Преглед на кода на Поле (алгебра)

{{без източници}}
{{към пояснение|Поле|Поле}}
В [[алгебра]]та '''поле''' (F, +, ·) се нарича [[множество]] ''F'', в което са дефинирани две [[бинарна операция|бинарни операции]] (наричани обикновено събиране и умножение и обозначавани с „+“ и „·“), ако отговаря на следните условия:
# [[затвореност|затворено]] е спрямо двете операции;
# двете операции са [[асоциативност|асоциативни]] и [[комутативност|комутативни]];
# съществуват [[неутрален елемент|неутрални елементи]] спрямо двете операции (най-често наричани „нула“ и „единица“);
# съществуват [[обратен елемент|обратни елементи]] за всеки елемент спрямо първата операция и спрямо втората за всеки елемент без единичния елемент на първата операция („нулевия елемент“);

== Други определения ==
Възможни са други определения при използване на термини за множества, частично удовлетворяващи горните условия:
* поле е комутативен [[пръстен c единица]], в който всички ненулеви елементи са обратими;
* поле е комутативно [[тяло (алгебра)|тяло]];
* множеството ''F'' е поле, ако образува [[абелова група|комутативна група]] по отношение на събирането и всички ненулеви елементи образуват комутативна група по отношение на умножението. В сила са [[дистрибутивност|дистрибутивните]] закони, които свързват двете операции.

=== Аксиоматично определение за поле ===
Множеството A се нарича поле, ако в него са дефинирани две операции (адитивна и мултипликативна) и за всички елементи a, b, c ∈ A са верни следните твърдения:
* a + b = b + a ([[комутативност]] на събирането)
* (a + b) + c = a + (b + c) ([[асоциативност]] на събирането)
* Съществува елемент 0∈A, за който a + 0 = a за всяко a∈A. (неутрален елемент за адитивната операция)
* За всяко a∈A съществува елемент (-a)∈A, за който a + (-a) = 0 (обратимост на събирането)

* a . b = b . a
* (a . b) . c = a . (b . c)
* Съществува неутрален елемент за мултипликативната операция 1∈A (0≠1): такъв, че a . 1 = a за всяко a∈A.
* За всеки ненулев елемент a∈A съществува елемент (a<sup>-1</sup>)∈A такъв, че a . a<sup>-1</sup> = 1 (обратимост на ненулевите елементи)
* (a + b) . c = a . c + b . c (дистрибутивен закон)

== Примери ==
* <math>\mathbb{Q}</math> – множеството на [[рационално число|рационалните числа]],
* <math>\mathbb{R}</math> – множеството на [[реално число|реалните числа]],
* <math>\mathbb{C}{}</math> – множеството на [[комплексно число|комплексните числа]],
* <math>\mathbb{Z}_p</math> – множеството от [[остатък|остатъци]] по модул ''p'', където ''p'' е [[просто число]].
* <math>\mathbb{F}_q</math> – [[крайно поле|крайни полета]] с <math>q=p^k</math> елемента, където ''p'' е просто, а ''k'' – [[естествено число|естествено]] число.

== Характеристика на поле ==
Ако в едно поле F съществува естествено число ''n'', за което единичният елемент, събран със себе си n пъти, дава нула, то n се нарича ''характеристика'' на полето (с други думи, ''n'' е редът на единичния елемент, когато редът е естествено число). В противен случай казваме, че полето F има характеристика 0. Ако характеристиката е различна от нула, то тя е просто число.

== Подполе ==
''Подполе'' K на поле F се нарича подмножество на F, което съдържа елемента 1 и е затворено относно адитивната и мултипликативната операция.

''Просто поле'' се нарича поле F, което няма собствени (различни от F) подполета. Всяко поле съдържа подполе, което е просто. Когато F има ненулева характеристика ''p'', простото подполе на F е изоморфно на <math>\mathbb{Z}_p</math>. Ако характеристиката на F е 0, простото подполе на F е изоморфно на <math>\mathbb{Q}</math>.

[[Категория:Абстрактна алгебра]]