Преглед на кода на Непрекъснато уейвлет преобразуване

В [[математика]]та, '''непрекъснато уейвлет преобразуване''' (CWT) се ползва за разлагане на непрекъсната функция по [[уейвлет]]и. За разлика от [[Преобразование на Фурие|преобразованието на Фурие]], непрекъснатото уейвлет преобразуване осигурява възможност за построяване на [[време-честотно представяне]] на някакъв сигнал, при което се достига много добро локализиране и по време, и по честота. Непрекъснатото уейвлет преобразуване на една функция <math>x(t)</math> за мащаб или скала (a>0) <math>a\in\mathbb{R^{+*}}</math> и за коефициент на транслация <math>b\in\mathbb{R}</math> се представя чрез следния интеграл:

:<math>X_w(a,b)=|a|^{-1/2} \int dtx(t)\overline\psi\left(\frac{t-b}{a}\right) </math>,
където <math>\psi(t)</math> е непрекъсната, и в областта на времето, и в областта на честотата функция, наричана уейвлет майка (матерински уейвлет), като чертата отгоре означава [[Комплексно число|комплексно спрягане]]. Основната цел на уейвлета майка е да осигури функция източник за генериране на дъщерни уейвлети, които всъщност са транслирани и мащабирани версии на уейвлета майка. За да се възстанови оригиналният сигнал <math>x(t)</math> може да бъде използвано следното обратно непрекъснато уейвлет преобразуване (първа форма).

:<math>x(t)=C_\psi^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} X_w(a,b)\frac{1}{|a|^{1/2}}\tilde\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)\, db\ \frac{da}{a^2}</math>

<math>\tilde\psi(t)</math> е [[дуална уейвлет функция]] на <math>\psi(t)</math> и
:<math>C_\psi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\overline\hat{\psi}(\omega)\hat{\tilde\psi}(\omega)}{|\omega|}\, d\omega</math>
е константа на допустимост и където <math>\hat{\psi}</math> означава [[преобразование на Фурие]] от <math>\psi </math>. В някои случаи <math>\tilde\psi(t)=\psi(t)</math> и тогава константата на допустимост става:
:<math>C_\psi = \int_{-\infty}^{+\infty}
 \frac{\left| \hat{\psi}(\omega) \right|^2}{\left| \omega \right|} d\omega
</math>
Обикновено тази константа се нарича уейвлет константа за допустимост. Уейвлет, чиято константа за допустимост удовлетворява
:<math>0<C_\psi <\infty</math>
се нарича допустим уейвлет. Допустимият уейвлет предполага, че <math>\hat{\psi}(0) = 0</math>, така че допустимият уейвлет трябва да има интеграл нула. За възстановяване на оригиналната функция (сигнал) <math>x(t)</math>, може да се използва и следното обратно непрекъснато уейвлет преобразуване (втора форма)
:<math>x(t)=\frac{1}{2\pi\overline\hat{\psi}(1)}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}X_w(a,b)\exp\left(i\frac{t-b}{a}\right)\, db\ da</math>.

При това обратно преобразуване се предполага, че уейвлетът трябва да бъде определен като
:<math>\psi(t)=w(t)\exp(it) </math>,
където <math>w(t)</math> е прозорец. Така дефинирания уейвлет може да бъде наречен анализиращ уейвлет, защото допуска време-честотен анализ. За даден анализиращ уейвлет не е необходимо да бъде допустим уейвлет.

== Коефициент на мащаба ==
Коефициентът на мащаба <math>a</math> разтяга или свива сигнала. Когато коефициентът на мащаб е относително малък, сигналът е по-свит (по-концентриран), което от своя страна води до получаване на по-детайлна графика. Все пак, налице е този недостатък, че ниският коефициент на мащаба не е за цялата продължителност на сигнала. От друга страна, когато коефициентът на мащаб е висок, сигналът се разпъва, което означава, че получената графика ще бъде представена с по-ниска детайлност. Но това продължава за цялата продължителност на сигнала.

== Свойства на непрекъснатото уейвлет преобразуване ==
По определение непрекъснатото уейвлет преобразуване е [[конволюция]] между последователността от входните данни и набора от функции, генерирани от уейвлета-майка. Конволюцията може да се пресметне с помощта на алгоритъма за бързо преобразуване на Фурие [[БПФ]] (FFT). Обикноквено, функцията на изхода, <math>X_w(a,b)</math>, т.е. след конволюцията ще приема стойности в реалната област, освен в случаите когато уейвлетът майка е комплексна функция. Когато уейвлетът майка е комплекснозначна, тогава след непрекъснато уейвлет преобразуване на функцията ще се получи комплекснозначна функция. Спектралната плътност на мощността (енергийният спектър) на непрекъснатото уейвлет преобразуване може да се представи като <math>|X_w(a,b)|^2</math>.

== Приложения на уейвлет преобразуването ==
Едно от най-често срещаните приложениия на уейвлет преобразуването е [[Компресиране на изображения|компресирането на изображения]]. Предимството на използването на уейвлет базирано кодиране при компресирането на изображения е това, че то осигурява съществено подобряване на качеството на картината при по-високи нива на компресиране в сравнение с традиционните техники. Тъй като уейвлет трансформацията има способността да разлага сложна информация и шаблони (петърни) в елементарни форми, то тя често се ползва при акустичната обработка и в областта на разпознаването на образи. Уейвлет преобразуванията могат да се прилагат и в следните научноизследователски области: откриване на ръбове и ъгли, решаване на частни диференциални уравнения, откриване на преходни процеси, проектиране на филтри, анализ на [[Електрокардиограма|електрокардиограми]] (ЕКГ-анализ), анализ на текстури, анализ на бизнес информация, анализ на походката.

Непрекъснатото уейвлет преобразуване (CWT) е много ефективно при определянето на коефициента на затихване (коефициента на демпфиране) в колебателните сигнали (например при идентификация на затихване, демпфиране в динамичните системи). CWT е също така много устойчиво на наличието на шум в сигнала.<ref>Slavic, J and Simonovski, I and M. Boltezar, [http://lab.fs.uni-lj.si/ladisk/?what=abstract&ID=11 Damping identification using a continuous wavelet transform: application to real data]</ref>

== Източници ==
<references />
* Ingrid Daubechies, ''Ten Lectures on Wavelets'', Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2

[[Категория:Математически функции]]
[[Категория:Функционален анализ]]