Преглед на кода на Пирамида

{{Към пояснение|Пирамида|Пирамида (пояснение)}}
[[Файл:Hexagonal pyramid.png|180п|мини|Шестоъгълна пирамида]]
'''Пирамѝдата''' ({{lang|grc|на=от|πυραμίς}}, [[Родителен падеж|род. п.]] ''πυραμίδος'') е геометрично тяло, многостен, образуван от свързването на всеки от върховете на n-ъгълник (n = 3, 4,...), наречен '''основа''', с точка, нележаща в равнината му, наречена '''връх''' на пирамидата. Стените, едната страна на които е и страна на основата, а другите 2 сключват помежду си ъгъл при върха на пирамидата, се наричат '''околни стени'''. Ръбовете при основата се наричат '''основни ръбове''', а останалите ръбове на пирамидата – '''околни ръбове'''.

Околните стени на пирамидата са триъгълници. Отсечката, спусната от върха към равнината на основата и образуваща прав ъгъл с нея, се нарича '''височина'''. Височината на околна стена, спусната от върха на пирамидата към основния ръб, се нарича '''апотема'''. Сборът от лицата на околните стени на пирамидата се нарича '''околна повърхнина''', а сборът от околната повърхнина и лицето на основата – '''пълна повърхнина'''. <ref name="Геометрия">{{cite book | title = Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений | last = Александров А. Д. | first = Вернер А. Л. – | authorlink =  | coauthors =  | editor =  | editor-link =  | year = 2003 | edition = „Просвещение“ | publisher = 2-е издание| location = М. | isbn = 5-09-010773-4 | doi =  | pages = 271 | url =  | accessdate =  | quote =  | lang-hide =  | lang = ru }} </ref>

Пирамидата е частен случай на [[конус]]. <ref>Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., „Просвещение“, 1978. 320 с. С. 253.</ref>.
[[Файл:Piramide-hexagonal.gif|210п|ляво|мини|Правилна шестоъгълна пирамида]]
[[Файл:Piramide zuzena.gif|210п|мини|Правилна четириъгълна (квадратна) пирамида]]
[[Файл:Hexadecagonal pyramid.svg|210п|ляво|мини|Правилна 16-ъгълна пирамида]]
[[Файл:Piramide erregularrra1.gif|210п|мини|Елементи на пирамида]]
== Видове пирамиди ==
[[Файл:Pyramid irregular 6 no lettes.svg|мини|150px|Наклонена пирамида]]
'''Права пирамида''' – пирамида, пета̀та на височината на която е център на основата.<br>
'''Правилна пирамида''' – пирамида с основа [[правилен многоъгълник]] и равни околни ръбове.<br>
'''Наклонена пирамида''' – пирамида, петата на височината на която не е център на основата.<br>
'''Пресечена пирамида''' – многостен, заключен между основа на пирамида и нейно успоредно сечение.<br>
'''[[Тетраедър]]''' – триъгълна пирамида.<br>
'''Правоъгълен тетраедър''' – тетраедър, на който трите ъгъла при един връх са равни.<br>
'''Правилен тетраедър''' – тетраедър, на който четирите страни са еднакви равностранни триъгълници.

== Означения ==
=== Означения на пирамиди ===
Една права пирамида може да бъде означена като '''( )∨P''', където '''( )''' е точката на върха, '''∨''' е оператор за свързване, а '''P''' е многоъгълникът на основата.

'''Равнобедрен триъгълен прав [[тетраедър]]''' може да бъде записан <br>'''( )∨[( )∨{ }]''' като съединение на точка с основата на пирамидата равнобедрен триъгълник, а също и '''[( )∨( )]∨{ }''' или '''{ }∨{ }''' като съединение (ортогонални отмествания) на два ортогонални сегмента, равностенен тетраедър с 4 стени равнобедрени триъгълници. Той има симетрия C<sub>1v</sub> от две различни ориентации основа-връх и пълна симетрия C<sub>2v</sub>.
{| class=wikitable
|+ Прави неправилни пирамиди
|- align=center
|[[File:Rectangular_right_pyramid.png|180px]]
|[[File:Rhombic_right_pyramid.png|180px]]
|[[File:General right pyramid.png|180px]]
|-
!Правоъгълна пирамида
!Ромбична пирамида
!Шестоъгълна изпъкнало-вдлъбната пирамида
|}
[[Файл:Апофема пирамиды.TIF|мини|150px|SO=<math>h</math> — височина;
SF=<math>a</math> — апотема;
OF=<math>r</math> — радиус на вписаната окръжност в основата.]]
Права правоъгълна пирамида се записва '''( )∨[{ }×{ }]''', а ромбична пирамида – '''( )∨[{ }+{ }]''', и двете имат симетрия C<sub>2v</sub>.

=== Означения на елементите ===
Елементите на пирамидата са означени със следните латински букви:
* <math>b</math> – основен ръб (страната на основата на пирамидата)
* <math>l</math> – околен ръб
* <math>h</math> – височина
* <math>a</math> – апотема на ''пирамидата''
* <math>r</math> – [[апотема]] на ''основата'' или радиус на вписаната окръжност (ако основата е [[правилен многоъгълник]])

== Повърхнина и обем ==
Лицето на '''основната повърхнина''' на правилна пирамида се намира по формулата:
:<math>B=\frac{P.r}{2}</math>,

където '''<math>{P}</math>''' е [[периметър]]ът на основата, а '''<math>{r}</math>''' е апотемата на основата.

Лицето на '''околната повърхнина на правилна пирамида''' се намира по формулата:
:<math>S_{ok} = \frac{P.a}{2} = \frac{n}{2} l^2 \sin \alpha</math>,

където <math>{a}</math> е апотемата на пирамидата, <math>{l}</math> е околният ръб, <math>{n}</math> е броят на страните на основата, <math>\alpha</math> е плоският ъгъл при върха на пирамидата.

Лицето на '''околната повърхнина на неправилна пирамида''' е сума от лицата на околните стени:
:<math>S_b = \sum_{i}^{n}S_i= \frac{1}{2}\sum_{i}^{n}(b_i.a_i),</math>

където <math>a_i</math> са апотемите на пирамидата за всяка околна стена от върха към основните ръбове <math>b_i</math>.

Лицето на '''пълната повърхнина''' (на правилна пирамида) се пресмята по формулата:
:<math>S = B + S_{ok} = \frac{P(a+r)}{2}.</math>

[[Файл:Pyramide-46-e.svg|мини|178px|Лице на основата и височина на пирамиди.]]
[[Файл:Volum d'una piràmide.PNG|мини|178px|Доказателство за обема на пирамида и илюстрация на пресечена пирамида.]]
'''Обемът''' на произволна пирамида се намира по формулата:
:<math>V=\frac{B.h}{3}</math>,

където '''<math>{B}</math>''' е лицето на основата, а '''<math>{h}</math>''' е височината на пирамидата.

'''Обемът''' на триъгълна пирамида ([[тетраедър]]) също може да бъде изчислен по формулата <ref name="hrono1600">Кушнир И. А. – Триумф школьной геометрии, ISBN 966-8174-01-1, 432 стр., К., издат. „Наш час“, 2005.</ref>:
: <math>V = \frac{1}{6} b_{i} l_{i+1} d \sin \varphi,</math>

където <math>b_{i}, l_{i+1}</math> са противоположни (непресичащи се) ръбове, <br><math>d</math> е разстоянието между тях 
(<math>b_{i}</math>⊥<math>d</math>⊥<math>l_{i+1}</math>), <math>\varphi</math> е ъгъл между <math>b_{i}</math> и <math>l_{i+1}</math>.

== Пресечена пирамида ==
Равнина, успоредна на основата на пирамида, отсича от нея пирамида с по-малка височина. Така полученото тяло се нарича [[пресечена пирамида]], а малката отсечена пирамида – ''допълнителна'' пирамида. За лицата на двете основи на пресечената пирамида е изпълнено равенството:
:'''<math>B_1 : B_2 = {h_1}^2 : {h_2}^2 </math>'''.

Околните стени са [[трапец]]и. Пълната повърхнина на пресечена пирамида е сборът от лицата на тези трапеци и лицата на двете основи.

'''Обемът на пресечена пирамида''' с лица на основите <math>B_1</math> и <math>B_2</math> и височина <math>h</math> е
:<math>V = \frac{h}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1 B_2}).</math>

== Разгъната пирамида ==
Развивката е плоска фигура, получена чрез съвместяване на повърхността на геометрично тяло с една равнина (без налагане на стени или други повърхностни елементи един върху друг). При пирамидата се получава чрез разрязване по околните или основни ръбове. Пристъпвайки към изучаване на развивката на повърхностността, препоръчително е тя да се разглежда като гъвкава, неразтеглива плоскост. Някои от повърхнините, представени по този начин, могат да бъдат съвместени с равнина чрез огъване. Освен това, ако отрязък от повърхността може да се съвмести с равнина без прекъсвания и залепвания, тогава такава повърхност се нарича разгъваща се, а получената плоска фигура се нарича нейна развивка.
[[Файл:Piramide-pentagonala.gif|200px|ляво|мини|Разгъване и сгъване на пирамида]]
[[Файл:Развёртка правильной пятиугольной пирамиды.TIF|мини|300px|Развивка на правилна петоъгълна пирамида:<br>
1. в равнината на основата ("звезда").<br>
2. в равнината на една от страничните стени.]]
[[Файл:Net of right pentagonal frustum.png|200px|ляво|мини|Развивка на правилна пресечена пирамида]]
{{clear}}
== Свойства ==
{{раздел-мъниче}}

=== При равни околни ръбове ===

=== При еднакъв наклон на околните стени ===

=== Правилна пирамида ===

== Описани и вписани тела ==
За пирамидите могат да съществуват вписани и описани геометрични тела при определени условия. Необходимите и достатъчни условия (НДУ) за това са формулирани от теореми.

=== [[Сфера]] ===
* Сферата се нарича '''описана''' около пирамидата, ако върховете на пирамидата лежат на повърхността на сферата.<br>
:'''Теорема 1''': Около пирамида може да бъде '''описана''' сфера, само когато основата на пирамидата е [[многоъгълник]], около който може да се опише [[окръжност]] (НДУ). <ref>Саакян С. М., Бутузов В. Ф. – Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя, 4-е дораб. изд., 248 стр., ISBN 978-5-09-016554-9, серия „Математика и информатика“, М., изд. „Просвещение“, 2010.</ref> <br>Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема следва, че една сфера може да бъде описана както за всяка триъгълна, така и за всяка правилна пирамида.
[[Файл:Сфера вокруг пирамиды.tiff|thumb|left|280px|Описана сфера около правилна пирамида:<br>SD — височина на пирамидата.<br>AD — радиусът на описаната окръжност около основата.<br>B — среда на страничния ръб.<br>C — точка на пресичане на равнините, перпендикулярни на околните ръбове през средите им.<br>AC=CS — радиус на описаната сфера около пирамидата.]]
[[Файл:Сфера вписана в пирамиду.TIF|thumb|right|300px|Вписана сфера в правилна пирамида:<br>D — център на основата<br>SF — апотема<br>ASD — ъглополовяща равнина между страничните стени<br>BCE — ъглополовяща равнина между основата и страничната стена<br>С — пресечна точка на всички ъглополовящи равнини<br>CK=CD — радиус на вписаната сфера в пирамидата.]]{{clear}}
* '''Теорема 2''': Сфера може да бъде '''вписана''' в пирамида, когато [[симетрала|симетралните]] равнини на вътрешните [[двустенен ъгъл|двустенни ъгли]] на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

=== [[Конус]] ===
* Конусът се нарича '''описан''' около пирамида, когато върховете им съвпадат и основата му е описана около основата на пирамидата.<br> 
:'''Теорема 3''': Около пирамида може да се опише конус само когато всички странични ръбове на пирамидата са равни (необходимо и достатъчно условие).
* Конусът се нарича '''вписан''' в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата му е вписана в основата на пирамидата.<br> 
:'''Теорема 4''': В пирамида може да се впише конус само когато апотемите на пирамидата са равни (необходимо и достатъчно условие); <ref>Погорелов А. В. – Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений, 8-е издание, ISBN 978-5-09-019708-3, 175 стр., тираж 60000, М., „Просвещение“, 2008.</ref>

* Височините на вписани и описани конуси и пирамиди са равни.

=== [[Цилиндър]] ===
* Цилиндърът се нарича '''описан''' около пирамидата, ако върхът на пирамидата лежи на една от неговите основи, а другата му основа е описана около основата на пирамидата.<br>
:'''Теорема 5''': Около пирамида може да се опише цилиндър само когато около основата на пирамидата има описан многоъгълник (необходимо и достатъчно условие).

* Цилиндърът се нарича '''вписан''' в пирамида, ако едната му основа съвпада с обиколката на равнина, вписана в сечението на пирамидата, успоредно на основата, а другата основа принадлежи на основата на пирамидата.

=== [[Призма]] ===
Описаната призма около пирамида може да има с нея обща стена или само общи върхове:
[[Файл:Pirmaide zuzena.gif|250px|ляво|мини|Правилна квадратна пирамида, вписана в квадратен паралелепипед]]
[[Файл:Ravnogrannyj-tetraedr.svg|250px|мини|Равностенен неправилен тетраедър с описан правоъгълен паралелепипед]] {{clear}}
:'''Теорема 6''': Ако в <math>n</math>-ъгълна пирамида е '''вписана''' права <math>n</math>-ъгълна призма, на която върховете на горната основа принадлежат към страничните ръбове на пирамидата, тогава съотношението на площта на основата на пирамидата към площта на основата на правата призма с най-големия обем винаги е <math>\frac{9}{4}</math>.

{{Commonscat|Pyramids (geometry)}}
== Вижте също ==
* [[Многостен]]
* [[Конус]]
* [[Призма]]

== Източници ==
<references />

[[Категория:Пирамиди (геометрия)|Многостени]]
[[Категория:Многостени]]