Преглед на кода на Площ

[[Файл:Area.svg|мини|Общата площ на трите показани фигури е между 15 и 16 единични квадрата]]
'''Площ''' (също и '''лице на повърхнина''') е [[величина]], изразяваща големината на даден двуизмерен обект.<ref>[https://ibl.bas.bg/rbe/lang/bg/площ/ РБЕ]</ref> Тя е двуизмерен аналог на едноизмерната [[дължина]] и триизмерния [[обем]].

Площта на дадена фигура може да бъде определена, като се сравни с [[квадрат]] с предварително зададен размер. В [[Международна система единици|Международната система единици]] площта се измерва в [[Квадратен метър|квадратни метри]] (m²) – площта на квадрат, чиито страни имат дължина 1 m.<ref>{{cite web | publisher = BIPM | year = 2011 | url = http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ | title = Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960) | work = bipm.org | accessdate = 30 септември 2011 | lang = en }}</ref> Фигура с площ 3 квадратни метра би имала площта на три такива квадрата. В [[математика]]та площта е [[безразмерна величина]], като за единица се използва ''единичният квадрат'', квадрат с дължина на страните единица.

Площта на основните фигури, като [[Триъгълник|триъгълници]], [[Правоъгълник|правоъгълници]] и [[кръг]]ове, обикновено се изчислява с помощта на няколко широко известни [[Формула|формули]]. Площта на произволен многоъгълник може да бъде определена чрез същите формули, като той бъде разделен на по-прости фигури, обикновено триъгълници.<ref name="bkos">{{cite book | last = De Berg | first = Mark | coauthors = Marc van Kreveld, Mark Overmars, Otfried Schwarzkopf | year = 2000 | title = Computational Geometry | url = https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365 | publisher = Springer-Verlag | edition = 2nd revised | isbn = 3-540-65620-0 | pages = [https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365/page/n51 45]-61 | lang = en }}</ref> За изчисляването на площта на по-сложни фигури с криволинейни граници обикновено са необходими методите на [[Математически анализ|математическия анализ]]. В действителност задачата за определянето на площта на равнинни фигури е сред основните мотиви за първоначалното развитие на този дял на математиката.<ref>{{cite book | first = Carl B | last = Boyer | title = The History of the Calculus and Its Conceptual Development | url = https://archive.org/details/historyofcalculu0000boye | publisher = Dover | year = 1959 | isbn =978-0486605098 | lang = en }}</ref>

Площта на граничната повърхнина на триизмерни тела, като [[сфера]], [[конус]] или [[цилиндър]], се нарича [[околна повърхнина]]. Формули за околните повърхнини на прости тела са известни още от Античността, но изчисляването им за по-сложни обекти също се извършва с аналитични методи.

Площта играе важна роля в съвременната математика. Освен очевидната ѝ важност в [[геометрия]]та и математическия анализ, тя е свързана с дефинирането на [[Детерминанта|детерминантите]] в [[Линейна алгебра|линейната алгебра]], е една от основните характеристики на повърхнините в [[диференциална геометрия|диференциалната геометрия]].<ref>{{cite book | last = do Carmo | first = Manfredo | year = 1976 | title = Differential Geometry of Curves and Surfaces | url = https://archive.org/details/differentialgeom0000carm | publisher = Prentice-Hall | location = | pages = [https://archive.org/details/differentialgeom0000carm/page/n105 98] | isbn = | lang = en }}</ref>

== Единици за площ ==
[[Файл:Area conversion - square mm in a square cm.png|мини|300п|Пример за това, че въпреки 1 cm=10 mm, 1 cm<sup>2</sup>=100 mm<sup>2</sup>]]
Единицата за измерване на площ в системата [[SI]] е [[квадратен метър|квадратният метър]] (с означение m<sup>2</sup>).

Някои по-често използвани производни единици на квадратния метър са квадратният [[километър]], квадратният [[сантиметър]], квадратният [[милиметър]]:

:1 km<sup>2</sup> = 1 000 000 m<sup>2</sup>
:1 m<sup>2</sup> = 10 000 cm<sup>2</sup> = 1 000 000 mm<sup>2</sup>

Единицата [[ар]] (с означение а) и нейните кратни [[декар]] и [[хектар]] (с означения da и ha) се използват за измерване на селскостопански площи.

:1 a = 100 m<sup>2</sup>
:1 da = 10 a = 1000 m<sup>2</sup>
:1 ha = 100 a = 10 000 m<sup>2</sup>

Постепенно излизат от употреба широко използваните в миналото (предимно в англоезичния свят) [[имперски единици]] (наричани още британски или английски):
:1 in<sup>2</sup> (квадратен [[инч]]) = 6,451 6 cm<sup>2</sup>
:1 ft<sup>2</sup> ([[квадратен фут]]) = 144 in<sup>2</sup> = 929,03 cm<sup>2</sup>
:1 yd<sup>2</sup> (квадратен [[ярд]]) = 9 ft<sup>2</sup> = 0,836 127 36 m<sup>2</sup>
:1 rod<sup>2</sup> (perch, pole) (квадратен род, пъч или пол) = 30,25 yd<sup>2</sup> = 25,292 853 m<sup>2</sup>
:1 acre ([[акър]]) = 160 rod<sup>2</sup> = 43 560 ft<sup>2</sup>= 4046,856 m<sup>2</sup>
:1 mile<sup>2</sup> (квадратна [[миля]]) = 640 акра = 2,589 988 km<sup>2</sup>

Остарели руски единици са:
:1 квадратна [[верста]] = 1,138 06 km<sup>2</sup>
:1 [[десетина]] = 10 925,4 m<sup>2</sup>
:1 квадратен [[сажен]] = 4,552 24 m<sup>2</sup>

== Основни формули за площ ==
=== Правоъгълници ===
[[Файл:RectangleLengthWidth.svg|мини|180px|Площта на правоъгълника е {{math|''lw''}}]]
Най-основната формула за площ (или лице на фигура) е тази за площ на [[правоъгълник]]. Ако дължината му е {{math|''l''}} и ширината {{math|''w''}}, формулата за площта е
:{{math|''S'' {{=}} ''lw''}}
С други думи, площта на правоъгълника е [[Умножение|произведението]] на дължината и ширината му. Площта на [[квадрат]]а е квадратът на страната му. Ако означим страната му с {{math|''s''}} тогава площта му е:
:{{math|''S'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}}

Тази формула служи за дефиниция или [[аксиома]] и произхожда от основните свойства на понятието площ. От друга страна, ако предположим, че геометрията идва преди аритметиката, тя може да послужи за дефиниция на произведението на две числа.

[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|180px|Фигури с еднаква площ]]
Повечето други формули се извеждат на базата на разделяне на всяка фигура на по-прости фигури, намиране на тяхната площ и събиране на отделните площи. Така например всеки [[успоредник]] може да се раздели на [[трапец]] и правоъгълен триъгълник. Ако триъгълникът бъде преместен от другата страна, се получава правоъгълник. Това показва, че лицето на успоредника се намира по аналогичен начин.
:{{math|''S'' {{=}} ''bh''}}
:където b е основата, а h височината.

Същият успоредник може да се раздели и на два еднакви триъгълника, по [[диагонал]]а, като лицето на всеки един от тях е половината от лицето на успоредника:
:<math>S = {1 \over 2} bh</math>
Подобни аргументи могат да се ползват за да се намерят формули за лицето на [[ромб]], трапец и други по-сложни фигури.

=== Лице на кръг ===
[[Файл:CircleArea.svg|мини|ляво|Метод за намиране приближено лицето на един кръг]]
Формулата за лице на [[кръг]] се базира на подобен модел. Ако имаме кръг с радиус {{math|''r''}}, е възможно да се раздели на части, сектори, както е показано на фигурата. Всеки сектор е приблизително с формата на триъгълник и те могат да се пренаредят така, че да образуват успоредник (с добро приближение). Височината на успоредника е {{math|''r''}}, а основата е половината от [[обиколка]]та на кръга или {{math|''πr''}}. По този начин лицето е {{math|''r'' × ''πr''}} или {{math|''πr''<sup>2</sup>}}:
:{{math|''S'' {{=}} ''πr''<sup>2</sup>}}
Въпреки че този път разделянето на отделни фигури е приблизително, грешката е много малка ако кръгът се раздели на все по-малки и по-малки триъгълници.

Този принцип всъщност е приложението на елементарните идеи на интегралното и диференциално смятане. Използвайки съвременни методи, лицето на кръга може да се намери от формулата:
:<math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2</math>

=== Площ на плоска фигура ===
==== В декартови координати ====
[[Файл:Integral as region under curve.svg|мини|180px|[[Определен интеграл]] като площ на фигура]]
[[Файл:Areabetweentwographs.svg|мини|180px|Площта между графиките на две функции е равна на разликата между интегралите в еднакви граници на интегриране]]
Площта, затворена между графиката на непрекъснатата функция в интервала <math>[a, b]</math> и хоризонталната ос може да бъде изчислена като определения интеграл на следната функция:
: <math>S = \int\limits_a^b f(x)\, dx</math>

Площта, затворена между графиките на непрекъснатите функции <math>f(x),\, g(x)</math> в интервала <math>[a, b]</math> се намира като разликата от следните определените интеграли:
:<math>S = \int\limits_a^b \left | f(x)-g(x) \right |\, dx</math>

==== В полярни координати ====
В [[полярни координати]]: площта, ограничена от графиката на функцията <math>r=r(\theta)</math> и лъчите <math>\theta = \theta_1, \theta = \theta_2, \theta_1<\theta_2</math> се изчислява по формулата:
: <math>S = {1 \over 2} \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta) \, d\theta </math>.

== Лице на околна повърхнина ==
=== На конус ===
Лице на околната повърхнина на прав кръгов [[конус]] се нарича границата на редицата от лицата на околните повърхнини на вписаните в него (или описаните около него) правилни пирамиди при неограничено удвояване броя на околните им стени.

След съответните математически пресмятания и граничен преход се стига до формулите за лице на околна и пълна повърхнина:
:<math>\!S=\pi r^2+\pi r l</math> или
:<math>\!S=\pi r(r+l)</math>

=== На цилиндър ===
Лицето на пълната повърхнина на прав [[цилиндър]] се дава от:
:<math>S\,</math><sub>1</sub><math>= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h)\,</math>,

а лицето само на околната повърхнина е
:<math>S = 2 \pi r h\,</math>

=== На пирамида ===
Лицето на околната повърхнина на правилна [[пирамида]] се намира по формулата:
:<math>S= B + \frac{PL}{2}</math>

където B е лицето на основата, P е [[периметър]]ът на основата и L е:
:<math>L= \sqrt{h^2+r^2}</math>

където h е височината на пирамидата, а r е [[радиус]]ът на вписаната [[окръжност]].

=== На сфера ===
Повърхността на [[сфера]] не може да бъде направена плоска, както тази на цилиндър например, поради Гаусовата кривина. Формулата за първи път е изведена от [[Архимед]].
:{{math|''S'' {{=}} 4''πr''<sup>2</sup>}}

Където {{math|''r''}} е радиусът на сферата.

== Бележки ==
<references/>

== Външни препратки ==
{{Commonscat|Area}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Area.html Площ в ''MathWorld'']
* [http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm За понятията площ и обем]
* [http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm Формули за лице]
* [http://www.sengpielaudio.com/calculator-cross-section.htm Превръщане на единици за площ]

[[Категория:Физични величини]]