Преглед на кода на Метод на крайните елементи

{{без източници}}
[[Файл:FEM example of 2D solution.png|мини|Решение в двуизмерно пространство на уравнение в магнетостатиката, получено чрез метода на крайните елементи. Кривите показват посоката на полето, а цветът интензитета му.]]
[[Файл:Example of 2D mesh.png|мини|Мрежата, необходима на метода, използвана за горното изображение (забелязваме, че мрежата е по-сгъстена около зоната, която ни интересува)]]
[[Файл:FEM car crash1.jpg|мини|Числена симулация на сблъсък на кола в стена: тук мрежата е нарисувана върху колата.]]
[[Файл:Zhukovskii profile by NASA.gif|мини|Профил на самолетно крило ([[Профил на Жуковски]]), изчислен с метода на крайните елементи]]

В [[Числен анализ|числения анализ]], '''методът на крайните елементи''' е удобен инструмент за числено решаване на [[Частно диференциално уравнение|частни диференциални уравнения]]. Такива уравнения често описват [[динамика]]та на разнообразни [[механика|механични]], [[термодинамика|термодинамични]], [[акустика|акустични]] и други физични системи.

По-конкретно, този метод позволява да се моделира числено поведението на сложни системи, при условие че се разглеждат като непрекъснати среди и динамиката им се описва с линейни частни диференциални уравнения: например, движението на [[струна]], фиксирана за един от краищата си, динамиката на [[флуид]], връхлитащ с голяма скорост препятствие, деформация на метални структури и др.

== Въведение ==
Методът на крайните елементи е част от инструментариума на [[приложна математика|приложната математика]]. Целта му е чрез методи, пренесени от [[вариационно смятане|вариационното смятане]], да се изработи дискретен [[алгоритъм]], чрез който да бъде намерено приближено решение на частно диференциално уравнение (ЧДУ) в [[компактен интервал]] с дадени гранични условия. В зависимост от дадени граничните условия, задачата се нарича Проблем на [[Дирихле]] (дадени са стойностите на функцията на границите на интервала), на [[Карл Нюман|Нюман]] (когато са дадени стойностите на градиента на функцията) или на Робин (когато е дадена връзка между градиента и стойностите на функцията).

Както и други методи за приближено решаване на ЧДУ и при метода на крайните елементи трябва да се отделя особено внимание на евентуалните проблеми, свързани с [[дискретизация]]та на интервала, в който се търси решението, като:

* Съществуването на решение
* Единственост на откритото решение
* Стабилност
* Сходимост
* и най-вече, изработване на критерии за сравнение на полученото чрез [[дискретизация]] решение с пълното решение.

== Основен принцип ==
Методът на крайните елементи позволява да се реши, чрез [[дискретизация]], частно диференциално уравнение, за което се търси достатъчно „благонадеждно“ решение. В общия случай, това уравнение свързва частните производни да дадена функция ''u'', дефинирана в даден интервал. За съществуването на решение на проблема и за неговата единственост е необходимо да са дадени граничните условия.

При дискретизацията се използва подходящо пространство от тестови функции, в което решението, което предстои да бъде намерено на ''дискретизирания'' проблем с, е точно. Това изисква дефинирането на мрежа, която да раздробява интервала на малки фрагменти, т.нар. ''крайни елементи''.

Тези фрагменти могат да са с произволна форма, но трябва да покриват изцяло разглеждания интервал. Обикновено, крайните елементи са с триъгълна или квадратна форма. Тази мрежа е асоциирана с функционален [[базис]] ''b'', върху който проектираме решението ''u''.

В този смисъл, след въвеждане на граничните условия, се стига до [[дискретизация]] на първоначалната задача. Решението на този алгебричен проблем, ако съществува, е единствено, дава координатите на приближеното решение на началното ЧДУ в даден базис ''b''.

Веднъж след като решението е намерено, остава да се изследват характеристиките на метода, най-вече единствеността на евентуалното решение и числената му стабилност. От особена важност е да се намери метод за оценка на допуснатата грешка и да се докаже, че изработеният алгоритъм дава сходящо решение, т.е. да се покаже, че грешката клони към 0, когато параметърът на решетката (типичната дължина на страната на крайния елемент) клони към 0.

В случаите на линейни ЧДУ със симетрични оператори (като [[Оператор на Лаплас|Δ]]), става въпрос за решаване на линейно алгебрично уравнение.

== Прост пример за задача, решима с метода на крайните елементи ==
Нека P1 е ''' едноизмерна ''' задача, към която ще приложим метода на крайните елементи. Условието е да се намери такава функция u, която да е решение на уравнението с дадени гранични условия:
:<math>\mbox{P1 }:\begin{cases}
u''=f \mbox{ in } (0,1), \\
u(0)=u(1)=0,
\end{cases}</math>
където <math>f</math> е дадена (позната) функция, а <math>u</math> е непозната функция от променливата <math>x</math>, като <math>u''</math> е втората производна на <math>u</math> по <math>x</math>.

Същата задача, но за '''две измерения''' (Задача на Дирихле), се записва:
:<math>\mbox{P2 }:\begin{cases}
u_{xx}+u_{yy}=f & \mbox{ in } \Omega, \\
u=0 & \mbox{ on } \partial \Omega,
\end{cases}</math>

където <math>\Omega</math> е даден свързан отворен интервал от равнината <math>(x,y)</math>, а границата на <math>\partial \Omega</math> е „любезна“ фунция (гладко [[многообразие]] или [[многоъгълник]]) а <math>u_{xx}</math> и <math>u_{yy}</math> са вторите производни на u по <math>x</math> и <math>y</math>, съответно.

Задачата P1 може да се реши директно, като се интегрира диференциалното уравнение. Но това е възможно само за задачи в едно измерение и не е приложимо при уравнения от типа <math>u+u''=f</math>. За тази цел е разработен и метода на крайните елементи, при който се прибягва до използването на компютри за числено решаване на уравнения от такъв вид.

== Вижте също ==
* [[ANSYS (софтуер)]]

[[Категория:Числени методи]]