</math>-ти || <math>\sqrt[n]{t}\cdot H(t)</math> || <math>s^{-(n+1)/n}\cdot\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
| 11 || [[натурален логаритъм]] || <math>\ln\left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot H(t)</math> || <math>-\frac{1}{s}[\ln(t_0s)+\gamma]</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|- align="center"
| 12 || [[функция на Бесел]]<br>от първи род<br>я <math>\nu</math>,<br><math>\nu > -1</math> || <math>J_{\nu}(\alpha t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{\left(\sqrt{s^2+\alpha^2} - s\right)^{\nu}}{\alpha^{\nu}\sqrt{s^2+\alpha^2}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s) > 0\ </math>
|- align="center"
| 13 || модифицирана функция на Бесел<br>от първи род<br>ред <math>\nu</math>,<br><math>\nu > -1</math> || <math>I_{\nu}(\alpha t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{\left(s-\sqrt{s^2-\alpha^2}\right)^{\nu}}{\alpha^{\nu}\sqrt{s^2-\alpha^2}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>|\alpha|\ </math>
|- align="center"
| 14 || функция на Бесел<br>от втори род<br>нулев ред || <math>Y_0(\alpha t)\cdot H(t)\ </math> || <math>-\frac{2\mathrm{arsh}(s/\alpha) }{\pi\sqrt{s^2+\alpha^2}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0\ </math>
|- align="center"
| 15 || модифицирана функция на Бесел<br>от втори рода<br>нулев ред || <math>K_0(\alpha t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{\mathrm{arch}(s/\alpha) }{\sqrt{s^2 - \alpha^2}}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>|\alpha|</math>
|- align="center"
| 16 || [[:ru:Функция ошибок|функция на грешките]] || <math>\mathrm{erf}(t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{e^{s^2/4}\mathrm{erfc}(s/2)}{s}</math> || <math>\operatorname{Re}(s)>0</math>
|-
|colspan=5|'''Бележки към таблицата:'''
* <math>H(t)\ </math> — [[функция на Хевисайд]];
* <math>\delta(t)\ </math> — [[делта-функция]];
* <math>\Gamma(z)\ </math> — [[гама-функция]];
* <math>\gamma\ </math> — [[константа на Ойлер – Маскерони]];
* <math>t\ </math> — реална променлива;
* <math>s\ </math> — комплексна променлива;
* <math>\alpha\ </math>, <math>\beta\ </math>, <math>\nu\ </math>, <math>\tau\ </math> и <math>\omega\ </math> — [[реално число|реални числа]];
* <math>n\ </math> — [[цяло число]].
* [[Причинна система]] — система, в която [[импулсна предавателна функция|импулсната предавателна функция]] <math>h(t)\ </math> е равна на нула във всеки момент от времето <math>t<0\ </math>.
|}

== Приложения на преобразованието на Лаплас ==
Преобразуването на Лаплас се използва широко в много области на [[математика]]та ([[:ru:Операционное исчисление|операционното изчисление]]), [[физика]]та и [[техника]]та:
* Решаване на системи от [[диференциални уравнения|диференциални]] и [[интегрални уравнения]] – с помощта на ПЛ е лесно да се премине от сложни понятия на [[Математически анализ|математическия анализ]] към прости алгебрични отношения. <ref>[[:ru:Ващенко-Захарченко, Михаил Егорович|Ващенко-Захарченко М. Е.]] – Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1862.</ref>
* Изчисляване на [[:ru:Передаточная функция|предавателни функции]] на динамични системи, като например [[:ru:Аналоговый фильтр|аналогови филтри]].
* Изчисляване на изходните сигнали на динамични системи в [[:ru:Теория управления|теорията на управлението]] и [[Обработка на сигнали|обработката на сигнали]] – тъй като изходният сигнал на [[:ru:Теория линейных стационарных систем|линейна стационарна система]] е равен на [[конволюция]]та на нейната [[:ru:Импульсная переходная функция#Преобразования Лапласа и Фурье|импулсна характеристика]] с входния сигнал, преобразованието на Лаплас позволява да се замени тази операция с просто умножение.
* Изчисляване на електрически схеми. Получава се чрез решаване на диференциални уравнения, които описват схемата с помощта на операторния метод.
* Решаване на нестационарни задачи на [[Математическа физика|математическата физика]].

=== Решаване на диференциални уравнения ===
Като цяло преобразованието на Лаплас е подходящо за решаване на линейни диференциални уравнения или системи от диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Предимството тук е алгебраизацията: производните в областта на изображението възникват като продукт на преобразуването на Лаплас на оригиналната функция с коефициента на Лаплас <math>\, s</math>. Това трансформира:
* обикновени диференциални уравнения в оригиналната област към алгебрични уравнения в областта на изображението,
* частични диференциални уравнения с <math>\, n \,</math> независими променливи в оригиналната област до частични (или обикновени) диференциални уравнения с <math>\, n-1 \,</math> независими променливи в областта на изображението,
* и интегрални уравнения от тип [[конволюция]] в оригиналната област към алгебрични уравнения в областта на изображението.

Решенията на преобразуваните задачи са много по-лесни в областта на изображението, отколкото в оригиналната област. В специални случаи по този начин могат да се решават и линейни диференциални уравнения с полиномиални коефициенти.

Процедурата за решаване на диференциално уравнение с помощта на преобразованието на Лаплас е следната:
# По зададено входно въздействие се намира изображение с помощта на таблици за съответствие.
# Според диференциалното уравнение се съставя предавателната функция.
# Намира се изображението на величината на точки 1 и 2.
# Определя се оригиналът. <ref>{{cite journal | last = Боковой А.В | title = – Архитектура системы автоматического управления группой малых беспилотных летательных аппаратов | journal = Информационные технологии и вычислительные системы, | volume = №1 | issue = статья | year = 20.3.2018 | location = Москва | publisher = ФИЦ ИУ РАН | pages = 68-77 | url = http://dx.doi.org/10.14357/20718632180109 | doi = 10.14357/20718632180109 | accessdate = 8.4.2024 г. | lang = ru}}</ref>

=== Изчисляване на предавателни функции ===
В машиностроенето и електротехниката, особено в контролното инженерство, преобразованието на Лаплас играе основна роля, особено поради теоремата за [[конволюция]]та. Тъй като поведението на системния изход може да бъде представено в спектралния диапазон като продукт на входната функция и [[Предавателна функция|предавателната функция]] (ПФ), специфична за системата и независима от съответното възбуждане, много свойства на системата могат да бъдат определени чрез изследване на ПФ (която се получава чрез прости комбинации от елементарни предавателни функции), без да се определя изричното решение на диференциалното уравнение на системата, например чрез обратно преобразование на Лаплас. Това прави възможно, например, елегантно да се анализира стабилността на линейни непроменливи във времето системи и да се анализира поведението на вибрациите (затихване) и скоростта както на управляваните системи, така и на затворените контролни контури. Тъй като предавателната функция в диапазона на Лаплас за <math>\, s=j\omega \,</math> се променя в ПФ в диапазона на Фурие, предавателните свойства могат да се представят графично по различни начини: чрез амплитудните и фазовите честотни характеристики и чрез [[:ru:Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика|логаритмичната амплитудно-фазова честотна характеристика]] (ЛАФЧХ, диаграма на [[:en:Hendrik Wade Bode|Бо́де]]).

== Връзка с други преобразования ==
=== Преобразование на Фурие ===
[[Преобразование на Фурие|Преобразованието на Фурие]] (ПФ) е частен случай (при определени условия) на двустранното преобразование на Лаплас. Докато ПФ на функция е сложна функция на реална променлива (честота), преобразованието на Лаплас на функция е сложна функция на сложна променлива. Преобразованието на Лаплас обикновено се ограничава до преобразование на функции на {{math|''t'' ≥ 0}}. Следствие от това ограничение е, че ПЛ на функция е [[холоморфна функция]] на променливата {{math|''s''}}. За разлика от ПФ, преобразованието на Лаплас на разпределение обикновено е функция с добро поведение. Техники на сложни променливи също могат да се използват за директно изследване на преобразованията на Лаплас. Като холоморфна функция ПЛ има представяне в степенен ред. Този степенен ред изразява функция като линейна суперпозиция на моменти на функцията. Тази перспектива има приложения в [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]].

Преобразованието на Фурие е еквивалентно на оценяване на двустранното ПЛ с въображаем аргумент {{math|1=''s'' = ''iω''}} или {{math|1=''s'' = 2''πiξ''}},<ref>{{harvnb|Takacs|1953|p=93}}</ref> когато е изпълнено условието

<math display="block">\begin{align}
  \hat{f}(\omega) &= \mathcal{F}\{f(t)\} \\[4pt]
                  &= \mathcal{L}\{f(t)\}|_{s = i \omega}  =  F(s)|_{s = i \omega} \\[4pt]
                  &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega t} f(t)\,dt~.
\end{align}</math>

Тази модификация на ПФ (<math>\hat {f}_{3}(\omega)</math> в [[:en:Fourier transform#Angular frequency (ω)|Преобразование на Фурие – Ъглова честота]]) изисква коефициент {{math|{{sfrac|1|2''π''}}}} върху обратното ПФ. Тази връзка между преобразованията на Лаплас и Фурие често се използва за определяне на честотния спектър на сигнал или [[динамична система]].

Горната връзка е валидна, както е посочено, [[тогава и само тогава, когато]] областта на [[конвергенция]] (OК) на <math>F(s)</math> съдържа въображаемата ос <math>\sigma=0</math>.

Например, функцията {{math|1=''f''(''t'') = cos(''ω''<sub>0</sub>''t'')}} има преобразование на Лаплас {{math|1=''F''(''s'') =  ''s''/(''s''<sup>2</sup> + ''ω''<sub>0</sub><sup>2</sup>)}}, чиято OК е {{math|Re(''s'') > 0}}. Тъй като {{math|1=''s'' = ''iω''<sub>0</sub>}} е полюс на {{math|''F''(''s'')}}, заместването на {{math|1=''s'' = ''iω''}} във {{math|''F''(''s'')}} не дава преобразованието на Фурие на {{math|''f''(''t'')''u''(''t'')}}, което съдържа членове, пропорционални на [[Делта-функция|делта функциите]] на [[Пол Дирак|Дирак]] {{math|''δ''(''ω'' ± ''ω''<sub>0</sub>)}}.

Въпреки това, равенството
:<math>\lim_{\sigma\to 0^+} F(\sigma+i\omega) = \hat{f}(\omega)</math>
е в сила и при много по-слаби условия. Например, това важи за горния пример, при условие че ограничението се разбира като слабо ограничение на мерките ([[слаба топология]]). Общите условия, свързващи границата на преобразованието на Лаплас на функция с границата на преобразованието на Фурие, приемат формата на [[:ru:Теорема Пэли — Винера|теореми на Пейли–Винер]].

== Вижте също ==
* [[:en:Laplace–Carson transform|Преобразование на Лаплас–Карсон]]
* [[Преобразование на Фурие]]
* [[Оператор на Лаплас]]
* [[Уравнение на Лаплас]]

== Източници ==
<references />

== Външни препратки ==
* [http://ru.dsplib.org/content/laplace/laplace.html Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org)]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180812213254/http://ru.dsplib.org/content/laplace/laplace.html |date=2018-08-12 }} <small>({{lang|ru}})</small>.
* [https://web.archive.org/web/20161124092925/http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tfkp/theme12/theory.asp Преобразование Лапласа], exponenta.ru <small>({{lang|ru}})</small>.
* ''Eric Weisstein'' – [https://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html Laplace Transform], MathWorld <small>({{lang|en}})</small>.
* [https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html Laplace-Transformation]: Задачи и интерактивни задачи <small>({{lang|de}})</small>.
* ''Jörn Loviscach'' – [https://av.tib.eu/media/10275 Laplace-Transformation von Ableitungen] (Преобразование на Лаплас на производни), видео, предоставено от Библиотеката с техническа информация (TIB), DOI: 10.5446/10275, 2011 <small>({{lang|de}})</small>.

[[Категория:Математически анализ]]