Преглед на кода на Математика

{{експерт}}
{{Дописване}}
{{обработка|форматиране, правопис, препратки}}

[[Файл:Pure-mathematics-formulæ-blackboard.jpg|мини|Формули]]
[[File:Euclid.jpg|thumb|Гръцкият математик [[Евклид]] (държащ в ръцете си [[пергел]]) и неговите ученици. Това е изображение от 1509 – 1511, детайл от фреската [[Атинската школа (картина)|Атинската школа]] на ренесансовия художник [[Рафаел]]о.<ref>Уточнение: В действителност няма запазено описание на външния вид на [[Евклид]] от [[Древна Гърция]], в този смисъл изображението на Евклид в това и други произведения на изкуството зависи почти изцяло от въображението на художника.</ref>]]

'''Математика''' ({{lang|grc|μάθημα}}, ''матема'' – знание, изучаване, учене) е изучаването на области като [[количество|количествата]] (т.е. [[числа|теория на числата]]) <ref name="OED">Определение за „математика“ от Оксфордския речник на английския език, {{икона|en}} {{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |work=Oxford English Dictionary |year=2012 |accessdate= 16 юни 2012 |quote= Науката за пространството, числата, количествата и разпределението в [[комбинаторика]]та, чиито методи включват и използват логическото заключение, и използват обикновено символни нотации, и които включват геометрия, аритметика, алгебра и математически анализ. // The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.|archive-url = http://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date = 2019-11-16}}</ref>, математически – абстрактни структури (включително пространствените [[структура|структури]]) <ref name="Kneebone">{{cite book |title=Математическа логика и основи на математиката: Въвеждащо изследване // Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |pages=[http://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 4] |isbn=0-486-41712-3 |quote= Математиката е, просто казано, изучаването на абстрактни структури или формални модели на свързвания или конективност // Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref>, типовете [[пространство|физично пространство]] <ref name=OED/>, извършването на [[изчисления]] и [[математически анализ]]. <ref name="LaTorre">{{cite book |title= Концепции от математическите изчисления: неформален подход към математиката на промяната // Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |author=LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris |year=2011 |pages=[http://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 2] |isbn=1-4390-4957-2 |quote= Математическите изчисления изследват промяната – как нещата се променят, но и колко бързо се променят. // Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title= Приложна математика // Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=[http://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 2.10] |isbn=0-07-066753-5 |quote= Математическото изследване на промяната, движението и растежа, както и на разпада, се нарича математически изчисления. // The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title= Покана за математика: от математическите състезания до изследванията в математиката // An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |authorlink=Гюнтер М. Циглер |year=2011 |pages=[http://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 7] |isbn=3-642-19532-6 |chapter=Какво е математика? // What Is Mathematics?}}</ref>. Сред математиците и [[философ]]ите съществуват най-разнообразни мнения по въпроса какво изучава математиката, тоест за областта на математиката, от което произтичат [[дефиниции за математика|различните определения на тази наука]] <ref name="Mura">{{cite journal |title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences |author=Mura, Roberta |journal=Educational Studies in Mathematics |date= декември 1993 |volume=25 |issue=4 |pages=[http://www.jstor.org/stable/10.2307/3482762 375 – 385] |ref=harv}}</ref><ref name="Runge">{{cite book |title= [[Ирис Рунге]]: Живот на пресечната точка на математика, наука и индустрия // Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry |publisher=Springer |author=Tobies, Renate and Helmut Neunzert |year=2012 |pages=[http://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 9] |isbn=3-0348-0229-3 |quote= На първо място е необходимо да се попита, какво се разбира под ''математика'' въобще. Знаменитите учени са дебатирали по този въпрос до посиняване и все така няма постигнат консенсус за това дали математиката е част от [[естествени науки|естествените науки]], клон на [[хуманитаристика]]та или форма на изкуство. // It is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.}}</ref>. Няма приета дефиниция на математиката.

Математиците търсят определени „образци на шаблони“ и за да формулират нови теореми, аксиоми и типове [[математическо доказателство|математически доказателства]]. Когато откритите и изучени математически структури са базирани на добри (идеални, репетативни или количествено обозрими) модели, може да се използва математическо доказателство при създаването на [[Прогноза (наука)|научни прогнози и предвиждания]] (predictions) за определени теми, области или обекти.

Интересни дискусии и аргументи първо се появяват в древногръцката математика (а преди това, тоест още от предисторията се използва за изчисляване, измерване и за изучаване на формите и движенията на физическите обекти чрез дедуктивни разсъждения и абстракции), а по-късно математиката се развива в доста сложна и многостранна наука за абстрактни количествени и качествени връзки, форми и структури, с нейните [[Основи на математиката|аксиоматични системи от късния XIX век]], като вече се приема за обичайно да се разглеждат математическите изследвания като установяване на математическата и научна истината чрез строги дедукции с използване на избрани аксиоми, научни дефиниции и определения.

Математиката е от съществено значение в много области, включително [[естествени науки]], [[инженерство]], [[медицина]], [[финанси]] и [[социални науки]]. [[Приложна математика]] доведе до изцяло нови математически дисциплини, като [[статистика]] и [[теория на игрите]]. Математиците се занимават с [[чиста математика]] (математика заради себе си), без да имат предвид каквото и да било приложение, но практическите приложения за това, което започна като чиста математика, често се откриват по-късно. <ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, p. 4 „A few complain that the computer program can't be verified properly“, (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref> <ref name=wigner1960>{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1 – 14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all  |issn=0010-3640 }}</ref>

== Дефиниции ==
{{Спорна неутралност-раздел|date=4 юни 2015}}
{{основна|Дефиниции за математика}}
[[Аристотел]] определя математиката като „наука за количеството“. Тази дефиниция е доминираща до XVIII век. <ref>{{икона|en}} James Franklin, „Aristotelian Realism“ (''Аристотеловият реализъм'') в сп. ''Philosophy of Mathematics'' (''Философия на математиката''), ed. A.D. Irvine, p. 104. Elsevier (2009).</ref> През XIX век в математиката все по-дълбоко навлиза формализмът и се появяват абстрактни раздели като [[теория на групите|теорията на групите]] и [[проективна геометрия|проективната геометрия]], които нямат пряка връзка с измерването на количества. Възникналите клонове на математиката не се вместват в класическото определение, затова математици и философи предлагат различни нови дефиниции. <ref>{{икона|en}} Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. // ''История на математиката''. American Mathematical Society (преиздадена 1991). pp. 285 – 6</ref> Някои от тези дефиниции наблягат на дедуктивния характер на математиката, някои – на нейната абстрактност, а други конкретизират определени области от математиката. Понастоящем няма всеобщо приета дефиниция за математика; разминават се мненията дори на професионални математици. <ref name="Mura"/> При все че математиката е строга наука, тя има и естетическа страна, която я сродява с изкуството. Това разнообразие кара много математици да преустановят всякакви опити за дефиниране на математиката, тъй като я намират за недефинируема, използвайки израза: „Математиката е това, което [[математик|математиците]] правят.“ <ref name="Mura"/>

Математиката е тясно свързана с изкуството. Само чрез познаване на пропорции, перспектива и симетрия може се създаде произведение на изкуството. Пример за това е гениалният [[Леонардо да Винчи]], който се е занимавал с математическо систематизиране на природата. Показателна е скицата му [[Витрувиански човек]], където описва пропорциите в човешкото тяло, както и терминът, който въвежда – [[Златно сечение]].

== Етимология ==
Думата ''матема̀тика'' произлиза от [[старогръцки език|старогръцката]] дума μάθημα (''ма̀тема''), която означава „наука, знание, познание“, но още в [[Древна Гърция]] се използва и в смисъла на „математическа наука“. Прилагателното μαθηματικός (''математикòс'') означава „свързан с учението“, но също и „математически“. До около XVII век в Европа под „математика“ повече се е разбирало това, което днес наричаме [[астрология]], но с повишаването на научната ѝ приложимост тя започва да се разглежда самостойно, като дори след време [[Гаус]] (1777 – 1855 г.) я нарича „кралицата на всички науки“.

== История и развитие ==

=== Възникване ===
Известни елементарни представи за количеството и за пространствените форми вероятно са били достояние на човешкия род още от неговата поява. Най-простите операции от този тип (сравняване на разстояния, установяване на липса на предмет сред малка група от предмети) са по силите дори на висшите животни. В процеса на развитие на човека тези първоначално прости представи са се обогатявали и усложнявали. На даден етап е възникнала нуждата от оформянето им в понятия и подреждането на натрупаните знания в стройна система.

Математиката като наука възниква с появата на [[цивилизация|цивилизования]] начин на живот през IV – III хил. пр. Хр. Но дори преди този период хората са имали нужда да отброяват разни неща, което съдим по намерени при разкопки сметала, направени от кости.

Първата по-сериозна математика се развива в [[Древен Египет]], [[Месопотамия]] и в долината на [[Инд]]. На тези места сезонното поведение на големите реки [[Нил]], [[Тигър (река)|Тигър]] и [[Ефрат]] и [[Инд]] позволява развитието на уседнал, [[земеделие|земеделски]] начин на живот. Това обаче подтиква развитието на [[астрономия]]та, за да се следи времето и хората да знаят кога да засаждат и прибират реколтата, на [[аритметика]]та и на [[геометрия]]та, които са били нужни за целите на данъчното облагане, строителството, а по-късно намират приложение и във военното дело и [[изкуство]]то. Основен източник на нашите знания за [[вавилон]]ската математика са глинените клинописни плочки, а за математиката на Древен Египет – папирусът на Ринд.

===Математиката през Античността и Средновековието===
[[Файл:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|мини|250px|Папирусът на Ринд]]

По време на египетско-месопотамския период се развиват особено аритметиката, астрономията и елементарната геометрия. Основен проблем през този период е, че повечето математически резултати се използват без доказателства. Първият систематично издържан подход към математиката прилагат древните гърци. Тяхна заслуга е схващането да се използва система от очевидни истини, наричани [[аксиома|аксиоми]], въз основа на които се доказва верността на по-сложни твърдения, наричани [[теорема|теореми]]. Древните гърци развиват значително [[геометрия]]та, [[теория на числата|теорията на числата]], [[комбинаторика]]та и диофантовата [[алгебра]]. Най-важни трудове от тази епоха са съчинението „[[Елементи]]“ на [[Евклид]] от [[Александрия]] и изследванията на [[Архимед]], който използва в геометрична форма методи на математическия анализ.

С възхода на [[Римска империя|Римската империя]], а по-късно и с нашествията на варварски народи към Европа математиката в елинския свят замира. Центърът на развитие се пренася на Изток — в [[Китай]] и Индия, а по-късно — в ислямския свят. Най-важното нововъведение на тази школа е използването на така наречените [[арабски цифри]] (включително [[нула]]та), които всъщност са изобретени от индийците. Позиционната бройна система значително улеснява пресмятанията. През IX век арабите поставят основите на алгебрата в познатия ни днес вид като наука, която се стреми да решава абстрактни задачи и да създава абстрактни модели на често срещани конкретни математически зависимости.

=== Ренесанс и Просвещение ===
През XIV – XV век в Европа се развиват [[търговия]]та и [[икономика]]та, което дава тласък на изкуството, философията и предприемачеството. Образува се средна класа и отслабва влиянието на Църквата върху обществото. Всичко това оказва влияние върху развитието на науката, в частност математиката.

=== Големите научни открития ===
През XVI – XVII век се развива астрономията, описано е движението на видимите по онова време [[Слънчева система|планети]], а [[Декарт]] полага основите на аналитичната геометрия, чрез която орбитите на планетите били изразени с математически формули. По-късно [[Нютон]] и [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] поставят основите на диференциалното и интегралното смятане, Нютон формулира основните [[Закони на Нютон|закони на механиката]] и чрез тях дава математическо обяснение на движенията на планетите. Този напредък в разбирането на [[Вселена]]та с помощта на логически издържан математически апарат спомага за развитието на математиката, физиката и техниката през следващите векове.

=== Индустриалната революция ===
През XVIII и началото на XIX век са положени основите на функционалния анализ (от Ойлер и братята Бернули), теорията на групите (от [[Нилс Абел|Абел]] и [[Еварист Галоа|Галоа]]), [[Вариационно смятане|вариационното смятане]] (от [[Ойлер]] и [[Лагранж]]), хармоничния анализ (от [[Жозеф Фурие|Фурие]]), статистиката и теорията на вероятностите (от [[Лаплас]]), диференциалната геометрия (от [[Бернхард Риман|Риман]] и [[Гаус|Гаус)]], неевклидовата геометрия (от [[Лобачевски]] и Бояй), топологията (от [[Анри Поанкаре|Поанкаре]]) и др.

=== Съвременна математика ===
==== XIX век ====
[[Файл:Carl Friedrich Gauss.jpg|мини|120px|[[Карл Фридрих Гаус]].]]

През XIX век математиката става все по-абстрактна. Това е времето, в което живее и работи [[Карл Фридрих Гаус]] (1777 – 1855). Като оставим настрана множеството негови приноси към науката, в [[чиста математика|чистата математика]] той прави революционната работа по [[Функция|функции]] от [[Комплексен анализ|комплексни променливи]] в [[геометрия]]та и върху конвергенцията на [[числов ред|числови редове]]. Той дава първото задоволително доказателство на [[Основна теорема на алгебрата|Основната теорема на алгебрата]] и на [[квадратичния закон за реципрочност]].

През този век са развити две форми на [[неевклидова геометрия]], при които [[Аксиома за успоредните прави|постулатът за успоредност]] не е валиден.

Заедно с откритията в [[електроника]]та, [[машиностроене]]то и медицината този научен потенциал води до забележителното технологично развитие през XIX – XX век, но и позволява практическото осъществяване на ужаса на двете световни войни.

==== XX век ====

Влияние върху развитието на математиката през XX век оказва докладът на [[Давид Хилберт]] от [[1900]] година, в който той формулира [[Хилбертови проблеми|23 нерешени проблема]]. Част от тях са решени. През [[1929]] г. [[Андрей Николаевич Колмогоров]] предлага аксиоматизация на [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]]. Важни резултати в математическата логика и постига [[Курт Гьодел]]. В края на века е доказана и [[Велика теорема на Ферма|Великата теорема на Ферма]].

След появата на компютъра, [[интернет]] и възможностите за съвместна работа на огромен брой учени, в развитието на математиката все повече се разчита на изчислителната мощ на съвременните компютри и на колективната работа в екип. Така например през 1976 е доказана с помощта на компютър теоремата за оцветяване на равнинна карта само с четири цвята, а в периода 1995 – 2004 екип от повече от 100 учени успяват да направят [[класификация на крайните прости групи]].

==== XXI век ====
[[File:Ybc7289-bw.jpg|thumb|left|Снимка в черно и бяло на Йейлска вавилонска колекция от таблети (от Глина / на английски: Clay) 1800 – 1600 пре.н.е., показвайки вавилонска апроксимизация на корен квадратен от 2 в контекста на [[питагорова теорема|питагоровата теорема]].]]

През 2000 [[Институт Клей за математика|Математическият институт „Клей“]] обявява седем [[Награди за решения на задачи на хилядолетиято]] (за решаването на която и да е от тях институтът предлага по 1 млн. долара), и през 2003 е доказана [[Хипотеза на Поанкаре|Хипотезата на Поанкаре]] от [[Григорий Перелман]] (който отказва да приеме наградата, тъй като е критичен към статуквото в математиката).

Днес повечето списания по математика имат своите онлайн версии и издания, освен хартиените издания, а много списания започват да бъдат издавани само онлайн. Има и засилен стремеж за свободно публикуване (под свободен лиценз), за първи път популяризирано от [[arXiv]].

[[Файл:Stereographic projection in 3D.svg|мини|Геометрична проекция на/върху статично пространство с идеална сфера]]
Актуална тема в математиката е приложението на [[геометрична алгебра|геометричната алгебра]] и [[Синтетична геометрия|синтетичната геометрия]] за химичен синтез (виж [[физикохимия]]).

== Математически език и подход на разсъждаване ==
=== Език на математиката ===
{{основна|Математическа нотация}}
Езикът на математиката се развива заедно със самата наука. Така например древногръцката математика използва [[дума|думи]] и [[изречение|изречения]], за да изкаже каквото и да е математическо твърдение. Впоследствие обаче индо-арабската школа въвежда използването на [[символ]]и, които се съчетават в математични изрази, наричани [[формула|формули]]. Към началото на XXI век вече се е установило като правило, че с буквите от началото на [[латиница]]та се обозначават параметри (например коефициентите на [[полином]] или страните на [[многоъгълник]]), а с буквите от края на латиницата – неизвестни величини; гръцките букви се използват в геометрията за обозначаване на [[ъгъл|ъгли]], отношения и др. Тези неписани правила са въведени през XVIII век от [[Ойлер]].

Символи се използват и за да заместват думи или цели изрази. Например символът ∈ в теорията на множествата означава „принадлежи на“, ∃ замества „съществува“, ⇒ ще рече „верността на предходното твърдение е предпоставка за верността на последвалото“. Повечето от символите, с които се означават различни операции и функции са дадени в [[Таблица на математически символи]].

Математиката борави с точно въведени понятия, поради което често науките, които почиват върху нейните основи, се наричат точни науки. Например в математиката понятия като [[множество]], клас, [[Група (алгебра)|група]], [[Категория (математика)|категория]], които в ежедневния език може да се използват и като синоними, имат свое „строго“, различно значение.

=== Математически подход на работа ===
Математиците използват системи от абстракции и аксиоми, чрез които съставят научни догадки, които после се стремят да докажат, следвайки правилата на логиката. Съвкупност от причинно-следствено обвързани доказани твърдения, които образуват някаква „научна цялост“, се наричат [[теория]].

Всяка теория обикновено започва с изброяване на абстрактни понятия и позволени операции. Абстракциите са идеята за предмети, с които може да се извършват определен набор от операции, но които нямат конкретна реална стойност, или за действия, които теоретично може да се изпълнят. Примерно, числата са абстракция за брой – числото 7 обозначава количество, което се повтаря седем пъти, независимо дали говорим за 7 дни в седмицата, 7 круши в кошницата или 7 метра дължина. Параметрите са по-сложна абстракции за числова стойност, дължина на отсечка или друго количество (в зависимост от ситуацията), с които могат да се извършват аритметични операции. [[Събиране]]то е пример за абстрактна операция с числа или параметри, която мисловно замества евентуалното реално увеличаване в количеството круши или удължаването на дадена действителна отсечка.

След това е нужно да се посочи система от [[аксиома|аксиоми]]. Това са „самодоказващи се правила“, за които се прави уговорката, че са верни по допускане (без доказателство). Това са първичните закони, които показват какви логически действия имаме право да използваме в съответната теория. Така например a + b = b + a е аксиома, известна като [[комутативност]]. Тя е едно от основните правила на елементарната аритметика. Освен ако не допуснем като аксиоми по-прости правила, това свойство няма как да се докаже и се приема като даденост. (Това, разбира се, не значи, че тази аксиома е нужно да важи навсякъде извън рамките на аритметиката на числата.)

Когато бъде посочено с какви обекти се работи, какви операции могат да се извършват с тях и какви основни закони трябва да спазват, в развитието на математичната теория се преминава към съставяне на научни хипотези. Те може да имат както построителен, така и качествен характер. За доказателството им се използват дадените аксиоми, както и по-рано доказани твърдения, като целта е да не се получават логически противоречия. Ако такива се появят, значи аксиоматиката и наборът описани операции са логически неиздържани. Един от типичните видове логически противоречия са [[парадокс]]ите – твърдения, за които от верността им следва факт, който им противоречи, а от погрешността им следва факт, който ги потвърждава. Един от най-известните парадокси е [[Парадокс на Ръсел|този на Ръсел]], който се състои в това, че съвкупността ''M'' ≔ {''A''|''A'' ∉ ''A''} няма как да е множество, иначе ''M'' ∈ ''M'' ⇔ ''M'' ∉ ''M''. Той е в основата на развитието на аксиоматичната теория на множествата.

В миналото математиците са се надявали да съставят пълна (крайна) система от абстракции и аксиоми, чрез които да може да се докаже всяка математическа истина. Това е основната цел на програмата на [[Давид Хилберт|Хилберт]]. Впоследствие обаче [[Курт Гьодел|Гьодел]] доказва, че такава формална система не съществува. Това твърдение е известно като теорема за непълнотата. В основата на доказателството лежи построяването на твърдение, което е истинно в теорията на числата, но не следва от нейните аксиоми. Този недостатък е неотстраним: както и да съставим непротиворечив краен списък от аксиоми на аритметиката, винаги ще бъде възможно да се състави вярно, но недоказуемо твърдение.

=== Опитно проверяване на теория ===
Нерядко, особено в приложната математика, се налага да се провери дали логически издържана и привидно пълна теория описва достатъчно добре даден реален обект. За целта се правят научни опити или (компютърни) симулации.

== Области на математиката ==
[[Файл:Ponto de sela, existem duas direções em que o estado evolui em linha reta,num dos casos afastando-se da origem e no outro caso aproximandos-se..png|мини|Една от областите на математиката са [[диференциални уравнения|диференциалните уравнения]]]]
Математиката най-общо може да се раздели на изследване на количествата, структурите, пространството и измененията, съответно предмет на [[аритметика]]та, [[алгебра]]та, [[геометрия]]та и [[математически анализ|анализа]]. В допълнение към тези основни теми има и няколко други подразделения, изследващи връзките между сърцевината на математиката към други научни полета: [[логика]], [[теория на множествата]] ([[основи на математиката]]), към емпиричната математика, която е част от множество науки ([[приложна математика]]) и в последно време в подробното изследване на [[несигурност]]та.

=== Основи и философия на математиката ===
Подобластите на [[Математическа логика|математическата логика]] и [[Теория на множествата|теорията на множествата]] възникват, за да изяснят недвусмислено [[Основи на математиката|строежа и начина на разсъждаване в математиката]]. Математическата логика включва математическото изследване на [[логика]]та и прилагането на формално мислене към останалите области на математиката, а теорията на множествата изучава какво трябва да се разбира под съвкупност от обекти, без да възникват парадокси като този на Ръсел. Тяхната основна задача е да постави математиката в твърда аксиоматична рамка и да изследва последствията от това (доколкото това е възможно). [[Теория на категориите|Теорията на категориите]] разглежда математическите структури и отношенията между тях от най-обобщена абстрактна гледна точка. Тя все още е в процес на развитие.

Исторически тези области на математиката са развити относително късно – в периода около 1900 – 1930.<ref>{{икона|en}} {{cite book | last = Hodgkin | first = Luke Howard | coauthors = Luke Hodgkin | year = 2005 | title = A History of Mathematics | url = https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg_p8m0 | publisher = Oxford University Press | ref = harv}}</ref> По това време няколко принципни спора, като тези за теорията на [[Георг Кантор|Кантор]] и противоречията между [[Лойцен Егбертус Ян Брауер]] и Давид Хилберт, пораждат нуждата от по-строги основи на математиката. Говори се дори за „криза на основите“. Известни разногласия за основите на математиката се запазват и до наши дни.

Съвременната математическа логика се подразделя на [[теория на рекурсията]], [[теория на моделите]] и [[теория на доказателствата]] и е тясно свързана с [[теоретична информатика|теоретичната информатика]].

=== Теория на множествата ===

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
| <math> p \Rightarrow q \,</math>|| [[Файл:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[Файл:Commutative diagram for morphism.svg|96px]]
|-
| [[Математическа логика]] || [[Теория на множествата]] || [[Теория на категориите]] ||
|}


=== Чиста математика ===
Чистата математика се занимава с абстрактни постановки и задачи, които нямат практическа насоченост. Апаратът, който тя развива, има голям обхват на приложимост в различни дялове на науката и живота.

'''Количество'''

Изследването на количествата започва с абстракцията число. Основният пример за такива са обичайните [[Естествено число|естествени]] и [[Цяло число|цели]] числа, с които сме в състояние да изградим [[дискретна математика|дискретната математика]]. Основните операции, които могат да се извършват с числа, се изучава от [[аритметика]]та. Аритметичните свойства на целите числа се изследват по-задълбочено от теорията на числата. Изследването на естествените числа довежда до идеята за [[Трансфинитно число|трансфинитните числа]], с които се дефинира формално безкрайността. Друга гледна точка за безкрайността е отразена в [[Кардинално число|кардиналните числа]], използвани за сравнение на размера на безкрайно големи множества чрез концепцията за [[Мощност на множество|мощност]].

Основен недостатък на целите числа е, че невинаги сме в състояние да [[деление|разделим]] две цели числа едно на друго (без [[остатък]]) и да получим цяло число. За да се превъзмогне този слабост, по-късно са развити [[Рационално число|рационалните числа]]. Те от своя страна са надградени от [[Реално число|реалните числа]], чрез които вече могат да описват [[Непрекъснатост|непрекъснатиструктури]]. Идеята за реалните числа е обобщена от тази за хиперреалните числа, чрез които (с помощта на филтри) може да се изгради [[Производна|диференциалният анализ]] без необходимостта на идеята за [[сходимост]]. Алгебрично реалните числа са надградени от [[Комплексно число|комплексните числа]]. Те са най-малкото числово поле, което е [[Алгебрически затворено поле|алгебрически затворено]]. Комплексните числа също могат да се разширят алгебрически – следващите стъпки в тази насока са [[кватернион]]ите и другите [[Хиперкомплексно число|хиперкомплексни числа]]. При този процес обаче се губят някои аритметични свойства.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| <math>1, 2, 3, ...</math> || <math>... -2, -1, 0, 1, 2, ...</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math>
|-
| [[Естествено число|Естествени числа (ℕ)]]|| [[Цяло число|Цели числа (ℤ)]] || [[Рационално число|Рационални числа (ℚ)]] || [[Реално число|Реални числа (ℝ)]] || [[Комплексно число|Комплексни числа (ℂ)]]
|}

'''Структура'''

Много математически обекти, като числовите множества и [[Функция|функциите]], имат вътрешна структура, проявяваща се при прилагане върху тях на различни [[Математическа операция|операции]] и [[Релация|релации]]. Предмет на математиката е да изучава и ако е възможно, да обобщава, тази структура. [[Комбинаторика]]та например изучава начините, по които обекти се вместват в дадена структура.

Често различни [[математическа структура|математически категории]] проявяват сходни свойства, което дава възможност чрез повишаване на нивото на абстракция да се постулират обобщени аксиоми за цели класове структури, което се прави с цел да се изследват наведнъж. Така се появяват изследванията на [[Група (алгебра)|групите]], [[Пръстен (алгебра)|пръстените]], [[Поле (алгебра)|полетата]], [[Линейно пространство|векторните пространства]] и други обобщени системи, които са в основата на [[Абстрактна алгебра|абстрактната алгебра]]. Поради силната си обобщеност, абстрактната алгебра често се прилага при привидно несвързани задачи. Например наборът от задачи от Античността, свързани с [[построения с линийка и пергел|построението с линийка и пергел]] на разни фигури, в крайна сметка са решени с помощта на [[Теория на Галоа|теорията на Галоа]]. Друг пример за структурна теория е [[Линейна алгебра|линейната алгебра]], която представлява обобщено изследване на линейните пространства, чиито елементи, [[вектори]]те, имат едновременно размер и посока и се използват за моделиране на отношения между точки в пространството.

Проявление на изучаването на математическия строеж е и [[Tеория на представянията|теорията на представянията]], която изследва как елементите на математични структури могат да се представят като [[Линейно преобразование|линейни преобразувания]] на векторни пространства. По този начин може да се опрости изучаването на по-сложни структури, като използваме добре разучените качества на линейната математика, както и могат да се търсят връзки между различни видове структури.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Файл:Elliptic curve simple.svg|96px]] || [[Файл:Rubik's cube.svg|96px]] || [[Файл:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[Файл:Braid-modular-group-cover.svg|96px]]
|-
| [[Комбинаторика]] || [[Теория на числата]] || [[Теория на групите]] || [[Теория на графите]] || [[Алгебра]]
|}

'''Пространство'''

Математическото [[изследване]] на пространството се занимава с абстракциите за положение, отдалеченост, [[повърхнина]], взаимоотношение между обекти и др. То води началото си от геометрията и по-специално от [[Евклидова геометрия|евклидовата]]. Изучаването на пространството често използва математическия апарат от други раздели на математиката. [[Тригонометрия]]та например е клон на геометрията, който разглежда отношенията между страните и [[Ъгъл|ъглите]] на равнинни [[Многоъгълник|многоъгълници]] и обемни [[многостен]]и с помощта на [[Тригонометрична функция|тригонометрични функции]]. По този начин се съставя количествено (числово) описание на пространството. Съвременното изучаване на пространството надгражда тази концепция, като преплитането на числовите и пространствени величини са в основата на [[Аналитична геометрия|аналитичната]], [[Диференциална геометрия|диференциалната]] и [[Алгебрична геометрия|алгебричната]] геометрия. Диференциалната геометрия включва математическия анализ на [[Многообразие|многообразията]] и [[Крива|кривите]], като използва [[Векторен анализ|векторен]] и [[тензорен анализ]]. В центъра на [[Алгебрична геометрия|алгебричната геометрия]] е разглеждането на геометрични обекти като множества от решения на [[Полиномно уравнение|алгебрични]] уравнения, както и изучаването на [[Топологична група|топологичните групи]].

Други съвременни насоки на развитие са многомерните геометрии и [[Неевклидова геометрия|неевклидовите геометрии]], които играят важна роля в [[Математическа физика|математическата физика]]. В последно време все по-голямо приложение намират компютърните технологии, с чиято помощ могат да се извършват пространствени симулации, непосилни някога поради сложността си.

Друга гледна точка към разбирането на пространството предлага [[топология]]та, която е сред най-бързо развиващите се математически области през XX век. При нея интерес представляват повече свързаността и структурното подобие между пространствени обекти, отколкото конкретната им [[Форма (вид)|форма]] или [[размер]]и. Поддялове на топологията са [[обща топология|общата]], [[алгебрична топология|алгебричната]] и [[диференциална топология|диференциалната]] топология. По-конкретни направления са теориите за [[метризуемост]]та или за [[хомотопия]]та, [[Теория на Морс|теорията на Морс]] и др.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
| [[Файл:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[Файл:Sine cosine plot.svg|96px]] || [[Файл:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[Файл:Torus.png|96px]] || [[Файл:Mandel zoom 07 satellite.jpg|96px]]
|-
|[[Геометрия]] || [[Тригонометрия]] || [[Диференциална геометрия]] || [[Топология]] || [[Фрактал|Фрактална геометрия]]
|}

'''Изменение'''

Разбирането и описването на промените е обичаен проблем на [[Природни науки|естествените науки]]. [[Математически анализ|Математическият анализ]] възниква и се развива като способ за неговото разрешаване. Основното средство за постигането на тази цел е концепцията за функциите. Изследването на реалните числа и функциите на реални променливи се нарича [[реален анализ]], а съответната област, занимаваща се с комплексните числа – [[комплексен анализ]]. Много природни явления се свеждат до зависимости между величини и степента на тяхната промяна, които се описват с [[Диференциално уравнение|диференциални уравнения]]. С изменението на цели системи се занимава теорията на стабилността и [[Динамична система|динамичните системи]]. Примери за по-специализирани области на математическия анализ са [[Функционален анализ|функционалният анализ]], който изучава пространствата от функции, обикновено с безкраен брой измерения, и [[Теория на хаоса|теорията на хаоса]], която изследва сложността на динамични системи.

Като цяло математическият анализ служи като апарат за изучаване на другите предмети на математиката и затова е силно преплетен с тях.

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| [[Файл:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[Файл:Vector field.svg|96px]] || [[Файл:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]] || [[Файл:Lorenz attractor.svg|96px]] || [[Файл:Princ_Argument_C1.svg|96px]]
|-
| [[Математически анализ]] || [[Векторен анализ]]|| [[Диференциално уравнение|Диференциални уравнения]] || [[Теория на хаоса]] || [[Комплексен анализ]]
|}

=== Приложна математика ===
{{основна|Приложна математика}}

Приложната математика е приложението и предоставяне на математически методи, чрез които да се решават задачи от други полета на науката или в индустрията.

Тоест приложната математика е свързана с различни дисциплини като физика, инжинерни науки, медицина, бизнес, компютърни науки и индустрия.

Специфично това могат да бъдат [[теоретична информатика]], [[компютърна алгебра]],<ref>Geddes, K. O., Czapor, S. R., & Labahn, G. (1992). Algorithms for computer algebra. Springer Science & Business Media.</ref><ref>Albrecht, R. (2012). Computer algebra: symbolic and algebraic computation (Vol. 4). Springer Science & Business Media.</ref> [[числов анализ]]<ref name="stoer">Stoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introduction to numerical analysis. Springer Science & Business Media.</ref>

Към нея се включват всички математични теории, чиято основна цел е да разрешат точно определени, абстрактни или (неформализирани) неабстрактни задачи. Нерядко в миналото приложни дялове на математиката са дали основа за развитието на области от чистата математика, затова не може да се прави строго разграничение между тези два типа математика.

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| [[Файл:Gravitation space source.png|96px]] || [[Файл:Signal transduction pathways.svg|96px]] || [[Файл:Ch4-structure.png|96px]]
|-
| [[Математическа физика]] || [[Математическа биология]] || [[Математическа химия]]
|}

==== Статистика ====
Предмет на [[статистика]]та и изследването на операции е да събират и впоследствие да анализират [[данни]] или да тестват научни предположения. Това се извършва като се съставят на опити, които да предоставят такъв набор от сведения, които да потвърдят или оборят съвместимостта на някоя математична теория с реалността. За решаването на тази задача е нужно да се избере подходяща „случайна“ извадка от реализации на изследваното събитие, да се извлекат нужните сведения от нея и да се приложи [[статистически анализ]] на получената информация. Основният математически апарат, с който борави този поддял на приложната математика, е [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]] и статистиката.

Част от изследването на операции е и теорията на [[Случаен процес|стохастичните процеси]], [[Теория на игрите|теорията на игрите]], [[Математически финанси|финансовата математика]] и теорията на контрола. Те се използват, за да се пресъздава поведението на определена система, като въз основа на проведената симулация да се направи научен извод. Той може да бъде предложение за вземане на някакво решение, съвет как да се подобри работа на системата или математическа прогноза как тя (вероятно) ще се развива в бъдеще.

==== Компютърна математика ====
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| |[[File:Arbitrary-gametree-solved.svg|96px]]|| [[File:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|96px]] || [[Файл:Two red dice 01.svg|96px]] || [[Файл:Oldfaithful3.png|96px]] || [[Файл:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|96px]] || [[File:Gravitation space source.svg|96px]] || [[File:Simple feedback control loop2.svg|96px]]
|-
|[[Теория на игрите]] || [[Математическа физика]] || [[Теория на вероятностите]] || [[Статистика]] || [[Математическа физика]] || [[Математическа химия]] || [[Регулаторна теория]] (''control theory'')
|}

Компютърната математика включва математически изследвания в математиката и други области на науката, където математическия анализ се използва за изчисления.

==== Изчислителна математика ====
: Вижте също [[Операционни изследвания|Изчислителни операции и изследване на операции]]
Този дял на приложната математика има за цел да реши задачи, които изискват изчислителен ресурс, надвишаващ човешките способности. За целта се разчита основно на компютри, но самата изчислителна математика има основи много преди тяхната поява. Още от дълбока древност например се търси начин нерационални числа и обекти да се приближат с рационални такива, заради по-лесното работене с вторите. Друга важна задача на [[Числен анализ|числения анализ]] е да се определи с помощта на функционалния анализ стойността на произволни функции с набелязана предварително точност. Част от задачите на изчислителната математика е и [[Математическа оптимизация|оптимизирането]] на бързодействието и точността на вече намерени изчислителни методи.

Тези проблеми между впрочем стоят зад създаването на съвременния компютър. След неговата поява към областта на изчислителната математика се прибавят нови раздели като компютърната логика, теорията за сложността и теорията на информацията.

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
| [[Файл:Composite trapezoidal rule illustration small.svg|96px]] || [[Файл:Maximum boxed.png|96px]] || [[Файл:Caesar3.svg|96px]] || [[Файл:Wang tiles.svg|96px]]
|-
| [[Числен анализ]] || [[Математическа оптимизация|Оптимизиране]] || [[Криптография]] || [[Теория на изчислителната сложност|Изчислимост]]
|}

== Източници ==
<references />
{{превод от 2|en|Mathematics|en|History of mathematics|664727400|664280853}}

== Библиография ==
* {{cite book |last=Benson |first=Donald C. |title=''The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies'' |url=https://archive.org/details/momentofproofmat00bens |publisher=Oxford University Press |year=2000 |isbn=978-0-19-513919-8}}
* {{cite book |last1=Courant |first1=Richard |author-link1=Richard Courant |last2=Robbins |first2=Herbert |author-link2=Herbert Robbins |title=''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods'' |url=https://archive.org/details/whatismathematic0000cour |location=New York |publisher=Oxford University Press |edition=2nd |year=1996 |isbn=978-0-19-510519-3}}
* {{cite book |last1=Davis |first1=Philip J. |last2=Hersh |first2=Reuben |title=''The Mathematical Experience'' |publisher=Mariner Books |edition=Reprint |year=1999 |isbn=978-0-395-92968-1|title-link=The Mathematical Experience }}

== Вижте също ==
* [[История на математиката]]
* [[Списък на математически понятия]]

== Външни препратки ==
{{commonscat|Mathematics}}
{{Уикикниги|Сборник с математически доказателства}}
* [http://www.math10.com/bg/ Български сайт за математика]

* {{икона|en}} [http://mathworld.wolfram.com Един от най-пълните математически справочници в интернет]
* {{икона|ru}} [http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm История на математиката] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090124235940/http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm |date=2009-01-24 }}
* {{икона|en}} [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ История на математиката]

{{Раздели на математиката}}
{{Нормативен контрол}}
{{Портал|Математика}}

[[Категория:Математика| ]]